Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений дифференциальные уравнения старшего порядка

3. f(x) =epx (Pm (x)cosqx +Qs (x)sinqx) ,

где Pm(x), Qs(x) – многочлены соответствующих степеней.

Пусть r = max(m, s),

α – кратность корня p ± iq, при этом будем полагать, что α = 0, если такого корня у характеристического многочлена нет.

Частное решение неоднородного ЛДУ следует искать в виде y =xeб px (Pr (x)cosqx +Qr (x)sinqx) ,

где Pr (x), Qr (x) – многочлены степени r с неопределенными коэффициентами.

При этом следует соблюдать правила:

1)многочлены Pr (x), Qr (x) должны содержать все степени x от x0 до xr;

2)выражение f(x) может содержать только одну из функций cos qx , sin qx, но в частное решение должны быть включены обе функции.

Пример 1.41. Найти решение задачи Коши:

y′′+y′−2y =cosx −3sinx, y(0) =1, y′(0) =2 .

Решение.

Для решения задачи Коши необходимо найти общее решение уравнения.

Характеристическое уравнение

k2 + k – 2 = 0, k1 = 1, k2 = –2.

Общее решение однородного ЛДУ y(x) =C1ex +C2e−2x .

Ищем частное решение неоднородного ЛДУ. Правую часть уравнения запишем в виде полной формулы квазимногочлена Эйлера:

cosx −3sinx =e0x (1 cos(1 x)−1 sin(1 x)),

p = 0, q = 1, m = 0, s = 0,

при этом комплексное число

p ±iq =0 ±1 i = ±i

61

не является корнем характеристического многочлена, поэтому α = 0.

Степени многочленов в правой части ЛДУ m = s = 0, поэтому r = 0.

Частное решение будем искать в виде y = A cosx + Bsinx . Дифференцируем и подставляем в исходное уравнение:

y′= −A sinx + Bcosx ; y′′= −A cosx −Bsinx ;

y′′+y′−2y = −A cosx −Bsinx − A sinx + Bcosx −2(A cosx −Bsinx) = =(B −3A)cosx +(−3B − A)sinx =cosx −3sinx .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых линейно независимых функциях:

Частное решение неоднородного ЛДУ y(x) =sinx .

Общее решение неоднородного ЛДУ y(x) =C1ex +C2e−2x +sinx . Для решения задачи Коши подставляем в общее решение на-

Ответ: y(x) =ex +sinx .

Пример 1.42. Найти общее решение y′′+y =3sinx .

Решение.

Характеристическое уравнение

k2 + 1 = 0, k1 = +i, k2 = –i.

Общее решение однородного ЛДУ y(x) =C1 cosx +C2 sinx . Найдём частное решение неоднородного ЛДУ.

Комплексное число p ± i q = 0 ± 1 · i = ±i является корнем характеристического многочлена с кратностью α = 1.

Степени многочленов m = s = 0, r = 0.

62

Частное решение неоднородного ищем в виде y =x(A cosx + Bsinx) .

Дифференцируем

y′=(A cosx + Bsinx) +x(−A sinx + Bcosx) ,

y′′=(−A sinx + Bcosx) +(−A sinx + Bcosx) +x(−A cosx −Bsinx) =

=2(−A sinx + Bcosx) +x(−A cosx −Bsinx)

иподставляем в исходное уравнение

y′′+y =2(−A sinx + Bcosx) +x(−A cosx −Bsinx) +x(A cosx + Bsinx) =

= −2A sinx +2Bcosx =3sinx .

Приравниваем коэффициенты при одинаковы линейно независимых функциях:

Пример 1.43. Решить Задачу Коши:

y′′+6y′+10y =80ex cosx, y(0) =4, y′(0) =10 .

Решение.

Характеристическое уравнение

k2 + 6k + 10 = 0, k1, 2 = –3 ± i.

Общее решение однородного ЛДУ y(x) =e−3x (C1 cosx +C2 sinx) . Нйдём частное решение неоднородного ЛДУ.

Комплексное число p ± qi = 1 ± 1 · i не является корнем характеристического многочлена, полагаем α = 0.

Степени многочленов m = s = 0, r = 0.

Решение неоднородного ЛДУ будем искать в виде y =ex (A cosx + Bsinx) .

63

Дифференцируем

y′=ex (A cosx + Bsinx) +ex (−A sinx + Bcosx) = =ex ((A + B)cosx +(B − A)sinx);

y′′=ex ((A + B)cosx +(B − A)sinx) +

+ex (−(A + B)sinx +(B − A)cosx) = =ex (2Bcosx −2A sinx).

Подставляем в исходное уравнение:

y′′+6y′+10y =ex (2Bcosx −2A sinx) +

+6ex ((A + B)cosx +(B − A)sinx) +10ex (A cosx + Bsinx) = =ex ((2B +6A +6B +10A)cosx +(−2A +6B −6A +10B)sinx) = =ex ((8B +16A)cosx +(−8A +16B)sinx) =80ex cosx .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых линейно неза-

Частное решение неоднородного ЛДУ y(x) =ex (4cosx +2sinx) . Общее решение неоднородного ЛДУ

y(x) =e−3x (C1 cosx +C2 sinx) +ex (4cosx +2sinx) .

Для решения задача Коши подставляем начальные условия y(0) =4, y′(0) =10 в общее решение, предварительно находим

y′(x) = −3e−3x (C1 cosx +C2 sinx) +e−3x (−C1 sinx +C2 cosx) + +ex (4cosx +2sinx) +ex (−4sinx +2cosx).

Составляем систему уравнений:

e0 (C1 cos0 +C2 sin0) +e0 (4cos0 +2sin0) =4,−3e0 (C1 cos0 +C2 sin0) +e0 (4cos0 +2sin0) ++e0 (−C1 sin0 +C2 cos0) +e0 (−4sin0 +2cos0) =10.

Система должна иметь ненулевой определитель и единственное решение:

64

Ответ: y(x) =4e−3x sinx +2ex (2cosx +sinx) .

Пример 1.44. Найти общее решение y′′+y =cosx .

Решение.

Характеристическое уравенение

k2 + 1 = 0, k1 = +i, k2 = –i.

Общее решение однородного ЛДУ y(x) =C1 cosx +C2 sinx . Ищем частное решение неоднородного ЛДУКомплексное чис-

ло p ± iq = 0 ± 1 i является корнем характеристического многочлена с кратностью α = 1.

Частное решение неоднородного ЛДУ будем искать в виде y =x(A cosx + Bsinx) ,

y = Axcosx + Bxsinx .

Дифференцируем

y′= A cosx + Bsinx − Axsinx + Bxcosx ;

y′′= −A sinx + Bcosx − A sinx + Bcosx − Axcosx −Bxsinx .

Подставляем в исходное уравнение:

y′′+y = −A sinx + Bcosx − A sinx + Bcosx − Axcosx −Bxsinx + +Axcosx + Bxsinx .

После упрощения в левой части равенства уравнение примет вид

−2A sinx +2Bcosx =cosx .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых независимых функциях:

65

Частное решение неоднородного ЛДУ: y = 12 xsinx .

Ответ: y(x) = y(x) +y(x) =C1 cosx +C2 sinx + 12 xsinx . Пример 1.45. Найти общее решение

y′′−2y′+10y =2sin3x +5cosx .

Решение.

Характеристическое уравнение

k2 – 2k + 10 = 0, k1,2 = 1 ± 3i .

Общее решение однородного ЛДУ y(x) =C1ex cos3x +C2ex sin3x .

Ищем частное решение неоднородного ЛДУ.

Заметим, что в правой части уравнения находится сумма двух разных квазимногочленов, на что указывают разные аргументы тригонометрических функций, поэтому для решения используем принцип суперпозиции.

Рассмотрим два неоднородных ЛДУ:

1)y′′−2y′+10y =2sin3x =2 e0x (0 cos(3 x) +2 sin(3 x)) ;

2)y′′−2y′+10y =5cosx =5 e0x (5 cos(1 x) +0 sin(1 x)) . Частное решение ищем для каждого из уравнений:

1)p ± q · i = 0 ± 3 · i не является корнем характеристическо-

го многочлена, α = 0, степени многочленов m = s = 0, решение

ищем в виде y1 = A cos3x + Bsin3x ;

2) p ± q · i = 0 ± 1 · i не является корнем характеристического многочлена, α = 0, степени многочленов m = s = 0, решение

ищем в виде y1 =Ccosx + Dsinx .

Далее можно решать каждую из задач в отдельности, определяя коэффициенты A, B, C, D. Тогда частное решение исходного

уравнения y(x) = y1(x) +y2 (x) .

Можно также искать решение исходного уравнения в виде y = A cos3x + Bsin3x +Ccosx + Dsinx .

Дифференцируем и подставляем в исходное уравнение: y′= −3A sin3x +3Bcos3x −Csinx + Dcosx ;

66

y′′= −9A cos3x −9Bsin3x −cosx −Dsinx ;

y′′−2y′+10y = −9A cos3x −9Bsin3x −Ccosx −Dsinx − −2(−3A sin3x +3Bcos3x −Csinx + Dcosx) +

+10(A cos3x + Bsin3x +Ccosx + Dsinx) =2sin3x +5cosx .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых независимых функциях:

Частное решение неоднородного ЛДУ

y = 1237 cos3x + 372 sin3x +179 cosx −172 sinx .

Ответ:

y(x) =C1ex cos3x +C2ex sin3x + 1237 cos3x +

+372 sin3x +179 cosx −172 sinx. Самостоятельно найти общее решение:

1)y′′−y =sinx −e−x ;

2)y′′′−64y′=128cos8x −64e8x ;

3)y′′−4y′+8y =e2x +sin2x ;

4)y′′+3y′−4y =e−4x +xe−x .

Ответы:

1)y(x) =C1ex +C2e−x −12 sinx + 12 xe−x ;

2)y(x) =C1 +C2e8x +C3e−8x − 18 sin8x −12 xe8x ;

67

Применим рассмотренный метод неопределенных коэффициентов к решению неоднородного уравнения Эйлера (см. пп. 1.2.2):

a0xny(n) +a1xn−1y(n−1) +a2xn−2y(n−2) + +an−1xy′+any =f(x) , a1, a2, , an−1, an −const .

Замена переменной x =et приводит нас в итоге к функции y(x(t)). Исходное уравнение преобразуется к виду линейного уравнения с постоянными коэффициентами:

b0y(n) (t) +b1y(n−1) (t) +b2y(n−2) (t) +…+bn−1y′(t) +bny(t) =ϕ(t) .

Пример 1.46. Найти общее решение x2y′′−xy′+y =coslnx .

Решение.

Полагаем x =et t =lnx .

Решим однородное уравнение Эйлера: x2y′′−xy′+y =0 . Построим соответствующее ему характеристическое уравне-

ние, используя замену, которая упрощает построение:

тогда

x2 k (k −1)xk−2 −x k xk−1 +xk =0 , k (k −1) −k +1 =0 ,

k2 −2k +1 =0 .

Уравнение имеет кратный действительный корень k = 1 кратности α = 2, которому отвечают два базисных решения:

68

Однородное уравнение относительно y(t) восстанавливаем по виду характеристического:

k2 −2k +1 =0 , y −2y +1 =0 .

Неоднородное уравнение y −2y +1 =cost .

Более подробная запись квазимногочлена в правой части имеет вид

y −2y +1 =e0t (P0 (t)cost +0 sint) .

Число p +iq =0 ±1 i не является корнем характеристического уравнения.

Частное решение неоднородного ищем в виде y(t) = A cost + Bsint .

Дифференцируем и подставляем в дифференциальное уравнение: y′(t) = −A sint + Bcost, y′′(t) = −A cost −Bsint ,

=2A sint −2Bcost =cost.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых независимых функциях:

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид y(t) = y(t) +y(t) =C1et +C2tet −12 sint .

Далее необходимо вернуться к исходной переменной.

Ответ:

y(t) =C1elnx +C2 lnxelnx −12 sinlnx =C1x +C2 lnx x −12 sinlnx . Самостоятельно найти общее решение уравнения:

1) x2y′′+xy′+4y =10x ;

69

2)x3y′′−2xy =6lnx ;

3)x2y′′−3xy′+5y =3x2 ;

4)(x −2)2 y′′−3(x −2)y′+4y =x .

Ответы: 1) y(x) =C1 cos(2ln x ) +C2 sin(2ln x ) +2x ;

2) y(x) =C1x2 +C2 1 − 2lnx − ln2 x ; x 3x x

3)y(x) =C1x2 cos(ln x ) +C2x2 sin(ln x ) +3x2 ;

4)y(x) =C1(x −2)2 +C2 (x −2)2 ln x −2 +x − 32 .

1.3. Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений

Система уравнений может быть сведена к одному дифференциальному уравнению n-го порядка с одной неизвестной функцией. Для этого функции и производные из одних уравнений подставляют в другие, постепенно исключая неизвестные функции. У данного метода нет ограничений на порядок уравнений или типы уравнений, входящих в систему.

Найти общее решение системы уравнений.

Решение.

Заметим, что если выразить из первого уравнения функцию y(t), справа от знака равенства останутся только слагаемые, содержащие x(t):

y =x −4x +4x .

Продифференцируем дважды обе части равенства: y =x −4x +4x ,

y =x(4) −4x +4x .

70