Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений дифференциальные уравнения старшего порядка

Используем результаты, полученные в примере 2.2:

Пример 2.7. f(t) =cht .

Решение.

По известной из теории функции комплексной переменной

81

Самостоятельно убедиться, что sht ↔ p21−1 .

Пример 2.8. f(t) =cos2 t .

Решение. 2 Воспользуемся формулой понижения степени:

cos2 2t =1+cos2 t = 12 1+ 12 cost ,

Самостоятельно найти изображение функции:

1)f(t) =5e−2t +3cost ;

2)f(t) =sint +cost ;

3)f(t) =sht −sint ;

4)f(t) =cht −cost ;

5)f(t) =sin2 2t .

82

2.2.2. Изображение функции f(at) по теореме подобия

Пусть функция f(t) является оригиналом, имеющим изображением функцию F(p). Тогда функция f(at) для любого вещественного a > 0 есть также оригинал, и ее изображение может быть получено по формуле

Ответ: cos(a t)↔ p2 +p a2 .

Пример 2.10. f(t) =sinat .

Решение.

Используем найденное изображение

Ответ: sin(a t)↔ p2 a+a2 .

83

Пример 2.11. f(t) =sin2 t .

Решение.

Самостоятельно найти изображения функций:

1)f(t) =cos2 t ;

2)f(t) =sin 2t ;

3)f(t) =cos 2t .

2.2.3. Изображение функции eatf(t) по теореме

смещения изображения

Пусть функция f(t) является оригиналом, имеющим изображение F(p). Тогда функция eatf(t) для любого a С также оригинал, при этом ее изображение может быть получено по формуле

eatf(t) ↔ F(p −a), a C .

Найти изображение функции.

Пример 2.12. f(t) =eat .

Решение.

Изображение этой функции получено в примере 2.2 путем вычисления интеграла Лапласа. Рассмотрим иной подход с использованием теоремы смещения изображения:

84

f(t) =eat 1,

85

Пример 2.15. f(t) =e3t sin2 t .

Решение.

2.2.4. Изображение функции η(t −a) f(t −a)

по теореме смещения оригинала

Заметим, что функция Хэвисайда η(t −a) используется в качестве множителя для того, чтобы функция f(t – a ) отвечала условиям оригинала.

Итак, пусть функция η(t) f(t) является оригиналом, имеющим изображение F(p). Тогда функция η(t −a) f(t −a) для любого a > 0 также является оригиналом, при этом ее изображение может быть получено по формуле

η(t −a)f(t −a) ↔ e−apF(p) .

Найти изображение функции.

Пример 2.16. f(t) =η(t −1)et−1 .

Решение.

Из предыдущих примеров известно, что et =et 1 ↔ p1−1 .

Тогда по теореме смещения оригинала

86

Пример 2.17. f(t) =η(t −2)sin2 t −2 .

Решение. 2 Известен результат:

2.2.5.Изображение функции tn f(t) по теореме

дифференцирования изображения

Пусть функция f(t) является оригиналом, имеющим изображение F(p). Тогда функция tn f(t) для любого n N также является оригиналом, при этом ее изображение может быть получено по формуле

87

тогда

′

t sinωt ↔(−1) 2 ω 2 .

p +ω

Найти изображение функции.

Пример 2.20. f(t) =t2 eat .

Решение.

Запишем функцию f(t) в виде f(t) =t2 eat 1,

где 1 ↔ 1p .

Тогда

eat 1 ↔ p1−a ,

88

″

t2 eat 1 ↔(−1)2 1 .p −a

Самостоятельно:

1)f(t) =η(t −1) (t −1)2 ;

2)f(t) =η(t −2) cos(t −2) ;

3)f(t) =t cosat ;

4)f(t) =t chat ;

5)f(t) =t shat ;

6)f(t) =tn eat .