Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений дифференциальные уравнения старшего порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

836 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Пример 1.26. x2y′′+xy′+y =0 .

Решение.

Характеристическое уравнение y =xk ,

k(k −1)xk−2x2 +k xk−1x +xk =0 ,
k(k −1) +k +1 =0 k2 +1 =0, k = ±i .
	1,2
Базисным решениям
y1(t) =cost,	y2 (t) =sint
соответствуют
y1(x) =coslnx,	y2 (x) =sinlnx .
Ответ: y(x) =C1 coslnx +C2 sinlnx .

Пример 1.27. x3y′′′+xy′−y =0 .

Решение.

Характеристическое уравнение

k(k −1)(k −2)xk−3x3 +k xk−1x −xk =0 ,

	k(k −1)(k −2) +k −1 =0 ,
	(k −1)3 =0 k =1, kr =3.
Базисным решениям et, tet,		t2et соответствуют
	x, xlnx,	x(lnx)2 .
Ответ: y(x) =C x +C xlnx +C x(lnx)2 .
1	2	3

Пример 1.28. x2y′′′−3xy′′+3y′=0 .

Решение.

Заметим, что в исходном виде уравнение не является уравнением Эйлера, но становится им, если умножить уравнение на x:

x3y′′′−3x2y′′+3xy′=0 . Характеристическое уравнение

k(k −1)(k −2) +3k(k −1) +3k =0 ,

k3 −6k2 +8k =0, k1 =0, k2 =2, k3 =4 . Базисные решения

y(t): e0t, e2t, e4t , y(x): x0, x2, x4 .

Ответ: y(x) =C1 +C2x2 +C3x4 .

Пример 1.29. x2y′′′−2y′=0 .

Решение.

Аналогично предыдущему домножаем обе части равенства на x:

	x3y′′′−2xy′=0 .
Характеристическое уравнение
	k(k −1)(k −2) −2k =0 ,
		k3 −3k2 =0 ,
	k1,2 =0 (α =2),		k3 =3 .
Базисные решения x0,		x0 lnx,	x3 .
Ответ: y(x) =C +C lnx +C x3 .
1	2	3

Уравнения, приводящиеся к виду уравнений Эйлера.

Рассмотрим уравнение вида

a0 (x +b)n y(n) +a1(x +b)n−1 y(n−1) +

+a2 (x +b)n−2 y(n−2) + +an−1(x +b)y′+any =0,

в котором b, a1,a2, an−1, an −const .

Произведем замену переменной: t = x + b. Относительно новой переменной уравнение примет вид уравнения Эйлера.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Пример 1.30. (x +1)2 y′′−2(x +1)y′+4y =0 .

Решение.

Замена t = x + 1,

		y =tk, y′=ktk−1, y′′=k(k −1)tk−2 .
Характеристическое уравнение
					k(k −1) −2k +4 =0 ,

			k2 −3k +4 =0,					k	=		3		±i	7		.
			k2 −3k +4 =0,					k	=	2			±i	2		.
								1,2		2				2
				3						3
				3			7			3								7
							7											7
Базисные решения t2 cos								lnt	,			t2 sin							lnt .
Базисные решения t2 cos								lnt	,			t2 sin							lnt .
Функции ФСР							2										2
Функции ФСР							2										2
3										3
3			7							3					7
			7												7
(x +1)2 cos				ln(x +1) ,				(x +1)2 sin										ln(x +			1) .
(x +1)2 cos				ln(x +1) ,				(x +1)2 sin										ln(x +			1) .
			2												2
			2												2
Ответ:
	3													3
	3			7										3					7
				7															7
y(x) =C1(x +1)2 cos						ln(x +1) +C2				(x +1)2 sin										ln(x +1)		.
y(x) =C1(x +1)2 cos						ln(x +1) +C2				(x +1)2 sin										ln(x +1)		.
				2															2
				2															2

Пример 1.31. (2x +1)2 y′′−2(2x +1)y′+4y =0 .

Решение.

Выполним простое алгебраическое преобразование

			1 2							1
4 x +					y′′−4 x +						y′+4y =0
4 x +					y′′−4 x +						y′+4y =0
			2							2
и замену переменной t =x +						1	,	y =tk .
и замену переменной t =x +							,	y =tk .
					2
Характеристическое уравнение
				k(k −1) −k +1 =0 ,
k2 −2k +1 =0, k =1(kr =2) .
								1,2
Базисные решения t1,					t1 lnt .
	1						1					1
Функции ФСР x +		, x +						ln	x +				.
Функции ФСР x +		, x +						ln	x +				.
	2						2					2

						1							1				1
Ответ: y(x) =C1 x +								+C2 x +							ln x +			.
Ответ: y(x) =C1 x +						2		+C2 x +					2		ln x +		2	.
						2							2				2
Самостоятельно найти общее решение уравнений:
1) x2y′′−4xy′+6y =0 ;								2) x2y′′−xy′−3y =0 ;
3) x3y′′′+xy′−3y =0 ;								4) x2y′′′=2y′;
5) (2x +3)3 y′′′+3(2x +3)y′−6y =0 .
Ответы:
1) y(x) =C x2	+C x3			;											2) y(x) =C x3					+C x−1			;
1		2																1		2
3) y(x) =C x +C xln					x		+C xln2				x			; 4) y(x) =C +C ln							x	+C x3 .
3) y(x) =C x +C xln					x		+C xln2				x			; 4) y(x) =C +C ln							x	+C x3 .
1	2							3										1		2			3
													3					1
			3							3								3
			3							3		2						3	2
5) y(x) =C1	x	+		+C2					x +						+C3	x +
5) y(x) =C1	x	+	2	+C2					x +	2					+C3	x +		2
			2							2								2

1.2.3.Неоднородные линейные уравнения

спостоянными коэффициентами

Впредыдущем разделе было рассмотрено однородное ЛДУ

спостоянными коэффициентами: L(y) = 0.

Множество его решений является линейным пространством с размерностью, равной порядку уравнения и базисом, который называют фундаментальной системой решений (ФСР): y1(x), y2 (x), ,yn (x) . Общее решение однородного ЛДУ может быть представлено в виде линейной комбинации базисных функций из ФСР:

y(x) =c1y1(x) + c1y2 (x) + +cnyn (x) , где ck – неопределенные константы.

Рассмотрим уравнение с ненулевой правой частью, неоднородное ЛДУ:

L(y) = f(x).

Рассмотрим некоторые свойства решений неоднородных уравнений, которые позволят понять правило построения общего решения.

1. Пусть y1(x) и y2(x) – два каких-нибудь решения неоднородного ЛДУ. Подставим в уравнение сумму этих решений:

L(y1(x) + y2(x)) = L(y1(x)) + L(y2(x)) = f(x) + f(x) = 2 f(x).

Из чего следует, что сумма решений, впрочем как и вообще любая линейная комбинация решений неоднородного ЛДУ, не является решением ЛДУ. Множество решений неоднородного ЛДУ не является линейным пространством.

2. Пусть y(x) − общее решение однородного уравнения L(y) =0 ,

y(x) − какое-нибудь ненулевое частное решение неоднородного уравнения L(y) =f(x) .

Тогда легко показать, что сумма решений y(x) = y(x) + y(x) является решением неоднородного ЛДУ:

L(y(x)) = L(y(x) + y(x)) = L(y(x)) + L(y(x)) =0 +f(x) =f(x) .

Сформулируем правило построения общего решения неоднородного уравнения.

Решение является суммой общего решения однородного уравнения y(x) и какого-либо ненулевого частного решения неоднородного уравнения y(x) :

y(x) = y(x) + y(x) .

Заметим, что данное решение содержит n неопределенных констант, а также удовлетворяет уравнению.

Для вычисления частного решения y(x) можно использовать: ––метод Лагранжа, который не предъявляет особых требова-

ний к виду правой части уравнения; ––метод неопределенных коэффициентов Эйлера, применяю-

щийся для ЛДУ с правой частью, имеющей вид функции специального вида, называемой квазимногочленом Эйлера.

1.2.3.1. Метод Лагранжа (вариации постоянных)

Применяется для поиска какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения при помощи общего решения соответствующего однородного уравнения.

Пусть y(x) = ∑ckyk (x) является общим решением однородно-

k=1

го уравнения, где ck – константы.

Частное решение неоднородного будем искать в виде

y(x) =∑ck (x)yk (x) ,

k=1

предположив, что ck(x) – неизвестные функции.

Можно доказать, что для определения n неизвестных функций ck(x) необходимо выполнение следующих n условий:

	n
∑ck′(x)yk (x) =0,
k=1
	n
∑ck′(x)yk′(x) =0,
	k=1
	k=1
			↔
			↔
	n
∑ck′(x)yk(n−2) (x) =0,
k=1
	n	(n−1)	=f(x)
∑ck′yk			=f(x)
k=1

		′	(x)y1(x)		′		′	(x)yn (x) =0,
		c1	(x)y1(x)		+c2 (x)y2 (x) + +cn			(x)yn (x) =0,
			(x)y1′(x)		+c2′(x)y2′(x) + +cn′ (x)yn′ (x) =0,
	c1′		(x)y1′(x)		+c2′(x)y2′(x) + +cn′ (x)yn′ (x) =0,
↔
↔
			(n−2)		(x) +c2′	(n−2)			(n−2)	(x) =0,
	c1′		(x)y1		(x) +c2′	(x)y2	(x) + +cn′ (x)yn			(x) =0,
			(n−1)		(n−1)		(n−1)		=f(x).
	c1′y1			+c2′y2		+ +cn′yn			=f(x).

В матричной записи эта система имеет вид

y1(x)

y2 (x)

yn (x)

c1′

(x)

y1′(x)

y2′(x)

yn′ (x)

× c2′

(x)

f(x)

(n−1)

(x)

(n−1)

(x)

(n−1)

(x)

c′

(x)

Неизвестными функциями являются сk′(x). Система линейна относительно неизвестных функций, а матрица коэффициентов этой линейной алгебраической системы является матрицей Вронского:

	y1
	y′
	1
W(x) =	y′′
	1

	(n−1)

y2	yn
y′	y′
2	n
y′′	y′′	.
2	n

(n−1)	(n−1)
y2	yn

Определитель матрицы Вронского отличен от нуля всюду, если система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) является ФСР однородного ЛДУ. Линейная система уравнений в этом случае имеет решение, притом единственное.

В матричной форме решение этой системы имеет вид

c1′

(x)

y1(x)

y2 (x)

yn (x) −1

y1′(x)

y2′(x)

yn′ (x)

c2′

(x)

f(x)

c′

(x)

(n−1)

(x)

(n−1)

(x)

(n−1)

(x)

Найти сk′(x) также можно, решив систему любым другим методом, применимым для систем с невырожденной матрицей, например, методом Крамера.

После интегрирования c1′(x), c2′(x), , cn′ (x) составляется

частное решение y(x) = ∑ck (x)yk (x) , а затем общее решение

k=1

ЛДУ: y(x) = y(x) + y(x) .

Найти общее решение.

Пример 1.32. y′′+y = cos1 x .

Решение.

Найдем общее решение однородного уравнения y′′+y =0 . Характеристическое уравнение

k2 + 1 = 0, k1,2 = ±i.

Фундаментальная система решений y1(x) = cos x, y2(x) = sin x. Общее решение однородного уравнения y =C 1 cosx +C2 sinx . Частное решение неоднородного будем искать в виде

y =C1(x)cosx +C2 (x)sinx .

Система для определения неизвестных функций C1(x), C2(x):

C′y +C′y =0,

C′ cosx +C′ sinx =0,

1 2

C1′y1′ +C2′y2′ =f(x);

−C1′ sinx +C2′ cosx

;

cosx

C′

(x) =1,

sinx

C1′

(x) = −

cosx

Найдем первообразные:

C (x) =x,

sinx

C1(x) = −

dx =ln

cosx

∫cosx

Константы, которые должны появиться после вычисления первообразной, могут быть приравнены, например, к 0, так как в данном случае достаточно иметь просто какое-нибудь одно частное решение.

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид y(x) =c1(x)y1(x) +c2 (x)y2 (x) =ln cosx cosx +x sinx ,

тогда общее решение исходного уравнения:

y(x) =c1 cosx +c2 sinx +ln cosx cosx +x +sinx .

Заметим, что аналогичный результат был бы получен, если бы мы сохранили константы в первообразных C1(x) и C2(x):

y(x) =(ln cosx +c1)cosx +(x +c2 )sinx .

Пример 1.33. y′′−2y′+y =	ex	.

Решение.	x2 +1

Ищем общее решение однородного уравнения y′′−2y′+y =0 . Характеристическое уравнение

k2 – 2k + 1 = 0, k1,2 = 1.

Фундаментальная система решений y1(x) =ex,

y2 (x) =xex .

Общее решение однородного уравнения y(x) =C ex +C xex .

Частное

решение

неоднородного

будем искать

в виде

y(x) =C (x)ex +C (x)xex .

Система для определения неизвестных функций C1(x), C2(x):

C′y +C′y =0,

C′ex +C′xex =0,

1 1

2 2

C1′y1′

+C2′y2′ =

;

C1′ex +C2′(ex +xex ) =

;

x2 +

C′

+C′x =0,

C′

+C′(1

+x) =

Для решения системы можно использовать любые методы решения систем алгебраических линейных уравнений с невырожденной матрицей коэффициентов, например, метод Крамера:

∆ =

=1,

1+x

∆1 =

= −

C1′ = −

1+x

x2 +1

x2 +

x2 +1

∆2

C2′ =

x2 +1

Найдем первообразные:

= −

dx,

∫x

= −

= ∫

=arctgx.

dx,

Частное решение неоднородного уравнения

y(x) = −

x2 +1

ex +arctgx xex .

Тогда общее решение неоднородного уравнения

y(x) = y(x) +y(x) =C ex +C xex −		1			+1	ex +arctgx xex .
			ln	x2

1	2	2

Самостоятельно найти общее решение уравнений:

1)y′′+3y′+2y = ex1+1 ;

2)y′′+4y =2tgx .

Ответы:

1)y =C1e−x +C2e−2x +(e−x +e−2x )ln(ex +1) ;

2)y =C1 sin2x +C2 cos2x +sin2x ln cosx −xcos2x .

1.2.3.2. Квазимногочлен Эйлера. Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим нелинейное ЛДУ с постоянными коэффициентами L(y) =f(x) , у которого правая часть имеет специальный вид

f(x) =epx [Pm (x)cosqx +Qs (x)sinqx]

или является суммой функций такого вида.

Функция называется квазимногочленом Эйлера. Частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Следует обратить внимание на константы p и q, присутствующие в квазимногочлене: комплексное число p ± i q, встречаясь среди корней характеристического многочлена однородного ЛДУ L(y) =0 , будет оказывать влияние на вид частного решения.

Рассмотрим квазимногочлены, начиная с самого простого.

1. f(x) = Pm (x) .

Правая часть имеет вид многочлена степени m:

Pm (x) = A0xm + A1xm−1 + + Am , где А1, A2, …, Am – константы.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]