Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений дифференциальные уравнения старшего порядка

Пример 1.10. Найти решения уравнения y′′+2y (y′)3 =0 .

Решение.

Дифференциальное уравнение не содержит x. Используем замену неизвестной функции:

pdp +2y p3dy =0 .

Получено уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для получения всех его решений запишем уравнение в виде

Общее решение можно получить, интегрируя уравнение (2)

Вернемся к исходной неизвестной функции:

p = dxdy = y2 1+C1 .

Это также уравнение с разделяющимися переменными. Если строго подходить к определению всех решений уравнения, то целесообразно записать уравнение в виде

y2 1+C1 ((y2 +C1)dy −dx)=0 ,

откуда видно, что решение может быть получено только из равенства

(y2 +C1)dy =dx .

21

После интегрирования получим общее решение исходного дифференциального уравнения

y3 +C1y =x +C2 . 3

Вернемся к решению алгебраического уравнения (1) совокупности:

p = dxdy =0 y =C =const .

Это решение не может быть получено из общего ни при каких значениях констант С1 и С2 и является самостоятельным реше-

нием. 3

Ответ: y3 +C1y =x +C2 , y = C.

Пример 1.11. Найти общее решение уравнения y′′= 1−(y′)2 .

Решение.

Уравнение не содержит независимой переменной x, а также не содержит неизвестную функцию y(x). Для каждого случая существует алгоритм решения.

Рассмотрим каждый из возможных вариантов решения.

I вариант: уравнение не содержит y(x). Вводим новую неизвестную функцию y′(x) =z(x) .

Уравнение примет вид

z′= 1−z2 .

Получено уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для получения общего решения запишем уравнение в виде

arcsinz =x +C1 . Вернемся к исходной неизвестной функции:

z =sin(x +C1) = y′.

Уравнение с разделяющимися переменными легко интегрируется, если его записать в виде

22

d y = sin(x + C1) dx.

Ответ: y = –cos(x + C1) + C2; C1, C2 – константы.

II вариант: уравнение не содержит x, используем замену неизвестной функции:

y′= p(y) y′′(x) = dydp p . Уравнение примет вид

p dydp = 1− p2 ,

pdp = 1− p2 dy .

Это уравнение с разделяющимися переменными, общее решение которого получается интегрированием уравнения

∫ 1pdp− p2 = ∫dy .

После интегрирования с заменой переменной 1 – p2 = t, –2pdp = dt получим

arccos(−y +C1) = ±(x +C2 ).

Ответ: y = −cos(±(x +C2 ))+C1 = −cos(x +C2 ) +C1 ; C1, C2 – константы.

Сравнивая результаты, отметим их полное совпадение.

Самостоятельно найти решения:

1)x2y′′= y′2 ;

2)2xy′y′′= y′2 −1;

23

3)y3y′′=1;

4)y′2 +2yy′′=0 ;

5)y′′(ex +1) +y′=0 ;

6)y′′′= y′′2 .

3)(C1y2 −1)2 =C1x +C2 ;

4)y3 =C1(x +C2 )2; y =C ;

5)y3 =C1(x −e−x ) +C2 ;

6)y =(C1 −x) ln C1 −x +C2x +C3; y =Cx + D .

1.2.Линейные дифференциальные уравнения1

n-го порядка

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) n-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции y(x) и ее производных:

y(n) + p1(x)y(n−1) + p2 (x)y(n−2) + + pn−1(x)y′+ pn (x)y =f(x) ,

где pk(x) – известные функции, коэффициенты линейной комбинации;

f(x) – известная функция, свободный член.

Перепишем уравнение в виде

y(n) = −p (x)y(n−1) − p (x)y(n−2) − − p − (x)y′− p (x)y +f(x) .

1 2 n 1 n

F(x, y, y′, y′′, .y(n−1) )

24

Функция F(x, y, y′, y′′, y(n−1) ) непрерывна со всеми своими частными производными по всем переменным x, y, y′, y′′,…y(n−1) при любом x (a, b). Таким образом, для данного уравнения выполнены условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, поэтому для любого x (a, b) и любых начальных условий

y(x0) = y0 , y′(x0 ) = y0,1 , y′′(x0 ) = y0,2 , … y(n−1) (x0 ) = y0,n−1

решение задачи Коши существует и притом единственное на всем интервале (a, b).

Если f(x) = 0, уравнение называется линейным однородным, если f(x) ≠ 0, то линейным неоднородным.

Введем в рассмотрение линейный дифференциальный оператор (ЛДО):

L(y) = y(n) + p1(x)y(n−1) + p2 (x)y(n−2) + + pn−1(x)y′+ pn (x)y .

Главное свойство ЛДОУ вытекает из свойств производных: оператор, примененный к линейной комбинации функций, представляет собой линейную комбинацию операторов, примененных к каждой функции:

L(c1 · y1(x) +…+ cn · yn(x)) = c1 ·L(y1(x)) +…+ cn · L(y2(x)), где c1, …, cn – константы.

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) можно представить в виде:

L(y) = 0 – линейное однородное; L(y) = f(x) – линейное неоднородное.

Однородные ЛДУ. Если для уравнения L(y) = 0 удастся какимлибо образом найти m решений yi(x) таких, что L(yi) = 0, то лю-

25

Это означает, что множество решений однородного ЛДУ содержит также все возможные линейные комбинации своих элементов.

Из курса линейной алгебры известно, что множества, содержащие всевозможные линейные комбинации своих элементов, называются линейными пространствами. Линейные пространства обладают размерностью, базисом и дают возможность представления любого элемента множества в виде линейной комбинации базисных элементов.

Так как любая комбинация решений однородного ЛДУ является решением того же уравнения, то множество решений однородного ЛДУ является линейным пространством. Это означает, что для описания множества решений можно воспользоваться понятиями размерности и базиса, основанными на линейной независимости функций.

Система функций y1(x), y2 (x), ,yn (x) является линейно независимой на некотором отрезке [a, b], если линейная комбинация функций

c1y1(x) + c1y2 (x) + +cnyn (x) =0

равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю. В этом случае ни одна из функций yi(x) не может быть выражена через другие при помощи линейной комбинации.

Примеры линейно независимых систем функций: 1) 1, x, x2, , xn, x [a,b];

2) ek1x,ek2x,ek3x, , eknx,ki ≠kj i ≠ j, x [a,b].

Если в линейном пространстве найдется система из n линейно независимых функций и при этом любая система из n + 1 функции будет линейно зависимой, говорят, что размерность линейного пространства равна n. В этом случае любая система из n линейно независимых функций y1(x), y2 (x), ,yn (x) может быть использована как базис линейного пространства. Это означает, что любой объект линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных функций:

y(x) =c1y1(x) + c2y2 (x) + +cnyn (x) .

26

Коэффициенты линейной комбинации c1, c2, ,cn называются координатами функции y(x) в линейном пространстве с базисом y1(x), y2 (x), ,yn (x) .

Очень важной является теорема: решения однородного линейного дифференциального уравнения образуют n-мерное линейное пространство.

Важность этой теоремы в том, что утверждается существование для ЛДУ n-го порядка ровно n линейно независимых решений, обеспечивая полноту и замкнутость этой системы функций, которая может быть использована как базис. Порядок уравнения совпадает с размерностью пространства решений.

Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного уравнения n-го порядка называется фундаментальной системой решений (ФСР). Все множество решений однородного ЛДУ можно описать при помощи всевозможных линейных комбинаций базисных решений (ФСР).

Линейная комбинация y(x) =c1y1(x) + c2y2 (x) + +cnyn (x) функций из ФСР, содержащая n неопределенных констант, на-

зывается общим решением линейного однородного уравнения. Матрица, составленная из функций ФСР, вида

называется матрицей Вронского.

Справедливо утверждение: если линейно независимые на отрезке (a, b) функции y1(x), y2 (x), ,yn (x) являются решениями линейного однородного уравнения L(y) = 0, то на этом отрезке определитель матрицы ׀W(x)׀ ≠ 0.

При решении задачи Коши с начальными условиями

y(x0 ) = y0, y′(x0 ) = y0,1, y′′(x0 ) = y0,2, ,y(n−1) (x0 ) = y0,n−1

получим систему линейных уравнений

27

с неизвестными C1, C2, …,C3 и с невырожденной матрицей коэффициентов W(x0) (определитель ׀W(x0)׀ ≠ 0). Такая система алгебраических линейных уравнений имеет решение и притом единственное x0 (a,b) – единственный набор коэффициентов C1, C2, …, C3, позволяющий построить единственное решение задачи Коши.

1.2.1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим однородное ЛДУ с постоянными коэффициентами:

и подставим в дифференциальное уравнение

knekx +a1kn−1ekx +a2kn−2ekx + +an−1kekx +anekx =0 .

После упрощения слева от знака равенства получим алгебраический многочлен n порядка, который называют характеристическим многочленом. Полученное уравнение, соответственно, называют характеристическим уравнением:

kn +a1kn−1 +a2kn−2 + +an−1k +an =0.

Решения этого уравнения называют корнями характеристического многочлена.

28

Известно, что многочлен n порядка имеет ровно n корней, среди которых могут быть действительные простые или кратные, а также пары комплексных сопряженных корней, простых или кратных. Рассмотрим процедуру построения базисных решений однородного ЛДУ в каждом из случаев.

Корни многочлена действительны и попарно различны.

Если среди корней многочлена присутствуют m действитель­­ ныx и попарно различных корней k1,k2, ,km, то дифференциальное уравнение среди прочих имеет m линейно независимых решений вида

y1(x) =ek1x, y2 (x) =ek2x, ,ym (x) =ekmx ,

которые входят в фундаментальную систему решений (ФСР) дифференциального уравнения. В общем решении однородного ЛДУ им будут соответствовать слагаемые

y(x) =C1ek1x +C2ek2x + +Cmekmx . Найти общее решение.

Пример 1.12. y′′−3y′+2y =0 .

Решение.

Ищем решение в виде

y(x) =ekx y′(x) =kekx, y′′(x) =k2ekx ,

подставляем в дифференциальное уравнение

k2ekx −3kekx +2ekx =0 ,

упрощаем и получаем характеристическое уравнение

k2 – 3k + 2 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = 2.

Уравнение имеет два частных решения, каждое из которых при подстановке в исходное уравнение обращает его в тождество:

При этом решения линейно независимы, их количество равно порядку уравнения. Это означает, что для уравнения второго порядка мы нашли базис пространства решений.

29

Общее решение однородного дифференциального уравнения

является линейной комбинацией базисных решений.

Ответ: y(x) =C1ex +C2e2x .

Пример 1.13. y′′′−y′=0 .

Решение.

Используя подстановку вида y(x) =ekx , получим характеристическое уравнение

k3 – k = 0,

корни которого k1 = 0, k2 = 1, k3 = –1. Запишем независимые частные решения:

Ответ: y(x) =C1 +C2ex +C3e−x .

Комплексные корни характеристического уравнения.

Если среди корней характеристического многочлена есть комплексные, то они всегда парные, сопряженные.

Пусть k1 =α+i β, k2 =α−i β – пара однократных сопряженных корней многочлена. Тогда в фундаментальной системе решений им соответствуют функции

ek1x =e(α+iβ)x, ek2x =e(α−iβ)x .

По формуле Эйлера для показательной функции комплексного аргумента имеем

e(α±i β)x =eαx (cosβx ±isinβx) .

Подставим это решение в ЛДУ:

L(eαx cosβx ±ieαx sinβx) =0 .

Для линейного дифференциального оператора должно выполняться

L(eαx cosβx ±ieαx sinβx) = L(eαx cosβx) ±i L(eαx sinβx) =0 ,

что возможно тогда и только тогда, когда

L(eαx cosβx) =0,

L(eαx sinβx) =0.

30