Высшая математика. Часть II. Математический анализ. Учебное пособие

2

ГОУ ВПО «Кемеровская государственная медицинская академия Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию»

ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА

II

Под редакцией доц. В. И. Бухтояровой

Математическийанализ

Методические указания и задания контрольной работы №2 для студентов I курса заочного отделения факультета «Экономика и управление на предприятии (здравоохранение)»

Кемерово - 2007

1

УДК 51(075)-057.875

Высшая математика. Часть II. Математический анализ / Под ред. к.ф.-м.н. доц. В.И. Бухтояровой // Кемерово, КемГМА. – 2007. – 87 с.

Методические указания и контрольные задания для студентов I курса заочного отделения факультета «Экономика и управление на предприятии (здравоохранение)».

Составители:

В.И. Бухтоярова, В.М. Гущина, О.В. Головко, Г.Н. Дадаева, С.Н. Песчанская, Л.К. Равинг, Е.В. Салтанова.

Кемеровская государственная медицинская академия, 2007

2

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс высшей математики для студентов заочного отделения факультета «Экономика и управление на предприятии (здравоохранение)» ставит своей целью формирование у студентов базы знаний по высшей математике необходимой и достаточной для профессиональной деятельности. Необходимый уровень знаний задается государственным стандартом. Достаточность базы знаний обеспечивается структурой преподавания, направленной на освоение теоретического материала и практическое применение полученных знаний для решения задач экономического содержания.

Методические указания содержат необходимый теоретический минимум, включающий важнейшие определения, теоремы и формулы для решения заданий контрольной работы. На примерах подробно разбираются решения типовых задач по математическому анализу.

Методические указания и контрольные задания подготовлены на основе коллективного опыта сотрудников кафедры медицинской и биологической физики и высшей математики Кемеровской государственной медицинской академии.

4

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ Введение в анализ

Переменная величина и область ее изменения. Понятие функции, ее определение, частное значение. Способы задания функции. График функции. Важнейшие классы функций. Понятие обратной функции.

Предел функции

Предел последовательности. Предел функции. Определение предела и его

lim f ( x ) = A . Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Односто-

x →∞

ронние пределы и ограниченность функции.

Предел многочлена при стремлении аргумента к бесконечности. Неопределенные выражения. Понятие первого замечательного предела.

Второй замечательный предел, натуральные логарифмы. Предел показательно-степенной функции. Классификация разрывов функции, исследование функции на непрерывность. Свойства и теоремы о непрерывных функциях.

Дифференциальные исчисления

Дифференцирование функции одной переменной. Задача о касательной к кривой. Определение производной, ее обозначения. Производные элементарных функций, теорема о производной обратной функции и ее геометриический смысл. Таблица производных. Правила вычисления производных. Теорема о производной сложной функции. Производные неявных функций. Производная показательно-степенной функции. Производные высших порядков. Теорема Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. Теоремы о средних значениях: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.

Исследование функций на экстремум с помощью производных первого и второго порядков. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков функций.

Функции многих переменных

Функции двух и трех независимых переменных. Способы задания функций двух и трех независимых переменных. Частные производные.

Дифференциал функции

Дифференциал функции, его определение и геометрический смысл. Основные формулы и правила вычисления дифференциала, инвариантность формы первого дифференциала. Понятие полного дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

Интегральные исчисления

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла, его свойства. Основные формулы интегрирования. Простейшие способы интегрирования.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Простейшие правила интегрирования. Интегрирование заменой переменной в неопределенном и определенном интегралах. Два вида подстановок. Интегрирование простейших

5

иррациональностей. Интегрирование по частям в неопределенном и определенном интегралах.

Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций. Приложения определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур в декартовых координатах. Определение и вычисление длины дуги кривой. Выражение длины дуги кривой интегралом. Несобственные интегралы.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными, их решение. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение.

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка).

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, их решение.

Числовые и степенные ряды

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая прогрессия. Необходимое условие сходимости ряда. Простейшие действия над рядами: умножение на число, сложение и вычитание. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Признак сходимости Даламбера. Интегральный признак сходимости ряда. Оценка остатка ряда с помощью интегрального признака.

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница, оценка остатка ряда. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

Функциональные ряды, область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости для рядов с действительными членами. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Ряд Маклорена. Теорема о единственности разложения функции в степен-

ЛИТЕРАТУРА

1.Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш. М.: Юнити. 2004.

2.Кузнецов Б.Т. Математика. М.: Юнити. 2004.

3.Письменный В.Д. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. М.: Айрис-Пресс. 2005.

4.Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа. 2005.

5.Практикум по высшей математике для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш.

М.: Юнити. 2004.

6

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ Предел функции

1.Введение в анализ. Переменная величина и область ее изменения. Понятие функции, ее определение, частное значение. Способы задания функции. График функции.

2.Важнейшие классы функций. Понятие обратной функции.

3.Предел последовательности. Предел функции. Определение предела и его

геометрический смысл для случаев: lim f ( x ) = A , lim f ( x ) = ∞,

lim f ( x ) = A .

x →∞

4.Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Односторонние пределы и ограниченность функции.

5.Предел многочлена при стремлении аргумента к бесконечности. Неопределенные выражения.

6.Понятие первого замечательного предела.

7.Второй замечательный предел, натуральные логарифмы.

8.Предел показательно-степенной функции. Классификация разрывов функции, исследование функции на непрерывность. Свойства и теоремы о непрерывных функциях.

Дифференциальные исчисления

1.Дифференцирование функции одной переменной. Задача о касательной к кривой. Определение производной, ее обозначения.

2.Производные элементарных функций, теорема о производной обратной функции и ее геометрический смысл. Таблица производных.

3.Правила вычисления производных.

4.Теорема о производной сложной функции.

5.Производная неявной функции, показательно-степенной функции.

6.Производные высших порядков.

7.Теорема Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

8.Исследование функций на экстремум с помощью производных первого и второго порядков. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты.

9.Построение графиков функций.

10.Применение теории экстремумов для решения экономических задач.

11.Теоремы о средних значениях: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.

12.Функции нескольких переменных.

13.Частные производные.

Дифференциал функции

1.Дифференциал функции, его определение и геометрический смысл.

2.Основные формулы и правила вычисления дифференциала, инвариантность формы первого дифференциала.

3.Понятие полного дифференциала.

4.Дифференциалы высших порядков.

Интегральные исчисления

1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла, его

7

свойства. Основные формулы интегрирования. Простейшие способы интегрирования.

2.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Простейшие правила интегрирования.

3.Интегрирование заменой переменной в неопределенном и определенном интегралах. Два вида подстановок, интегрирование простейших иррациональностей.

4.Интегрирование по частям в неопределенном и определенном интегралах.

5.Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.

6.Приложения определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур в декартовых координатах.

7.Определение и вычисление длины дуги кривой. Выражение длины дуги кривой интегралом.

8.Несобственные интегралы.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

2.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными, их решение.

3.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение.

4.Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение.

5.Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка).

6.Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, их решение.

Числовые и степенные ряды

1.Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая прогрессия.

2.Необходимое условие сходимости ряда.

3.Простейшие действия над рядами: умножение на число, сложение и вычитание.

4.Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Признак сходимости Даламбера.

5.Интегральный признак сходимости ряда. Оценка остатка ряда с помощью интегрального признака.

6.Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница, оценка остатка ряда.

7.Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

8.Функциональные ряды, область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля.

9.Интервал и радиус сходимости для рядов с действительными членами.

10.Теорема о равномерной сходимости степенного ряда.

8