Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Часть II. Математический анализ. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

783 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

если стоимость услуг p =10 (усл. ед.) увеличить на 20% . Интерпретируйте полученный результат.

Решение

Изменение прибыли вычисляют по формуле

∆П( p) ≈ dП = П′( p)∆p

1.Находят функцию прибыли

П( p) = R( p) −C( p) = p(80 −0,8 p) −(0,2 p2 +30 p + 234) =

=−p2 +50 p − 234.

2.Определяют производную функции прибыли

П′( p) = (−p2 +50 p − 234)′ = −2 p +50 .

3.Вычисляют ∆p

∆p = 0,2 p = 0,2 10 = 2.

4.Находят дифференциал функции

dП( p) = П′( p)∆p = (−2 p +50)∆p ∆П( p) ≈ (−2 10 +50) 2 = 60 усл. ед.

Ответ: если стоимость услуг увеличить на 20% , то прибыль увеличится приблизительно на 60 (усл. ед.)

6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

Функция F(x)называется первообразной функцией для функции f (x)

на промежутке Х , если в каждой точке этого промежутка F ' (x)= f (x).
	Совокупность всех первообразных для функции		f (x) на промежутке
Х называется неопределенным интегралом от функции			f (x)и обозначается
как
	∫ f (x)dx = F(x)+C ,
где ∫ - символ действия интегрирования;		f (x)- подынтегральная функция;
f	(x)dx - подынтегральное выражение;	F(x)- первообразная для функции
f	(x); С- произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

1.d ∫ f (x)dx = f (x)dx

2.∫dF(x)= F(x)+C

3. ∫k f (x)dx = k∫ f (x)dx, k − const 4. ∫(f (x)±ϕ(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ϕ(x)dx

Основные формулы интегрирования

1.∫dx = x +C


2.∫ x		n	dx =				xn+1		+C , где n ≠ −1
2.∫ x			dx =				n +1		+C , где n ≠ −1
	dx						n +1
3.∫	dx			= ln x +C
3.∫				= ln x +C
	x					ax
4.∫axdx =						ax		+C , где a > 0, a ≠1
4.∫axdx =								+C , где a > 0, a ≠1
					ln a

5.∫ex dx = ex +C

6.∫ sin xdx = −cos x +C

7.∫cos xdx = sin x +C

8.∫

= tgx +C

cos2

= −ctgx +C

∫sin2 x

10.∫

= ln

x ± a

+C,

а−const

x ± a

11.∫

= −

a −bx

+C,

а,b −const

a −bx

Методы интегрирования 1. Непосредственное интегрирование. Метод основан на применении

свойств неопределенного интеграла и таблицы основных формул интегрирования.

	5ex −sin x +	3
Пример. Найти неопределенный интеграл ∫			dx .
Пример. Найти неопределенный интеграл ∫			dx .
		x
40

Решение

Используя свойства 3 и 4 и формулы 5, 6, 3 получаем

∫ 5ex −sin x +

dx = 5∫exdx −

∫sin xdx + 3∫

= 5e x +cos x +3ln

+C .

Ответ: ∫ 5e

−sin x +

dx = 5e

+ cos x +3ln

+C.

2. Метод преобразования подынтегрального выражения.

Нахождение интеграла начинают с преобразования подынтегральной функции таким образом, чтобы свести данный интеграл к табличному.

Примеры. Найти интегралы

	sin 2 x −3
1. ∫	sin 2 x dx

Решение

Для нахождения интеграла разделим почленно числитель на знаменатель и, используя свойства 3 и 4 и формулы интегрирования 1 и 9, получим

sin2 x −3

∫ sin2 x dx

= x +3ctgx +

2. ∫ sinsin2xxdx

= ∫	sin2	x	dx −3∫	dx		= ∫dx −3∫			dx		=
= ∫	sin2	x	dx −3∫	sin2		= ∫dx −3∫			sin2		=
C.	sin2	x		sin2	x				sin2	x
C.
				Ответ: ∫			sin2 x	−3
				Ответ: ∫			sin2		dx = x +3ctgx +C.
							sin2	x

Решение

Для нахождения интеграла применим формулу тригонометрической функции кратных углов sin 2x = 2sin xcos x. Сокращая в подынтегральной функции sin x и используя свойство 3 и формулу интегрирования 7, получим

∫	sin 2x	dx = ∫	2sin xcos x	dx = 2∫cos xdx = 2sin x +C .
∫		dx = ∫		dx = 2∫cos xdx = 2sin x +C .
	sin x		sin x
				Ответ: ∫	sin 2x	dx = 2sin x +C.
				Ответ: ∫		dx = 2sin x +C.
					sin x

3. Метод подстановки. Чтобы упростить подынтегральное выражение и привести данный интеграл к табличному, можно применить формулу

∫ f [ϕ(x)]ϕ' (x)dx = ∫ f (t)dt, где t =ϕ(x).

Примеры. Найти интегралы

1. ∫5 −3x

Решение

1) 5 −3x = t

2) (5 −3x)'dx = dt

∫

−3dx = dt

= ∫−

= −

∫

−3x

dx = −

= −

C = −

5 −3x

+C .

Ответ: ∫

= −

5 −3x

−3x

2. ∫esin x cos xdx

Решение

1) sin x = t

∫esin x cos xdx =

2) d(sin x) = dt

= ∫et dt = et

+C = esin x +C.

(sin x)' dx = dt

cos xdx = dt

Ответ: ∫esin x cos xdx = esin x +

4. Метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫UdV =U V − ∫VdU

а). В интегралах вида ∫P(x)ekxdx , ∫ P(x)sin xdx, ∫ P(x)cos xdx, где P(x) - многочлен, k −const , принимают U = P(x), а остальные сомножители входят в dV .

Пример. Найти интеграл ∫ xe3xdx .

Решение

	U = x;	dU = dx;								1		1
∫ xe3xdx =	dV = e3xdx								=	1	xe3x −	1	∫e3xdx =

												3
			3x			1		3x		3		3
	∫dV =	∫e	3x	dx;	V =	1	e	3x

						3
						3

−

+C =

x −

+C.

Ответ: ∫ xe

x −

+C.

∫ P(x)arcsin xdx,

б).

интегралах

вида

∫P(x)arccos xdx,

∫ P(x)ln xdx принимают dV = P(x)dx, а заU - другие сомножители.

Пример. Найти интеграл ∫ x2 ln xdx.

Решение

= dx

ln x =U;

;

∫ x2 ln xdx =

x2dx = dV ; ∫dV

= ∫ x2dx; V =

ln x −

∫

ln x −

∫x

ln x −

+C.

Ответ: ∫ x

ln xdx =

ln x −

+C.

в). В интегралах вида ∫eax sin bxdx, ∫eax cosbxdx ,

где a,b=const , за

U принимают sin bx, cosbx , а dV = aexdx

Пример. Найти интеграл ∫ex sin xdx

Решение

U = sin x;

dU = cos xdx;

∫ex sin xdx =

V = ex.

dV = exdx;

∫dV = ∫exdx;

= ex sin x − ∫ex cos xdx =

U = cos x;

dU = −sin xdx;

dV = exdx;

V = ex

= ex sin x −ex cos x − ∫ex sin xdx.

∫ex sin xdx = ex sin x −ex cos x − ∫ex sin xdx, откуда

2∫ex sin xdx = ex sin x −ex cos x

∫e

sin xdx =

ex (sin x −cos x)

Ответ: ∫ex sin xdx =

+C .

5. Интегрирование дробно-рациональных функций.

Дробно-рациональной (рациональной) функцией называется отношение

двух алгебраических многочленов Pn ((x)). Здесь

Qm x

Pn (x)= a0 + a1x + a2 x2 +... + an xn ,

(x)= b

+b x +b x2

+... +b xm ,

где a0 , a1, .., an ;

b0 , b1, ..., bm - некоторые действительные числа,

n, m - показатели степени многочлена.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя

меньше степени знаменателя, т.е. n < m. Если n

≥ m, рациональная дробь

называется неправильной.

Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде

суммы простейших дробей следующих видов:

где k = 2, 3,...

;

x − a

(x − a)k

Ax + B

где

− q < 0.

x2 + px

+ q

Способы разложения.

1) Пусть множители знаменателя различные и линейные, т.е. содержат

x1 . Тогда количество простых дробей равно показателю степени знаменателя.
	f (x)		A		B		C
Например,		=		+		+		.
	(x −1)(x −2)(x + 4)		x −1		x −2		x + 4

2) Пусть наряду с линейными множителями присутствуют повторяю-

щиеся линейные множители (например, (x − a)n ). Тогда количество простых дробей равно показателю степени знаменателя. Например,

f (x)

(x +5) x (x −7)3

x +5

−7)3

(x −7)2

x −7

3) Если

знаменатель

содержит

множитель

(x2 + px + q), где

−q < 0 , то разложение правильной дроби на простейшие дроби содержит

простейшую дробь третьего типа. Например,

4x −3

Cx + D

x2 (x2 + 2x + 2)=

x2 + 2x + 2

Коэффициенты

A, B, C, D

можно

вычислить,

приравнивая

коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях уравнения. Рассчитаем коэффициенты A, B, C, D в приведенном выше примере

4x−3	A(x2+ 2x+ 2)+Bx(x2+2x+2)+ x2	(Cx+D)
x2 (x2+2x+2)=	x2 (x2 + 2x + 2)

Если две дроби равны и у них равны знаменатели, то числители их тоже равны. Значит

4x −3 = Ax2 + 2 Ax + 2A + Bx3 + 2Bx2 + 2Bx +Cx3 + Dx2 4x −3 = x3 (B + C)+ x2 (A + 2B + D)+ x(2A + 2B)+ 2A

Составляем систему линейных алгебраических уравнений, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях x :
x3 :	B +C = 0
x2 :	A + 2B + D = 0

x1 :	2 A + 2B = 4

x0 :	2 A = −3

		45

Из четвертого уравнения системы получаем A = −1,5. Подставляя найденное
значение A в третье уравнение, найдем значение B :
−3 +2B = 4		B = 3,5
Подставляя A И B во второе уравнение, рассчитаем D:
7 −1,5 + D = 0		D = −5,5

На основании первого уравнения получаем C = −3,5.

Окончательно получаем разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби:


4x −3	1,5			3,5		3,5x +5,5
x2 (x2 + 2x + 2)= −			+		−		,
x2 (x2 + 2x + 2)= −		x2	+	x	−	x2 + 2x + 2	,

которое легко интегрировать.

4) Чтобы разложить неправильную дробь на простейшие дроби, необходимо представить её в виде суммы алгебраического многочлена и правильной дроби, разделив числитель дроби на знаменатель.

Пример. Найти интеграл ∫	5x3	+ 2x +3
		x2	dx.
			−1

Решение

Под знаком интеграла стоит неправильная дробь. Поэтому сначала надо выделить из неё целую часть, разделив числитель на знаменатель, а затем остаток разложить на сумму простейших дробей:

1. выделим целую часть:

5x3 + 2x2 −3	x2 −1
−5x3 +5x	5x + 2
2x2 +5x −3
−2x2 + 2
5x −1

Т.о, неправильную дробь представляем в виде

5x3 + 2x2 −3	= (5x + 2)+	5x −1.
x2 −1		x2 −1

2.Правильную дробь разложим на простейшие дроби

5x −1		=	5x −1	=	A		+	B
x2 −1			(x −1)(x +1)		x −1			x +1

3.Находим коэффициенты A и B :

5x −1

A(x +1)+ B(x −1)

(x −1)(x +1)

5x −1 = Ax + A + Bx − B

5x −1 = (A + B)x +(A − B)

A + B = 5

A − B = −1

2 A = 4;

A = 2

2 + B = 5;

B = 3

Значит

5x −1

, а исходная дробь на основании этих расчетов

x2 − 2

−1

x +1

будет представлена как

5x3 + 2x2 −3

= 5x + 2 +

−1

x +

Теперь находим интеграл

5x3 + 2x2 −3

2dx

3dx

∫

dx = ∫5xdx + ∫2dx + ∫

+ ∫

2 −1

−1

x +1

= 5

+ 2x + 2ln

x −1

+3ln

x +1

+C.

5x3

+ 2x2

−3

Ответ: ∫

+ 2x + 2ln

x −1

+3ln

x +1

+C.

x2 −1

Определенный интеграл

Предел интегральной суммы ∑ f (xi )∆xi , если он существует, при

i=1

∆xmax → 0, называется определенным интегралом

		n	b
lim		∑ f (xi )∆xi = ∫ f (x)dx.
∆x i max	→0	i=1	a

Здесь:

a − нижний предел интегрирования;

подынтегральное выражение.

b − верхний предел интегрирования; f (x)− подынтегральная функция;

f (x)dx −

b∫ f (x)dx - есть определенное число.

Свойства определенного интеграла
1.b∫kf (x)dx = kb∫ f (x)dx,		k −const,
a	a
b		b	b	ϕ(x)dx ±...,
2.∫	(f (x)±ϕ(x)±...)dx = ∫ f (x)dx ± ∫			ϕ(x)dx ±...,
a		a	a
b	a
3.∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx,
a	b
4.b∫ f (x)dx = c∫ f (x)dx + b∫ f (x)dx,				a < c < b.
a	a	c

Формула Ньютона-Лейбница:

∫ f (x)dx = F(x)ba = F(b)− F(a)

Она применяется для вычисления определенного интеграла

Методы вычисления определенного интеграла:

1. Метод непосредственного интегрирования основан на использовании свойств определенного интеграла, таблицы интегралов и формулы НьютонаЛейбница.

Пример. Вычислить определенный интеграл 3∫(2x3 + x2 −5)dx.

Решение											−2
Решение
3						x4		x3
3						x4		x3
∫(2x	3	+ x	2		2		+			3	=
										−2
				−5)dx =		4		3	−5x	−2
−2
−2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]