Высшая математика. Часть II. Математический анализ. Учебное пособие

11.Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

12.Ряд Маклорена. Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд.

13. Разложение по степеням x функций ex , cos x, sin x,

ln(1+ x), (1+ x)m .

14. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Основной формой обучения студента заочного отделения является самостоятельная работа с учебным материалом. Процесс изучения основ высшей математики на заочном отделении факультета “Экономика и управление на предприятии (здравоохранение)” состоит из следующих этапов:

-проработка установочных и обзорных лекций;

-самостоятельная работа с учебниками, учебными и методическими пособиями

иуказаниями в соответствии с учебной программой;

-выполнение контрольной работы и ее защита;

-сдача зачета.

Каждый вариант контрольной работы №2 содержит 9 заданий: Задание 1. Предел функции.

Задание 2. Производные функций и их применение при решении экономиических задач.

Задание 3. Исследование функций с помощью производных.

Задание 4. Применение теории экстремумов для решения экономических задач. Задание 5. Дифференциал функции и его применение к решению экономиичес-

ких задач.

Задание 6. Вычисление неопределенных и определенных интегралов. Задание 7. Дифференциальные уравнения.

Задание 8. Исследование сходимости степенного ряда.

Задание 9. Применение ряда Маклорена к вычислению интегралов. Контрольная работа содержит 10 вариантов. Номер варианта

соответствует последней цифре номера зачетной книжки. В каждом задании студент выбирает пример или задачу, соответствующую последней цифре номера его зачетной книжки. Например, номер зачетной книжки 05013.

Студент решает задачи 1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, 9.3. Если студент неправильно выбрал хотя бы одну задачу, работа не проверяется и возвращается на доработку.

Контрольная работа должна быть представлена на проверку не позднее, чем за 30 дней до начала сессии. После проверки работы выставляется оценка «зачет» или «незачет». Контрольная работа с оценкой «зачет» студенту не возвращается. Контрольная работа с оценкой «незачет» возвращается на доработку. Студенту необходимо исправить ошибки и сдать работу до начала сессии.

9

Студенты, которые не представят вовремя контрольную работу, не будут допущены к ее защите в срок, установленный для группы. На защите студент должен быть готов дать пояснения по решению заданий контрольной работы. Если студент не может защитить выполненную работу, то ему может быть предложен другой вариант контрольной работы (по усмотрению преподавателя).

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Контрольную работу необходимо выполнять в тетради, оставляя поля (6 см) для замечаний рецензента.

2.На титульном листе указать наименование кафедры и дисциплины; факультет, курс, номер группы; номер контрольной работы и варианта; фамилию, имя, отчество без сокращений; номер зачетной книжки.

3.Условия заданий необходимо написать полностью, без сокращений.

4.Решения заданий необходимо сопровождать пояснениями. Расчеты проводить, соблюдая правила приближенных вычислений.

5.При построении графиков функций соблюдать масштаб по осям координат.

6.В конце каждого задания необходимо записать ответ.

7.В конце контрольной работы указать используемую литературу (автор, название, год издания).

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ИПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Способы задания функции Функциональной зависимостью называется зависимость, при которой

каждому значению величины x из множества её значений X (x X ) соответствует определенное значение величины y ( y Y ) , что означает, что на множестве X задана функция y = f (x).

Множество X называется областью определения функции, множество Y

V=f (R).

Функциональная зависимость может быть задана аналитически, графически и с помощью таблицы.

10

Множество точек плоскости с координатами (x, f (x)) называется

графиком функции.

Классификация функций (по виду их формул) Явные функции

Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая

Например, в уравнении x2 + y2 = 25 функция y задана в неявном виде.

Сложные функции

Функция y = f (U ) называется сложной, если её аргумент U в свою очередь является функцией U =ϕ(x) от переменной x , т.е. сложная функция есть функция от функции y = f [ϕ(x)].

Переменную U называют промежуточной функцией, переменную x - конечным аргументом.

Сложная функция является суперпозицией двух или более простых функций.

Например, сложная функция y = ln sin x является суперпозицией функций U = sin x и y = lnU .

Предел функции в бесконечности

Число À называется пределом функции y = f ( x) при стремлении x к бесконечности ( x → ∞), если для любого даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число S > 0 (зависящее от ε ; S = S(ε) ), что для всех x , таких что x > S , верно

неравенство: f (x) − A <ε .

Предел функции обозначается lim f (x) = A или f (x) → A при x→∞

x → ∞.

Предел функции в точке

Пусть функция y = f ( x) задана в некоторой окрестности точки x0 ,

кроме, быть может, самой точки x0 .

11

Число А называется пределом функции y = f ( x) при стремлении x к x0 (x → x0 ), если для любого даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число δ > 0 (зависящее от ε ; δ = δ(ε) ), что для всех x , не равных x0 и удовлетворяющих условию

Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке x0 , ибо рассматривает значения x ≠ x0 в некоторой окрестности

точки x0 . Наличие или отсутствие предела при x → x0 определяется поведе-

нием функции в точке в окрестности точки x0 , но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке x0 .

Замечание 2. Если при стремлении x к x0 ( x → x0 ) переменная x

принимает лишь значения, меньшие x0 , или наоборот, лишь значения, боль-

шие x0 , и при этом функция f (x) стремится к некоторому числу A, то гово-

x → x0 ( x → ∞). И, обратно, если функция f (x) бесконечно большая при x → x0 ( x → ∞), то функция α( x) = f (1x) есть величина

бесконечно малая при x → x0 ( x → ∞).

Основные теоремы о пределах

Пусть f (x) и g(x) - функции, для которых существуют пределы

1.Функция не может иметь более одного предела.

2.Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. ]= A + B .lim [f (x) + g( x)

x→x0 (∞)

3.Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е. ]= A B. Вlim [f (x) g(x)

x→x0 (∞)

частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

lim [k f (x)]= k A.

x→x0 (∞)

4.Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций

13

Решение

Имеем неопределенность вида ∞∞ . Учитывая, что поведение числителя

и знаменателя при x → ∞ определяется членами с наибольшими

показателями степеней ( 4x3 и −3x3 соответственно), разделим числитель и знаменатель на x с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя,

14

Решение

0

Для раскрытия неопределенности вида разложим числитель на

0

множители. Многочлен второй степени можно разложить по формуле:

Производные основных элементарных функций

1.(C)′x = 0, где С −const

2.(xn )′ = n xn−1

3.(ax )′ = ax ln a

11.(arctgx)′ =1 +1x2

12.(arcctgx)′ = −1 +1x2 .

Правила дифференцирования

Пусть u(x) и υ(x) - произвольные функции одного и того же аргу-

мента. При дифференцировании используются следующие правила:

1. (c u)′ = c u′ 2. (u ±υ)′ = u′±υ′

18