Вычисление пределов функций без использования производной. Учебно-методическое пособие по высшей математике

№ 4046 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В ЫС Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

А.В. Кравцов

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2020

УДК 51 К77

Р е ц е н з е н т канд. физ. мат. наук, доцент кафедры математики физического

факультета МГУ имени М.В. Ломоносова А.А. Панин

Кравцов А.В.

К77 Вычисление пределов функций без использования про изводной : учеб. метод. пособие по высшей математике / А.В. Кравцов. – М. : Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 2020. – 33 с.

ISBN 978-5-907226-92-0

В настоящем пособии приведены подробные решения примеров по теме «Предел функции одной переменной» без использования про изводной. Вначале сформулированы основные определения и теоре мы, затем рассмотрены конкретные примеры. Попутно приведены без вывода формулы, которые используются при решении большин ства примеров. В конце предложены примеры для самоконтроля с от ветами.

Направления и профили подготовки: 22.03.01 Материаловедение

итехнологии материалов, 03.03.02 Физика, 11.03.04 Электроника

инаноэлектроника, 28.03.01 Нанотехнология и микросистемная тех ника, 28.03.03 Наноматериалы.

УДК 51

1  Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

Основными логическими символами высшей математи ки являются символы: – «для любого», – «существует» (или «найдется»), – «принадлежит».

Определение  1. Если каждому натуральному числу n по ставлено в соответствие по определенному закону некоторое дей ствительное число xn, то множество действительных чисел x1, x2, ... xn, ... расположенных в порядке возрастания номеров n, называется числовой последовательностью (или просто последо вательностью).

При этом числа xn называются элементами или членами последовательности, а сама последовательность сокращенно обо значается {xn}.

Пусть N – любое натуральное число.

Определение  2. Число а называется пределом последова тельности {xn}, если e > 0 $N(e) такое, что n > N выполняется неравенство |xn – a| < e.

Обозначение: lim xn =a или xn → a при n → ∞. Последняя

n→∞

запись произносится так: «xn стремится к a при n, стремящемся к бесконечности».

Замечание  1. Символ N(e) означает, что число N зависит

от e.

Замечание  2. lim есть сокращение латинского слова limes, которое переводится как «предел».

Последовательность, имеющая предел, называется сходя щейся, не имеющая предела – расходящейся.

Теорема  1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Определение  3. Последовательность {xn} называется бес

конечно малой, если lim xn =0.

n→∞

4

Определение  4. Последовательность {xn} называется бес конечно большой, если A > 0 $N(A) такое, что n > N выполня ется неравенство |xn| > A.

Если при этом выполняется неравенство xn > A (xn < –A) то последовательность {xn} называется бесконечно большой по ложительного (отрицательного) знака. В этом случае использу

большая, то начиная с некоторого номера n определена после

1 довательность , которая является бесконечно малой. Если

xn

последовательность {xn} бесконечно малая и n xn ≠ 0, то после

1 довательность является бесконечно большой.

xn

Замечание  3. Если в теореме  2 последовательность {xn} является бесконечно малой с положительными (отрицательны ми) членами (по крайней мере, начиная с некоторого номера n),

1 то последовательность является бесконечно большой поло

xn

жительного (отрицательного) знака.

Пример  1. Используя определение предела последователь

(то есть что эта последовательность является бесконечно малой). Пусть e – произвольное положительное число. Возьмем в

а это и означает, согласно определению  2, что предел данной по следовательности равен нулю, то есть эта последовательность бесконечно малая.

5

2  Понятие функции. Предел функции. Бесконечно большие функции

Пусть х – числовая переменная величина, изменяюща яся на множестве X. Если каждому числу х поставлено в соот ветствие по некоторому закону число y, то говорят, что на мно жестве X определена функция от х. Данный факт обозначается следующим образом: y = f(x). Переменная х называется незави симой переменной или аргументом функции, множество X – об ластью определения этой функции. Число y, соответствующее определенному значению аргумента х, называется частным зна чением функции f(x) в точке х. Совокупность Y всех частных значений называется областью значений функции.

Символ f(x) называется характеристикой функции, кото рая показывает, по какому именно закону числу x поставлено в соответствие число y.

Для обозначения функции также используются символы: y = j(x), y = F(x), y = u(x) и так далее. Иногда частное значение функции обозначается буквой, отличной от y, например t = g(x). В некоторых случаях частное значение и характеристика функ ции обозначаются одной и той же буквой: y = y(x). Допускается и сокращенная запись: f(x) или y(x).

Пусть на множестве X определена функция t = g(x), и T – множество ее значений. Пусть далее на множестве T определена функция y = h(t). Тогда говорят, что на множестве X определена

сложная функция и пишут y = h(g(x)).

Окрестностью точки a называется интервал (a – d, a + d) с центром в точке a, где d – некоторое положительное число.

Точка a называется предельной точкой множества X, если в любой окрестности точки a содержатся точки множества X, от личные от a. При этом точка a может и не принадлежать множе ству X.

Во всех последующих определениях считается, что точка a есть предельная точка множества X и множество X является об ластью определения функции f(x).

Определение предела функции и определение бесконечно большой функции обычно даются в двух эквивалентных фор

6

мах – при помощи логических символов (или на языке «e – d») и на языке последовательностей. Определение предела функции на языке «e – d» называется определением по Коши, а на языке последовательностей – определением по Гейне.

Определение  5 (по Коши). Число b называется пределом функции f(x) в точке a (или при x → a), если e > 0 $d(e) > 0 та кое, что x, удовлетворяющего условиям x X, 0 < |x – a| < d, выполняется неравенство |f(x) – b| < e.

Определение  6 (по Гейне). Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если для любой сходящейся к a последо вательности значений аргумента {xn}, такой, что xn X, xn ≠ a, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к b.

Обозначение: limf(x) =b или f(x) → b при x → a.

x→a

Отметим, что функция f(x) может быть не определена в точке a.

Определения  5 и 6 предела функции эквивалентны. Теорема  3. Пусть функции f(x) и g(x) определены в не

которой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точ

Определение  7 (по Коши). Число b называется правым (ле вым) пределом функции f(x) в точке a, если e > 0 $d(e) > 0 такое, что x,удовлетворяющегоусловиямx X,a<x<a+d(a–d<x<a), выполняется неравенство |f(x) – b| < e.

Определение  8 (по Гейне). Число b называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если для любой сходя щейся к а последовательности значений аргумента {xn}, такой, что xn X, xn > a (xn < a), соответствующая последовательность

Определения  7 и 8 эквивалентны.

Замечание  4. Если само a = 0, то вместо x →0 + 0 (x →0 – 0) используется сокращенная запись x → +0 (x → –0).

7

Замечание 5. Иногда вместо термина «правый (левый) предел» применятся термин «предел справа (слева)».

Правый и левый пределы объединяются общим названием «односторонние пределы».

Теорема 4. Для существования предела limf(x) необходи

x→a

мо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних преде ла функции f(x) в точке a и выполнялось равенство

lim f(x) = lim f(x).

x→a+0 x→a−0

Пусть функция f(x) определена при x ≥ c.

Определение  9 (по Коши). Число b называется пределом функции f(x) при x → +∞, если e > 0 $A(e) > 0 (A ≥ c) такое, чтоx > A выполняется неравенство |f(x) – b| < e.

Определение  10 (по Гейне). Число b называется пределом функции f(x) при x →+∞, если для любой бесконечно большой по

следовательности значений аргумента {xn} положительного знака (xn ≥ c) соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к b.

Обозначение: lim f(x) =b или f(x) → b при x → +∞.

x→+∞

Определения  9 и 10 эквивалентны.

Если функция f(x) определена при x ≤ c, то аналогично вво

дятся определения предела при x → –∞ (обозначение: lim f(x) =b

x→−∞

или f(x) → b при x → –∞). Для этого в определениях  9 и 10 нужно заменить символ +∞ на –∞ и неравенства A ≤ c и x > A в определении  9 заменить на –A ≤ c и x > –A соответственно, а в определении  10 словосочетание «положительного знака» за менить словосочетанием «отрицательного знака» и неравенство

lim f(x) =b.

x→∞ Замечание  6. Теорему  3 можно переформулировать для случая, когда x → a ± 0 или x → ±∞.

Теорема  5. Пусть функции t = g(x) и y = h(t) определены в некоторых окрестностях точек a и b соответственно, кроме, быть может, самих точек a и b. Пусть область значений функ

8

ции t = g(x) принадлежит области определения функции y = h(t)

x из некоторого множества 0 < |x – a| < d, принадлежащего области определения функции g(x). Тогда существует предел сложной функции y = h(g(x)) в точке a и имеет место равенство

Замечание  7. Теорему  5 можно переформулировать для случая, когда x → a ±0 или x → ±∞.

Определение  11. Функция f(x) называется бесконечно большой положительного (отрицательного) знака в точке a спра ва, если M > 0 $d(M) > 0, такое, что x, удовлетворяющего ус ловиям x X, a < x < a + d, выполняется неравенство f(x) > M (f(x) < –M).

Определение  12. Функция f(x) называется бесконечно большой положительного (отрицательного) знака в точке a спра ва, если для любой сходящейся к a последовательности значений аргумента {xn}, такой, что xn X, xn > a, соответствующая по следовательность значений функции {f(xn)} является бесконечно большой положительного (отрицательного) знака.

Обозначение: lim f(x) = +∞ или f(x) → +∞ при x → a + 0

x→a+0

( lim f(x) = −∞ или f(x) → –∞ при x → a + 0).

x→a+0

Определения  11 и 12 эквивалентны.

Аналогично вводится понятие бесконечно большой функ ции в точке a слева. Для этого в определении  11 нужно двойное неравенство a < x < a + d заменить на a – d < x < a, а в определе нии  12 неравенство xn > a заменить на xn < a.

Пусть функция f(x) определена при x ≥ c.

Определение  13. Функция f(x) называется бесконечно большой положительного (отрицательного) знака при x → +∞, если M > 0 $A(M) > 0 (A ≥ c), такое, что x > A выполняется не равенство f(x) > M (f(x) < –M).

Определение  14. Функция f(x) называется бесконечно большой положительного (отрицательного) знака при x → +∞, если для любой бесконечно большой последовательности значе ний аргумента {xn} положительного знака (xn ≥ c) соответствую

9

щая последовательность значений функции является бесконеч но большой положительного (отрицательного) знака.

Обозначение: lim f(x) = +∞ или f(x) → +∞ при x → +∞

x→+∞

( lim f(x) = −∞ или f(x) → –∞ при x → +∞).

x→+∞

Определения  13 и 14 эквивалентны.

Если функция f(x) определена при x ≤ c, то аналогично вво дится понятие бесконечно большой функции при x → –∞ положи

тельного или отрицательного знака (обозначение: lim f(x) = +∞

x→−∞

или f(x) → +∞ при x → –∞ и lim f(x) = −∞ или f(x) → –∞ при

x→−∞

x → –∞ соответственно). Для этого в определениях  13 и 14 нужно заменить символ +∞ на –∞ и в определении  13 неравенства A ≥ c и x > A заменить на –A ≤ c и x < –A соответственно, а в опреде лении  14 словосочетание «{xn} положительного знака» заменить словосочетанием «{xn} отрицательного знака» и неравенство xn ≥c заменить на xn ≤ c.

Замечание  8. Теорему  5 можно переформулировать для случая, когда функция g(x) является бесконечно большой опре деленного знака в точке a справа или слева.

10