Вычисление пределов функций без использования производной. Учебно-методическое пособие по высшей математике

4)  arctg a(x) ~ a(x); 5)  ln (1 + a(x)) ~ a(x);

6)  aa(x) – 1 ~ a(x) ln a (0 < a ≠ 1), в частности, ea(x) – 1 ~ a(x); 7)  (1 + a(x))p – 1 ~ pa(x) (p ≠ 0).

Замечание  13. Указанная таблица остается справедливой, когда a(x) → 0 при x → ±∞.

21

6  Примеры вычисления пределов с использованием таблицы эквивалентных бесконечно малых функций

Пример  17. lim sin(3x2 ).

x→0

Здесь a(x) = 3x2 → 0 и b(x) = 5x → 0 при x → 0, и мы имеем предел отношения бесконечно малых функций a1(x) = sin a(x) и b1(x) = tg2 b(x). Согласно формулам  1 и 2 таблицы sin(3x2) ~ 3x2, tg2(5x) ~ (5x)2 = 25x2 при x → 0. Поэтому

a1(x) = ln (1 + 4x3) ~ 4x3, b1(x) = x2 arcsin(7x) ~ x2 × 7x = 7x3 при x → 0 (формулы  5 и 3 соответственно). Таким образом:

Пример  19. lim arctg4 (2x).

x→+0 e−3x2 −1

arctg4(2√x) ~ (2√x)4 = 16x2, e−3x2 −1 −3x2 при x → 0 (фор мулы  4 и 6 соответственно), и тогда

Но −15 xtg36x −15 x (6x)3 = −2165 x4 при x → 0 (формула  2). Ана

22

логично ln (1 + sin4x) ~ sin4x при x → 0 (формула  5, в которой a(x) = sin4x). Наконец, sin4x ~ x4 при x → 0 (формула  1), так что

−216 окончательный ответ будет 5 .

Пример  21. lim ln(cos5x) . x→0 ln(cos3x)

В этом примере (как и в некоторых последующих) целе сообразно функцию косинус преобразовать в квадрат синуса по ловинного угла. Далее необходимо последовательно применить формулы  5 и 1 таблицы. Итак:

sin2 32x 94x2 при x → 0).

23

7  Формула для раскрытия неопределенности вида 1∞. Различные

приемы вычисления пределов

Приведем без вывода полезную формулу, позволяющую

формулы (***) возникла неопределенность вида 00. Для раскры

тия этой неопределенности необходимо сделать замену перемен ной так, чтобы новая переменная стремилась к нулю при x → 1. Подобный прием часто применяется, когда исходная перемен ная стремится к числу, отличному от нуля. Итак, пусть t = 1 – x,

24

Пример  25. lim(tgx)tg2x.

x→4π

Делаем замену переменной t =x − 4π, t → 0 при x → 4π,

Тогда

функция, стоящая под знаком предела, дает нам пример еще одного вида неопределенного выражения, который обозна чается символом 0∞. Чтобы раскрыть данную неопределен ность, снова сделаем замену переменной t = 1 – x, при этом

(tg πt πt при t → 0).

2 2

25

Здесь под знаком предела стоит разность двух функций, каждая из которых стремится к +∞ при x → +∞. Таким образом, при x → +∞ возникает (уже пятый по счету) вид неопределенного выражения, обозначаемый условно ∞–∞. Поступим следующим образом: домножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела, на сопряженное выражение, а затем в числителе и зна менателе полученной дроби вынесем за скобки х в старшей сте пени. Имеем

теля рассматриваемой дроби нельзя (иначе получился бы со вершенно неверный и абсурдный ответ). Заменять бесконечно малые функции на соответствующие эквивалентные можно только в случае частного двух бесконечно малых. В данном при мере числитель дроби представляет собой разность бесконечно малых. Поэтому сначала необходимо выполнить алгебраические преобразования

26

домножить и разделить на сопряженное выражение, а знамена тель преобразовать в квадрат синуса половинного угла (как это было сделано в предыдущих примерах):

Снова неопределенность вида 00, знаменатель дроби умно жаем и делим на сопряженное выражение:

27