Вычисление пределов функций без использования производной. Учебно-методическое пособие по высшей математике

3  Примеры бесконечно больших функций и способы вычислений простейших пределов

Пример  2. Рассмотрим функцию f(x) = x1−1. Докажем,

используя определение  11, что f(x) является бесконечно боль шой положительного знака в точке x = 1 справа. Возьмем про извольное число M > 0 и по нему выберем положительное число

d< M1 . Тогда x, удовлетворяющего условию 1 < x < 1 + d, бу дет выполняться неравенство f(x) = x1−1 > M, а это и означает

(согласно определению  11), что функция f(x) = x1−1 является

бесконечно большой положительного знака в точке x = 1 спра ва. Теперь докажем, что f(x) является бесконечно большой от рицательного знака в точке x = 1 слева. Снова по числу M > 0

выберем d< M1 и на этот раз x, удовлетворяющего условию

lim f(x) = −∞.

x→1−0

Этот же факт можно доказать и на языке последователь ностей, используя определение  12. Возьмем произвольную схо дящуюся к единице последовательность значений аргумента, члены которой больше единицы (например, последовательность

малая, члены которой положительны. И, следовательно, в силу

является бесконечно большой положительного знака. Так как {xn} – произвольная (сходящаяся к единице) последователь ность значений аргумента, то, согласно определению  12, это и означает, что функция f(x) является бесконечно большой поло

11

жительного знака в точке x = 1 справа. Теперь возьмем произ вольную сходящуюся к единице последовательность значений аргумента, члены которой меньше единицы (например, после

малая последовательность с отрицательными членами, и поэто

отрицательного знака. В силу произвольности {xn} это означает, что функция f(x) является бесконечно большой отрицательного

h(t) = 2t. Если x → –3–0, то t → –∞ (см. пример  2). Докажем, что

1

разом, для функции f(x) =2x+3 существует предел в точке x = –3 слева, равный нулю. Если x → –3 + 0, то t → +∞ (см. пример  2). Докажем, используя определение  13, что в этом случае функция h(t) = 2t является бесконечно большой положительного знака,

а значит, предел lim h(t) не существует. Действительно, для лю

t→+∞

бого достаточно большого M > 0 $A(M) = log2M, такое, что t > A

будет выполняться неравенство 2t >2log2 M = M. Следовательно,

12

оба односторонних предела в точке x = 0 существуют, но не рав ны между собой. На основании теоремы  4 предел данной функ ции в точке x = 0 снова не существует.

Правый и левый пределы в точке x = 5 существуют, но вновь не со впадают, следовательно, по теореме  4 предел исследуемой функ ции в точке x = 5 не существует.

пределы функции f(x) в точке x = –2 существуют и равны друг другу, значит, по теореме  4 существует «обычный» («двусторон ний») предел функции f(x) в точке x = –2, равный односторон

ним пределам в этой точке, то есть 54.

13

Если рассматривать тот же предел, но при x → –∞, то чис литель и знаменатель дроби будут стремиться уже к –∞. Тем

не менее вид неопределенного выражения по прежнему будет ∞∞

и, поступая аналогично, снова получим ответ 76. Поэтому перед символом ∞ можно было не ставить знак плюс.

ку пределы числителя и знаменателя существуют и равны соот ветственно 532 =2 и 1).

Пример  9. lim x2 +2x −15.

x→3 x2 −5x +6

Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, когда x → 3, и мы имеем дело еще с одним видом неопределенного вы

ражения – 00 (запись эта также является чисто условной). Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знамена

избавляемся от неопределенности и, переходя к пределу в остав шемся выражении, получаем ответ: 8.

определенности и получаем ответ 6.

15

мерах подобного типа следует умножить и разделить числитель и знаменатель дроби на соответствующее сопряженное выраже

ние. Для числителя сопряженное выражение есть x2 +4 +2, для знаменателя – x2 +9 +3. Имеем

lim (x2 +4 −2)(x2 +4 +2)(x2 +9 +3) = x→0 (x2 +9 −3)(x2 +9 +3)(x2 +4 +2)

=lim (x2 +4 −4)(x2 +9 +3). x→0 (x2 +9 −9)(x2 +4 +2)

После сокращения на x2 в оставшееся выражение подстав

2 1

x3 +2x3 +4 (чтобы применить формулу для разности кубов).

16

4  Число e. Второй замечательный предел. Вычисление пределов на основе второго замечательного предела

В математическом анализе доказывается существование

Число e иррациональное, его приближенное значение есть e ≈ 2,718281828459045.

Далее в математическом анализе доказывается, что суще

обозначить буквой x, считая, что x теперь стремится к нулю, то второй замечательный предел (*) можно записать в другой форме:

На основе второго замечательного предела, записанного в формах (*) и (**), вычисляются более сложные пределы.

17

ные скобки, равен e, поэтому окончательный ответ есть e 3 . Замечание  10. В последнем примере можно было ввести

и другую, равносильную замену, положив 1t = 32x. В этом случае

t → ∞ при x → ∞ и ответ, очевидно, был бы тот же самый.

2

окончательный ответ.

18

5  Бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

Определение  15. Функция a(x) называется бесконечно ма лой при x → x0, если

lim a(x) =0.

x→x0

Определение  16. Две бесконечно малые при x → x0 функ ции a1(x) и a(x) называются эквивалентными бесконечно малыми, если

lim a1(x) =1.

x→x0 a(x)

Обозначение: a1(x) ~ a(x) при x → x0.

Эквивалентные бесконечно малые функции широко при

то использование эквивалентных бесконечно малых функций значительно упрощает процесс вычисления пределов.

Замечание  12. Аналогично вводится понятие эквивалент ных бесконечно малых функций при x → x0 ± 0 и при x → ±∞.

Приведем без вывода таблицу эквивалентных бесконечно малых функций для некоторых элементарных функций, часто встречающихся на практике (во всех формулах считается, что

a(x) → 0 при x → x0): 1)  sin a(x) ~ a(x);

2)  tg a(x) ~ a(x);

3)  arcsin a(x) ~ a(x);

20