Высшая математика. Часть II. Математический анализ. Учебное пособие

3.(u υ)′ = u′ υ +υ′ u

4.u ′ = u′ υ −υ′ u .υ υ2

Частное значение производной функции

Пусть аргумент функции y = f (x) принимает определённое значение

по конечному аргументу равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по конечному. Формулу (2.2) называют цепным правилом.

Пусть некоторая сложная функция имеет несколько промежуточных

19

y′x = (z3 )′z zu′ u′x

y'x = 3z2 (ln u)′u (4x2 )′x y′x = 3z 2 u1 8x

или:

y′x = 3ln2 u 41x2 8x = 3ln2 4x2 41x2 8x = 6x ln2 4x2 .

Ответ: y′x = 6x ln2 4x2.

Частные производные

Понятие частных производных вводят для функций, которые зависят от двух и более переменных, например z = f (x; y).

Например, объем цилиндра V = πR2 H является функцией радиуса R его основания и высоты H : V = f (R; H ).

Скорость изменения функции z = f (x; y) по какой-либо переменной

20

Частная производная функции z = f (x; y) по переменной y

обозначается ∂∂yz или z'y . Для ее вычисления находят производную по

= 2x + 0 −1 y = 2x − y.

21

Fy′(x; y)= [x = const]= (x2 + y2 − xy)′у = = 0 + 2 y − x 1 = 2 y − x.

3. Запишем выражение производной неявной функции согласно формуле

(2.3):

y′x = −22xy −− yx .

Ответ: y′x = −22xy −− yx .

ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИКЕ

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике.

В спектр этих функций входят линейные, степенные, показательные, экспоненциальные, логарифмические функции. При описании периодичности экономических процессов используются и тригонометрические функции. Наиболее часто в экономике используются следующие функции:

1.Функция спроса на некоторый товар – зависимость объема (количества) пользующегося спросом товара q от его цены p: q = q( p);

2.Функция предложения – зависимость количества предлагаемых на рынке товаров и услуг S от их цены p: S = S( p).

Рассматривая в одной системе координат кривые спроса q( p) и предложения S( p) , можно установить равновесную (рыночную) цену товара.

3. Производственные функции - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов:

а) Функция выпуска продукции u = u(x) – зависимость объема u произведенной продукции от объема ресурсов x .

б) Функция издержек C = C(q) – зависимость издержек производства C от объема продукции q.

в) Функция дохода R = R(q) − доход (выручка) от реализованной продукции q : R = p q . Здесь p − цена единицы продукции.

г) Функция прибыли П(q) = R(q) −C(q) и другие функции.

Производные функции в экономике

1. Пусть функция u = u(t) выражает зависимость объема произведенной продукции u от времени.

22

du

Производная этой функции dt имеет смысл производительности труда

Z , т.е. скорости производства: Z = dudt . Вторая производная от объема

произведенной продукции по времени является ускорением для данной функции или скоростью для производительности труда за единицу времени.

Пример. Объем продукции u , произведенной бригадой рабочих, выражается функцией u = −1,1t3 + 7,5t 2 +100t +50 (ед.), где t - рабочее

время в часах и 1 ≤ t ≤ 8. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания и скорость изменения производительности.

Решение

Производительность труда Z (t) = u′(t) = −3,3t2 +15,0t +100 (ед/час).

При t1 =1 час имеем: производительность труда

Z(1) = −3,3 12 +15,0 1+100 =111,7 (ед/час).

При t 2 = 8 −1 = 7 час она равна:

Z(7) = −3,3 72 +15,0 7 +100 = 43,3 (ед/час).

Сравнение производительности через 1 час после начала рабочего дня и за 1 час до его окончания показывает, что она существенно снижается.

Скорость изменения производительности Z ′(t) = −6,6t +15,0 (ед/час2).

2. Пусть C(q) - функция издержек производства от количества произведенной продукции, ∆q - прирост продукции, ∆C - приращение

∆C

издержек производства, ∆q - среднее приращение издержек на единицу

издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогичным образом могут быть определены: предельная выручка, предельный доход, предельная полезность и другие предельные величины. Так,

q′( p) дает приблизительно увеличение спроса при увеличении цены на одну

единицу, S′( p) - увеличение предложения товара при увеличении цены на одну единицу.

23

Пример. Зависимость между издержками производства C и общим объёмом выпускаемой продукции q выражается функцией

C(q) = 0,01q 3 −0,3q2 +8q +1000 (ден.ед.). Определить предельные издержки при объёме продукции q =10.

Решение

Функция предельных издержек выражается производной

C′(q) = 0,03q2 −0,6q +8.

При q =10 предельные издержки составят

C′(q)= 0,03 102 −0,6 10 +8 = 5 (ден.ед.)/(ед.прод).

Вывод: если произведено 10 единиц продукции, то дополнительные затраты на производство одиннадцатой единицы продукции равны приблизительно 5 ден.ед.

3. В экономике используется понятие эластичности функции.

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f (x) при изменении независимой переменной x на

1%.

Эластичность функций применяется при анализе спроса и предложения. Так, эластичность функции спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%, а эластичность функции предложения показывает, на сколько процентов изменится предложение при измене-

Ex(y) =1, то говорят о спросе с единичной эластичностью

= p +8

Пример. Опытным путем установлены функции спроса q p + 2 и

предложения S = p + 0,5, где q и S - количество товара, p - его цена. Найти эластичность спроса и предложения при цене p =2.

24

Решение

По формуле (2.4) найдем эластичность спроса, заменив x на p, а y на

q :

Вывод:

а) Эластичности спроса и предложения по абсолютной величине меньше 1, это значит, что при цене p = 2 спрос и предложение неэластичны

относительно цены, изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения.

б) Ep=2 (q) = −0,3; Ep=2 (S) = 0,8. Это означает, что при увеличении цены p на 1% спрос q уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на

0,8%.

Правило Лопиталя

Для раскрытия неопределенностей вида 00 или ∞∞ нужно от предела

отношения двух функций перейти к пределу отношения производных этих функций. Если предел отношения производных стремится к некоторому пределу (конечному или бесконечному), то к этому же пределу стремится и

25

Замечание 1: Обращаем внимание, что в правой части формулы берется отношение производных функций, а не производная отношения функций.

Замечание 2: Может случиться так, что отношение производных снова

удобно провести следующие исследования.

26

функция нечетная; если f (−x) ≠ f (x) ≠ − f (−x) , то имеется функция общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси OY , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция общего вида симметрии не имеет.

=x2 2 = y(x)и график функции симметричен относительно оси OY .

1− x

3.Рассмотреть поведение функции в окрестностях точек разрыва.

следовательно, в этих точках функция терпит разрыв.

Точки разрыва подразделяются на точки разрыва 1-го рода и 2-го рода.

Если в точке x0 существуют конечные односторонние пределы lim f (x) x→x0 −0

и lim f (x), но они не равны между собой, или же односторонние пределы x→x0 +0

равны между собой, а значение функции в этой точке не совпадает с односторонними пределами, то x0 называется точкой разрыва 1-го рода.

Если в точке x0 не существует хотя бы один из односторонних пределов

или он равен бесконечности, то x0 называется точкой разрыва 2-го рода. Установим характер разрыва данной функции в точках разрыва.

27

Так как пределы слева и справа вблизи точек x = −1 и x =1 бесконечны, то в этих точках функция терпит разрыв 2-го рода.

4.Определить асимптоты графика

оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называют асимптотами.

Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и