Высшая математика. Часть II. Математический анализ. Учебное пособие

lim Sn = S

(8.2).

n→∞

Пример. Доказать сходимость ряда

1

1

1

1

+

+

+...

+

+...

1 2

2 3

3 4

n(n +1)

Решение

Найдем частичную сумму ряда

1

1

1

1

Sn =

+

+

+... +

.

1 2

2 3

3 4

n(n +1)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

=1−

;

=

−

;

=

−

;

=

−

.

1 2

2

2 3

2

3

3 4

3

4

n(n +1)

n

n +1

Sn =1−

1

+

1

−

1

+

1

−

1

+... +

1

−

1

=1−

1

=

n

n +1

n +1

n +1

2 2 3

3 4

n

Sn = lim

n

1

lim

= lim

1

−

=1

n +1

n→∞

n→∞ n +1

n→∞

Следовательно, ряд сходится к сумме S =1.

Свойства сходящихся рядов.

1.

Если ряд u1 +u2 +u3 +... +un +... сходится и имеет сумму

Для того чтобы сходился ряд u1 +u2 +u3

∞

4.

+... +un +... = ∑un ,

n=1

необходимо и достаточно, чтобы при n →∞ остаток ряда стремился к

нулю,

lim rn = 0.

n→∞

Теорема. Если ряд u1 +u2 +u3

+... +un +... =

∞

∑un сходится, то

предел его общего члена un при n →∞ равен нулю

n=1

lim un = 0

(8.3)

n→∞

Следствие. Если предел общего члена ряда при n → ∞ не равен нулю,

u1 +u2

+u3

∞

(8.4)

+... +un +... = ∑un

n=1

υ1 +υ2

+υ3

∞

(8.5),

+... +υn +... = ∑υn

n=1

1. геометрический

ряд

∞

n−1

2

+... + aq

n−1

+...,

∑aq

= a + aq + aq

q

n=1

сходящийся при

< 1, расходящийся при

q

≥1;

∞ 1

=1 +

1

+

1

+... +

1

+... - расходящийся;

2. гармонический ряд

∑

2

3

n

n=1 n

60

∞

1

1

1

1

3. обобщенный гармонический ряд

∑

= 1+

+

+...+

+...,

α

α

α

α

n=1

n

2

3

n

сходящийся при α >1, расходящийся при α <1.

2) Признак Даламбера

∞

u1 +u2 +u3 +

... +un +... =

Теорема.

Пусть

для

ряда

∑un

существует предел отношения (n +1)-го члена к n-ому члену

n=1

un+1

=l

(8.6),

lim

n

→∞

un

то при: l <1 ряд сходится,

l >1 ряд расходится,

l =1

вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

∞

2n

∑

.

3

n

+ 7

n=1

Решение

un =

2n

;

un+1

=

2n+1

3n

+

7

3n+1 + 7

2n+1

2 2n (3n + 7)=2

3n + 7

lim

3n+1 + 7

=

lim

lim

=

n→∞

2n

n→∞

2n (3n+1 + 7)

n→∞3 3n + 7

3n + 7

1 +

7

=2 lim

3n

=

2

<1

n→∞

7

3

3 +

n

3

∞

Теорема.

Пусть дан ряд

u1 +u2 +u3 +... +un +... = ∑un ,

члены

n=1

которого

положительны и не

возрастают, т.е.

u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥... ≥ un , а

функция

f

(x), определенная при x ≥1, непрерывная и невозрастающая и

f (1)= u1;

f (2)= u2 ; ...; f (n)= un ,... Тогда для сходимости ряда

∞

∑un

n=1

необходимо

и

достаточно,

чтобы сходился

несобственный интеграл

степенным рядом:

+... + c xn +...

(9.1)

c

+ c x + c x2

+ c x3

0

1

2

3

n

Числа c0 , c1, c2,..., cn,... называются коэффициентами степенного

ряда.

Область сходимости степенного ряда

Областью сходимости степенного ряда называется совокупность тех

значений x , при которых степенной ряд сходится.

Например,

для

ряда

1 + x + x2 +... + xn +...,

у которого

x

= q <1,

область сходимости (−1;1), т.к. его можно рассматривать как

сходящийся геометрический ряд со знаменателем q = x.

Теорема

Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении

всех значениях x таких, что

x

<

x0

.

2) Если степенной ряд расходится

при x = x1, то он расходится при всех значениях x таких, что

x

>

x1

.

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R ≥ 0 , что при

x

< R ряд сходится,

а при

x

> R ряд расходится. Это число называется

радиусом сходимости,

а интервал (− R; R)− интервалом

сходимости.

Можно показать [1, стр.381], что

R = lim

cn

(9.2).

cn+1

n→∞

∞

xn

Пример. Найти область сходимости степенного ряда n∑=1

.

n(n +1)

Решение

∞

x

n

=

x

+

x

2

+

x

3

+... +

x

n

+...

∑

n(n +1)

1

3 4

n(n +1)

n=1

2 2 3

lim Sn = lim

n

1

= lim

1

−

=1 (см. стр.61).

n→∞

n→∞ n +1

n→∞

n +1

Следовательно,

ряд сходится

к

сумме

S =1, а

область

сходимости ряда

[−1,1].

n

∞

x

есть [−1;1].

Ответ: область сходимости ряда

∑

n(n +1)

Свойства

степенного

ряда.

n=1

Пусть

сумма степенного

ряда

является

∞

функцией

∑c xn = f (x).

Математический анализ строго доказывает, что

n

n=0

степенные ряды можно почленно дифференцировать

f ' (x)= c + 2c x +3c x2 +... + nc xn−1 +...