Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Часть II. Математический анализ. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

783 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Решение

(−1)n x2n

cos x =1−

−

+... +

+...

(2n)!

cos x

−

+...

cos x

∫

dx =

∫

−

+... dx =

−

= ln x

+...

π2

π4

π6

π −

256

4096

= ln

−

+...

−

2 2

4 24

6 720

π2

π4

π6

π −

+ 1296 −

46656

− ln

+...

2 2

4 24

6 720

= (− 0,2421 −0,1541 + 0,0039 −0,00005 +...)−

−(−0,6475 −0,0685 + 0,0008 − 0,000005 +...)

Впервой скобке четвертый член меньше, чем заданная точность ( r4 < 0,001),

поэтому его можно отбросить. Во второй скобке отбросим члены, начиная с третьего члена, т.к. уже его величина меньше заданной точности. Получаем

4∫cos x =−0,2421−0,1541+0,0039 +0,6475+0,0685=0,3237 ≈0,324.

π x

Ответ: 4∫cos x dx = 0,3230

π x

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

1. Вычислите пределы функций; п. г) вычислите, воспользовавшись правилом Лопиталя:

1.1

а) lim

x2 −3x+4

;

б) lim

8x+1 −3

;

2x2 +

2 +

−

x→∞

x→1

sin 3x

2x 3

в) lim

;

г) lim

x3 +1

x→0

x→−1 sin(x +1)

1.2

x3 −13x

x2 +x−12

а) lim

;

б) lim

;

3x4 +7

2x2 −9x+9

x→∞

x→3

в) lim

tg8x

;

г) lim

−e

x→0

x→1 sin(x2 −1)

1.3

3x4 −9

5x−1 −2

а) lim

;

б) lim

;

5x4 −3x2 +8

x2 +2x−3

x→∞

x→1

в) lim

sin 5x

;

г) lim

ex −1

x→0 sin 3x

x→0 sin 2x

1.4

2x2 −3x+5

x2 +x−20

а) lim

;

б) lim

;

4x2 +7x−9

x2 −2x−8

x→∞

x→4

в) lim

(sin 4x)2

;

г) lim

x2 −1

16x2

3ln x2

x→0

x→1

1.5	5x+7
а) lim	5x+7		;
а) lim			;
x→∞ 3x2 −8x+4
в) lim	tg2x	;
в) lim		;
x→0 sin 5x
1.6

а) lim 4x3 −2x+3 ;

x→∞ x2 +5x−1

в) lim(1+3) x ;

x→∞ x

1.7

а) lim−3x2 +7x+4 ; x→∞ 6x2 +9x−5

	−	1 x
в) lim 1			;

x→∞		x

1.8

8x2−3x+10 а) lim x2+ x− ;

x→∞4 5 13

в) lim(1 +5x)

;

x→0

1.9

−8x2 +5

а) lim

;

10x +1

x→∞ 4x

12x +3 x

в) lim

;

x→∞ 12x

1.10

5x2

+3x −8

а) lim

;

−

7x +1

x→∞ 4x

б) lim	x2	+7x + 6
б) lim		x2 −1
x→−1		x2 −1

sin x г) lim − − .

x→0 e 2 x 1

б) lim x2 +3x−10 ; x→2 3x−2 −2

г) limе2 −1.

x→0 3x

б) lim	3x+10−5		;
x→5 x2 −8x+15
г) lim	ex −1	.

x→0 cos3x −1

б) lim x2 −5x−24 ;

x→−3 x2 −x−12

e3x−1

г) lime5 x−1.

x→0

б) lim	x +6 −3	;
x→3	x −3

г) lim ex −e−x . x→0 sin 6x

б) lim	5 − x2		− 2
	1− x	2	;
x→1

	4x −1 x				г) lim	ex −e−x −2x
в) lim		;;						.
в) lim		;;					x −sin x	.
x→∞	4x +1				x→0		x −sin x
2. Производная функции
2.1
А) Найдите производные функций:
а) y =	x sin x			б) y = e	2x +ln x ;		в) x2 y + x y2 = 4.
а) y =	1 −cos x		;

Б) Спрос на услуги q(p), оказываемые лечебно-профилактическим
учреждением, описывается функцией: q( p) =	p + 4	,	где	p– цена,

	p + 2
p > 0. Найдите ценовую эластичность	спроса		при	p = 2 .

Интерпретируйте полученный результат.
В) Зависимость дохода R(q) и общих издержек C(q) продавца от объёма q
проданной			партии	товара	описывается	функциями:
R(q) = q(128 −0,8q),				C(q) = 0,2 q2 +18q +816.		Вычислите
производные функций				дохода и общих издержек при		q = 80 и
интерпретируйте полученные результаты.
2.2
А) Найдите производные функций:					в) y = x sin y .
а) y =	x sin x	;	б)	y = cos(ln2 x);
	1 + x

Б) Спрос на услуги q(p), оказываемые лечебно-профилактическим

учреждением, описывается функцией: q( p) =		p		,	где	p– цена,
	p	−1

p > 0. Найдите ценовую эластичность спроса			при		цене	p = 3.

Интерпретируйте полученный результат.

В) Зависимость дохода и общих издержек продавца от объёма q проданной партии товара описывается функциями: R(q) = q(100 −0,2q) ,

C(q) = 0,5 q2 + 20q +1500 . Вычислите производные функций дохода и общих издержек при q =100 и интерпретируйте полученные результаты.

2.3

А) Найдите производные функций:

в) xy = sin y .

y =

arctgx

б) y =

tg(2x +1);

а)

;

Б)

Спрос

на

услуги q(p), оказываемые лечебно-профилактическим

учреждением, описывается

функцией: q( p) =

p − 2

где

p– цена,

p −1

p > 0.

p = 3.

Найдите

ценовую

эластичность

спроса

при

Интерпретируйте полученный результат

В)

Зависимость дохода и общих издержек продавца от объёма q проданной

партии

товара

описывается

функциями:

R(q) = q(60 −0,2q),

C(q) = 0,1q2 + 6q +150 .

Вычислите производные функций дохода и

2.4.

общих издержек при q =100 и интерпретируйте полученные результаты

А) Найдите производные функций:

y =

x tgx

б) y = e

sin(3x2 −3x+1)

;

в) xy = cos y .

а)

4 ln x ;

Б)

Спрос

на

услуги q( p), оказываемые лечебно-профилактическим

учреждением, описывается

функцией: q( p) =

2 p

где

p– цена,

p +3

p > 0.

p = 2 .

Найдите

ценовую

эластичность

спроса

при

Интерпретируйте полученный результат

В) Зависимость дохода и общих издержек продавца от объёма q проданной партии товара описывается функциями: R(q) = q(20 −0,2q),

C(q) = 0,02 q2 + 6q +100 . Вычислите производные функций дохода и общих издержек при q = 30 и интерпретируйте полученные результаты.

2.5.
А) Найдите производные функций:
а)	y =	x3	ln x	;	б) y = tg 1	+cos 2x ; в) xy = ex+y .
а)	y =	sin x		;	б) y = tg 1	+cos 2x ; в) xy = ex+y .
		sin x

Б)

Спрос

на услуги q( p), оказываемые лечебно-профилактическим

учреждением,

описывается функцией: q( p) =

, где

p – цена,

p2 +3

p > 0. Найдите ценовую эластичность спроса

p =1.

Интерпретируйте

полученный результат.

В)

Зависимость дохода и общих издержек продавца от объёма q проданной

партии

товара

описывается

функциями:

R(q) = q(90 −0,9q),

C(q) = 0,1q2 +10q + 700 . Вычислите производные функций дохода и

2.6

общих издержек при q = 80 и интерпретируйте полученные результаты.

А) Найдите производные функций:

y=x tgx −

x +3

б) y = 3 1− 3ln2 x ;

в) x y4 = 4x + y .

а)

x −1;

Б) Спрос на услуги q( p), оказываемые лечебно-профилактическим

учреждением,

описывается функцией: q( p) =

p +8

, где

p– цена,

p + 2

p > 0. Найдите ценовую эластичность спроса

p =1.

Интерпретируйте

полученный результат.

В)

Зависимость дохода и общих издержек продавца от объёма q проданной

партии

товара

описывается

функциями:

R(q) = q(40 −0,1q),

C(q) = 0,05q2 +5q + 200 . Вычислите производные функций дохода и

2.7

общих издержек при q =100 и интерпретируйте полученные результаты.

А) Найдите производные функций:

а) y =

ln x +3x10

;

б) y = (x2 + 2x −6)7 ; в) sin(x + y) = x.

2 x

Б)

Спрос

на услуги q( p), оказываемые лечебно-профилактическим

учреждением,

описывается функцией: q( p) =

p + 2

;

где

p– цена,

p > 0.

p +1

p = 2 .

Найдите

ценовую

эластичность

спроса

при

Интерпретируйте полученный результат.

В)

Зависимость дохода и общих издержек продавца от объёма q проданной

партии

товара

описывается

функциями:

R(q) = q(32 −0,4q) ,

C(q) = 0,1q2 +3q + 200 . Вычислите

производные функций

дохода и

2.8

общих издержек при q = 30 и интерпретируйте полученные результаты.

А) Найдите производные функций:

в) ey = x2 + y .

а)

y =

5x +tgx

;

б) y = ln(sin

x) ;

2 x2

− x

Б) Спрос на услуги q( p), оказываемые лечебно-профилактическим

учреждением,

описывается функцией:

q( p) =

1 + p ,

где

p– цена,

p > 0.

p = 4 .

Найдите

ценовую

эластичность

спроса

при

Интерпретируйте полученный результат.

В)

Зависимость дохода и общих издержек продавца от объёма q проданной

партии

товара описывается

функциями:

R(q) = q(70 −0,5q),

C(q) = 0,1q2 +10q +180. Вычислите производные функций дохода и

2.9

общих издержек при q = 40 и интерпретируйте полученные результаты.

А) Найдите производные функций:

а) y=x sin x +

x + 2

б) y = ln(sin2

x) ;

в) x2 = ln(xy).

x + 2 ;

Б) Спрос на услуги q( p), оказываемые лечебно-профилактическим

учреждением, описывается функцией: q( p) =	1 + p		,	где	p– цена,
		p0,4
p > 0. Найдите ценовую эластичность					p =1.
		спроса		при

Интерпретируйте полученный результат.

В) Зависимость дохода и общих издержек продавца от объёма q проданной партии товара описывается функциями: R(q) = q(80 −0,4q) ,

C(q) = 0,1q2 + 20q + 500. Вычислите производные функций дохода и общих издержек при q = 50 и интерпретируйте полученные результаты.

2.10
А) Найдите производные функций:					в) e3x = x2 + y2 .
а) y =	5x cos x	;	б) y = (esin 3x −1)2	;	в) e3x = x2 + y2 .
а) y =	4 + x	;
			75


Б) Спрос	на	услугиq( p),	оказываемые лечебно-профилактическим
учреждением,		описывается функцией: q( p) =		p	, где	p– цена,
				− p0,6
p > 0.			2			p =1.
	Найдите ценовую		эластичность	спроса	при

Интерпретируйте полученный результат.

C(q) = 0,1q2 + 20q + 500. Вычислите производные функций дохода и общих издержек при q = 80 и интерпретируйте полученные результаты.

3. Исследуйте функцию и постройте ее график.

3.1	y =		x		2 −1	.
3.1	y =				x	.
					x
3.2	y =				1 − 2x
									.
			x2 − x − 2						.
3.3	y =				x4			.
3.3	y =		(1 + x)3					.
			(1 + x)3
3.4	y =				1	.
3.4	y =	1 − x2				.
		1 − x2
3.5	y =		4x −1			.
3.5	y =					.
					x2
3.6	y =				x2
3.6	y =		x		2 −9
			x		2 −9
3.7	y =				4x		.
3.7	y =			x2 +1			.
				x2 +1
3.8	y =				2x2		.
3.8	y =		4x2 −			1	.
			4x2 −			1

3.9y = x2x−3 1.

3.10y = x2 +2x +1.

4.1. Найти оптимальное для производителя значение выпуска продукта q0 ,

при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене 14 ден.ед. за единицу товара и функция издержек имеет вид

C(q)=13 + 2q + q3 .

4.2. Найти максимальную прибыль, которую может получить производитель,

при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене 10,5

ден.ед. за единицу товара и функция издержек имеет вид

C(q)=10 + q + q2 .

2 4

4.3. При производстве q единиц товара цена за единицу определяется по

формуле	p(q)=10 −	4	q . Определить оптимальное для
		3

производителя значение выпуска q0 (предполагается, что весь произведенный товар реализуется), если функция издержек имеет вид

C(q)=10 + (q −1)3 .

4.4. На начальном этапе производства фирма минимизирует средние

издержки,	причем			функция	издержек	имеет	вид
C(q)=10 + 2q +		5	q2 .	В дальнейшем цена		за единицу	товара
C(q)=10 + 2q +		2	q2 .	В дальнейшем цена		за единицу	товара
		2

устанавливается равной 37 ден. ед. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом изменятся средние издержки?

4.5. Функция издержек имеет вид C(q)= 40q + 0,08q3 . Доход от реализации единицы продукции равен 200 ден.ед. Найти оптимальное для производителя значение выпуска продукции.

4.6.Найти максимальную прибыль, которую может получить производитель,

при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене 40

ден.ед. за единицу товара и функция издержек имеет вид

C(q)= 2q + e202 .

4.7. Монополия устанавливает фиксированную цену 380 ден.ед. за единицу товара. Издержки при производстве q единиц товара равны

С(q)= 292q + q2 . Определить значение q0 , при котором монополия получит максимальную прибыль.

4.8.Определить оптимальное для производителя значение выпуска q0 , при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене 8 ден.ед. за

единицу товара и функция издержек имеет вид C(q)=10 + q + q 3q .

4.9. При производстве q единиц товара цена за единицу определяется по

формуле p(q)= 8 − q2 . Определить оптимальное для производителя значение выпуска q0 (предполагается, что весь произведенный товар

реализуется), если функция издержек имеет вид C(q)= q + q3 .

2 8

4.10.Найти максимальную прибыль, которую может получить производитель,

при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене 6,5

ден.ед. за единицу товара и функция издержек имеет вид

C(q)= 8 + q + q3 .

2 8

5. Дифференциал функции.

5.1 Зависимость дохода и общих издержек некоторого ЛПУ от стоимости p

оказываемых	услуг	описываются	следующими	функциями:
R( p) = p(128 −0,8 p) ,		C( p) = 0,2 p2 +18 p +816 .		Прибыль
определяется	по формуле:	П( p) = R( p) −C( p). Используя понятие
		78

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]