Высшая математика. Часть II. Математический анализ. Учебное пособие

Если k = 0 и b ≠ 0, то прямая y = b является горизонтальной асимптотой.

Следовательно, прямая y = −1 является горизонтальной асимптотой.

5.Найти точки пересечения графика с осями координат

С осью OY (x = 0): y = 0 . С осью OX (y = 0): x = 0 . Следовательно, график функции проходит через начало координат, y(0)= 0 .

6. Исследовать функцию на наличие экстремумов и промежутков монотонности с помощью первой производной

Рис. 1

29

определения. Эта область часто распадается на интервалы, в одних из которых функция возрастает, а в других – убывает.

Точка x0 , отделяющая промежуток возрастания от промежутка убывания

и принадлежащая области определения функции, называется точкой экстремума. Точки экстремума бывают двух типов: точки максимума, где функция переходит от возрастания к убыванию, и точки минимума, где функция переходит от убывания к возрастанию.

равна нулю и при переходе аргумента через это значение меняет знак с плюса на минус, то при x = x0 функция имеет максимум; если при переходе аргумента через это значение производная меняет знак с минуса на плюс, то при x = x0 функция имеет минимум. Если при переходе через критическую

точку (точку возможного экстремума) производная не меняет знака, то в критической точке экстремума нет.

Определим, как изменяет знак производная функции при переходе через точку возможного экстремума:

31

Производная функции при переходе через точку x = 0 меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, точка x = 0 является точкой минимума. Т.к. в промежутках (0;1) и (1;∞) y′(x)> 0, то данная функция возрастает в этих

промежутках, а в промежутках (−∞;−1) и (−1;0) данная функция убывает,

т.к. y′(x)< 0 .

7. Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость и на наличие точек перегиба с помощью производной второго порядка

Кривая y = f (x)называется

вале (a,b), если при всех значениях аргумента x этого интервала производная второго порядка f ′′(x)> 0.

Кривая y = f (x)может быть выпукла или вогнута не во всей области

определения этой функции. Область определения часто распадается на промежутки выпуклости и вогнутости. Точки, отделяющие друг от друга промежутки выпуклости и вогнутости, называются точками перегиба.

32

Необходимое условие существования точки перегиба. Если x0 - точка перегиба функции y = f (x), то в этой точке вторая производная функции либо равна нулю (f ′′(x)= 0), либо не существует.

Решаем это уравнение:

В этой точке вторая производная не имеет действительных корней. Производная второго порядка не существует при x1 = −1 и x2 =1, так как в

этих точках знаменатель (1 − x2 )3 равен нулю. Данные точки являются

критическими, но не принадлежат области определения функции. Следовательно, точек перегиба график рассматриваемой функции не имеет.

найдем знак второй производной в интервалах (−∞,−1), (1;∞)и (−1;1). Интервал (−∞,−1):

y′′(− 2)= 2((1 +3( (−)22))32 )= −0,96. 1 − − 2

33

9. Строим график функции

По результатам проведенных исследований построим график функции

y =1 −x2x2 .

Рис. 5

34

4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Рассмотрим некоторые примеры приложения производной в экономической теории. Один из базовых законов теории производства формулируется так: оптимальный для производителя уровень выпуска товара

q -объем реализуемой продукции.

Обозначим функцию прибыли П(q). Тогда П(q)= R(q)−C(q),

где R(q)- функция дохода, C(q)- функция издержек.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т.е. такое значение выпуска q0 , при котором функция П(q) имеет экстремум (максимум).

Пример. Функция издержек имеет вид С(p)= p + 0,1p2 (ден.ед), где p (ден.ед)/(ед.прод) - цена единицы продукции. Объём продукции равен 50

ед.прод. Найти максимальное значение прибыли, которую может получить производитель.

Решение

Функция прибыли имеет вид П(р)= R(p)−C(p)= pq −C(p). В

условиях нашей задачи П(p)= 50 p − p −0,1p2 = 49 − 0,1p2 . Вычислим производную от функции прибыли:

П′(p)= (49 p −0,1p2 )′ = 49 −0,2 p.

Найдем точку возможного экстремума:

П′(p)= 0, 49 −0,2 p = 0,

p = 245.

Определим знаки производной слева и справа от точки возможного экстремума:

П′(200)= 49 −0,2 200 = 9; П′(300)= 49 −0,2 300 = −11

Таким образом, при переходе через точку p = 245 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, p = 245 - точка максимума. Тогда

максимальное значение прибыли, которую может получить производитель, равно:

П(245)= 49 245 −0,1 2452 = 6002,5(ден.ед).

35

Другое важное понятие теории производства – это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Это достигается при условии равенства средних и

A(q) при производстве q единиц

A(q)= Cq(q).

Предельные издержки равны: MC(q)= C′(q). Тогда уровень наиболее

экономичного производства определяется из соотношения:

Сq(q)= C′(q).

Пример. Функция издержек имеет вид C(q)=10 + q2 (ден.ед.), где q

10

- объем выпускаемой продукции. Определить уровень наиболее экономичного производства.

Решение

Уровень наиболее экономичного производства достигается при условии

равенства средних и предельных издержек. Вычислим средние издержки

A(q)= Cq(q):

Следовательно, при выпуске 10 (ед. прод.) достигается наиболее экономичный для производителя уровень производства.

36

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Дифференциалом функции y = f (x) называется главная часть прира-

щения функции, равная произведению y′ ∆x. Дифференциал обозначается

как dy и вычисляется по формуле dy = y′∆x. Рассмотрим функцию y = x и найдем ее дифференциал

dy = dx = x′∆x = ∆x.

Т.о. dx = ∆x, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому формулу для вычисления

дифференциала можно записать в виде dy = y′dx.

Пример. Найти дифференциал функции y = 2x3 + 3.

Решение

dy = (2x3 + 3)′dx = 6x2 dx.

Свойства дифференциала функции.

1. Дифференциал постоянной величины равен нулю dc = 0, c - const.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала

d(cu) = cdu, где u = u(x).

3.Дифференциал суммы двух и более функций равен сумме дифференциалов этих функций

d(u ±υ) = du ± dυ,

где u = u(x) и υ =υ(x) .

4. Дифференциал произведения двух функций

d(u υ) =υdu +udυ.

5. Дифференциал частного двух функций

Понятие о частном и полном дифференциале функции.

Понятие частного и полного дифференциала вводят для функций, которые зависят от двух и более переменных, например z = f (x; y).

Частным дифференциалом функции по одному из аргументов называется произведение частной производной функции по этому аргументу на дифференциал этого аргумента

37

∂z

∂x dx - частный дифференциал по аргументу x характеризует главную

часть приращения функции при изменении аргумента x , когда аргумент у не изменяется;

∂z

∂y dy - частный дифференциал по аргументу y характеризует главную

часть приращения функции при изменении аргумента y , когда аргумент x не

изменяется.

Полный дифференциал функции равен алгебраической сумме частных дифференциалов

dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy .

Полный дифференциал характеризует главную часть приращения функции при изменении всех ее аргументов на малую величину, стремящуюся к нулю.

Пример. Найти полный дифференциал функции z = х3 y4 − 2 .

Решение

∂∂xz dx = (x3 y4 − 2)x′dx = 3x2 y4dx, ∂∂yz dy = (x3 y4 − 2)y′dy = 4x3 y3dy ,

dz = ∂∂ux dx + ∂∂uy dy = 3x2 y4dx + 4x3 y3dy.

Применение дифференциала для расчета приближенного значения приращения функции.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях основано на замене приращения функции ∆y выражением дифференциала функции dy при малых изменениях аргумента ∆x, т.е. ∆y ≈ dy при ∆x →0.

Пример. Зависимость дохода и общих издержек некоторого ЛПУ от стоимости оказываемых услуг ( p) описывается следующими функциями:

R( p) = p(80 −0,8 p) (усл. ед.), C( p) = 0,2 p2 +30 p + 234 (усл. ед.).

Прибыль определяется по формуле: П( p) = R( p) −C( p). Используя понятие дифференциала функции, определите изменение прибыли ∆П( p) ,

38