Высшая математика. Часть II. Математический анализ. Учебное пособие

неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному. Для этого применяют формулу замены переменной в определенном интеграле

b∫ f (x)dx = β∫ f (ϕ(t))ϕ' (t)dt ,

aα

α, β − пределы интегрирования для новой переменной t .

Пример. Вычислить определенный интеграл 1∫ x(2 − x2 )5 dx

0

Решение

49

7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, которые содержат производные или дифференциалы функции

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производной или наивысшим порядком дифференциала. Так

дифференциальное уравнение (7.1) является дифференциальным уравнением n −го порядка.

50

Решением дифференциального уравнения является функция y(x),

которая при подстановке в данное уравнение обращает его в тождество. Решение (интеграл) дифференциального уравнения n-го порядка, со-

держащее n произвольных независимых постоянных C , называется общим решением (интегралом) этого уравнения. Решение (интеграл), полученное при конкретных числовых значениях этих постоянных, называется частным

Некоторые виды дифференциального уравнения 1) Дифференциальное уравнение первого порядка с разделёнными

переменными

ϕ( y) dy = f (x)dx .

Решается такое уравнение почленным интегрированием равенства, т.е.

∫ϕ(y)dy = ∫ f (x)dx

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

ydy = xdx при x0 = 0, y0 = 2 .

Решение

∫ ydy = ∫ xdx,

y2 = x2 +C ,

2 2

y2 = x2 + 2C ; y = ± x2 + 2C - общее решение.

При x0 = 0 найденная функция должна быть по условию равна двум,

y0 = 2. Подставив эти условия в общее решение, получим значение величины

C .

2 = ± 0 + 2C ; 4 = 2C ; C = 2, y = ± x2 + 2 2 .

Следовательно, y = ± x2 + 4 - частное решение.

51

Ответ: y = ± x2 + 4 .

2) Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися

переменными

Решается такое дифференциальное уравнение приведением его к виду 1). Разделив переменные, получаем уравнение

ϕ(y)dy = f (x)dx.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

dydx = x2 −2.

Решение

1. Разделив переменные умножением обеих частей равенства на dx , получим dy = (x2 −2)dx.

2.Интегрируем обе части равенства:

∫dy = ∫(x2 −2)dx ,

y = ∫ x2dx −2∫dx,

y = x3 −2x +C - общее решение.

3

Ответ: y = x3 −2x +C .

3

3) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка – это уравнения

где p = ba ; q = ac .

Общее решение уравнения (7.4) находится при помощи характеристического уравнения, которое получается из исходного заменой y, y′, y′′

Степень k совпадает с порядком производной y . Корни этого уравнения удобнее вычислить по формуле:

В зависимости от значения корней k1 и k2 получаем общее решение уравнения (7.4) в виде:

уравнение на a = 4 .

y′′−5y′+6 y +0 .

2. Составляем характеристическое уравнение (7.5), в котором

p = −5, q = 6.

k 2 −5k +6 = 0

3. Находим корни характеристического уравнения.

53

y= C1e3x +C2e2 x

4.Используя начальные условия, находим C1,C2. , определяющие частное

решение. Для этого находим y′:

y′ = 3C1e3x + 2C2e2 x .

Получаем систему двух уравнений

1 = C1e0 +C2e0

2 = 3C1e0 + 2C2e0

C1 = C2 −1 =1−1 = 0

7. Следовательно, частное решение:

y = 0 e3x +1 e2x = e2x

Ответ: y = e2x . 4) Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с

где a, b, c - постоянные, f (x)– некоторая функция f (x)≠ 0 .

54

Общее решение y данного линейного неоднородного уравнения равно

частного решения y2 , где неизвестны лишь числовые коэффициенты.

где a, m - постоянные, то частное решение зависит от m:

а) если m не является корнем характеристического однородного уравнения, соответствующего уравнению (7.4), то

где a, b, m, r − постоянные, то вид частного решения определяется значением величин p, q, m, r :

55

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

y" − y' − 2 y = e2 x .

Решение

Дано неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т.к. правая часть не равна нулю. Общее решение его ищем в

виде суммы общего решения y1соответствующего однородного уравнения и частного решения y2 исходного неоднородного уравнения:

y = y1 + y2 .

Первая часть решения заключается в том, что находим y1 по следующему алгоритму:

1)Записываем общий вид однородного дифференциального уравнения

(7.4):

y′′+ py′+ qy = 0.

2) Записываем однородное дифференциальное уравнение для исходного неоднородного уравнения:

y" − y' −2 y = 0 .

56

Вторая часть решения заключается в нахождении частного решения y2 неоднородного дифференциального уравнения.

1) Для правой части вида f (x) = aemx , для которой k1 = m = 2 и k2 ≠m = 2, частное решение выбираем в виде (7.13): y2 = Axe2 x .

2) Находим коэффициент A. Для этого

а) Находим первую и вторую производные функции y2 = Axe2 x :

y2' = Ae2 x + 2 Axe2 x

y2" = 2Ae2 x + 2Ae2 x + 2 Ax 2e2 x = 4Ae2 x + 4Axe2 x ,

б) Подставляем найденные производные в исходное уравнение, получаем тождество

(4Ae2 x + 4Axe2 x )−(Ae2 x + 2 Axe2 x )− 2Axe2 x ≡ e2 x ,

после раскрытия скобок и приведения подобных членов это тождество примет вид

57

3) Записываем общее решение y данного неоднородного дифференциального уравнения

y = y1 + y2 = C1e2 x +C2e−x + 13 xe2 x

Ответ: y = C1e2 x +C2e−x + 13 xe2 x - общее решение

неоднородного дифференциального уравнения

y" − y' −2 y = e2x.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ (к задачам №8 и №9 контрольной работы)

8.Основные понятия. Сходимость ряда.

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u1, u2 , u3 , ..., un , ..., соединенных знаком сложения:

Числа u1,u2 ,u3 ,...,un ,... называются членами ряда, а член un - общим членом.

Ряд считается заданным, если известен его общий член un = f (n), (n =1, 2, ...), т.е. если задана функция натурального аргумента.

Сумма n первых членов ряда называется частичной суммой ряда Sn :

S1 = u1; S2 = u1 +u2 ; ... ; Sn = u1 +u2 +u3 +... +un.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм:

58