Введение в теорию солитонов

УДК 534.2+530.145

Новокшенов В. Ю.

Введение в теорию солитонов. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019, 96 стр.

Излагаются основные идеи современной теории нелинейных уравнений математической физики, а также методы их точного интегрирования, основанные на спектральных свойствах некоторых линейных дифференциальных операторов. Рассмотрены многочисленные приложения к задачам гидродинамики, нелинейной оптики и квантовой механики. Даются краткие исторические ссылки и обзор современных работ по теме.

Работа построена в виде лекций для студентов старших курсов по специальности 010200 «Прикладная математика».

Научный редактор: член-корр. РАН В. В. Напалков.

Рецензенты: Отдел дифф. уравн. Института математики УНЦ РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор Л.А.Калякин; гл. науч. сотр. Института механики УНЦ РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор А. В. Жибер

ISBN 978-5-4344-0704-5

c В. Ю. Новокшенов, 2019

c Институт компьютерных исследований, 2019

Содержание

1.Солитоны как квазичастицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.Прямые методы интегрирования солитонных уравнений. Метод Хироты . . . . . . . . . . . . . . . 21

ЛЕКЦИЯ 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.Прямая задача рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.Свойства данных рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

ЛЕКЦИЯ 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.Свойства данных рассеяния (продолжение) . . . . . . . . . . . . 44

2.Коэффициент отражения и интегральная формула Коши . . . . . 46

1.Дискретный спектр уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . 55 1.1. Свойства дискретного спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.1.Модель Скирма в теории поля . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.2.Поверхности постоянной кривизны . . . . . . . . . . . . . . 75

1.Уравнение синус-Гордон. Взаимодействия солитонов . . . . . . . 89

1.1.Двухсолитонное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1.2.Связанные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1.3.Взаимодействия солитонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Предисловие

Вплоть до начала 1970-х годов число точно решаемых физически важных задач было очень невелико. Классический или квантовый осциллятор, линеаризованная многочастичная задача, квантованный атом водорода, ньютоново решение задачи об орбитах планет, решение Онзагером двумерной задачи Изинга – это перечисление является почти исчерпывающим. Ныне ситуация стала совершенно иной. Имеется множество точно решаемых нелинейных систем, важных с точки зрения физики, причем их число постоянно возрастает [3]–[5]. Среди недавних примеров – ограниченное решение эйнштейновых уравнений общей теории относительности [11], точное решение квантованного уравнения синус-Гордон utt − uxx = sin u, которое можно связать с моделью Изинга, и решение уравнений движения свободного твердого тела в N измерениях.

В настоящем спецкурсе рассматриваются подобные задачи и его главной темой являются солитоны. Эти математические объекты суть точные аналитические решения нелинейных уравнений математической физики, включая уравнение синус-Гордон, уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ) ut+

+ uux + uxxx = 0 и другие [4].

Впервые уравнение КдФ появилось еще в 1895 г. в теории волн на мелкой воде, теперь оно встречается в теории решеток, физике плазмы и магнитогидродинамике [12]. Приложения уравнения синус-Гордон сейчас охватывают такие различные области, как дислокации в кристаллах, джозефсоновские сверхпроводящие контакты, волны зарядовой плотности в одномерных органических проводниках и модели теории поля.

Открытие Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой в 1968 году замечательного факта, что для уравнения КдФ существует аналитический метод решения задачи Коши [2], и сделанное впоследствии открытие, показавшее, что аналогичные методы применимы к уравнению синус-Гордон и другим нелинейным уравнениям, вызвали революцию в математической физике 1970–80-х г. Некоторые из методов и подходов теории солитонов возникли в Уфе в научной школе, созданной профессором А. Б. Шабатом.

Знакомство с идеями и методами современной нелинейной математической физики представляется полезным для студентов специальности «Прикладная математика».

Лекция 1

1. Открытие «большой уединенной волны» Дж. С. Расселлом

Методу обратной задачи рассеяния для решения нелинейных эволюционных уравнений вида ut = K[u], где K[u] - некоторый нелинейный функционал от u(x, t), уже около тридцати лет. Своим открытием метод обязан М. Крускалу и др. [2] (1967 г.), которые показали, как решать уравнение КдФ

этим методом и, в частности, как найти все его солитонные решения. Понятие солитона было введено в статье Забусского и Крускала [10] в 1965 году; там же были описаны основные его свойства. Если текущая научная активность является правильной мерой значения этих двух открытий, то они представляют собой наиболее значительный прогpeсс как в теории линейных волн после работ Римана (1826–1866) и Коши (1789–1857) о характеристиках, так и в теории уравнений в частных производных после работы Фурье (1758–1830) по линейным уравнениям. Более того, возможности, представленные нам методом обратной задачи для получения точных аналитических решений теперь уже значительного числа физически интересных нелинейных уравнений, вызвали революцию в самом подходе к нелинейной физике. Одним из следствий является то, что теперь тщательно исследуются нелинейные задачи в тех областях, где совсем недавно только линейные теории были способны выдавать приемлемые результаты. В первой лекции мы описываем те шаги в истории солитонов, которые представляются важными либо для математической стороны предмета, либо для приложения этой математики к физически интересным проблемам.

Привлекательной чертой теории солитонов является тесная связь физики и математики. Сама теория, безусловно, родилась из наблюдения физического явления, в основе которого, как нам теперь известно, лежит односолитонное решение уравнения КдФ. Это наблюдение сделал в августе 1834 г. Дж. Скотт Расселл. Приведем его здесь, потому что оно показывает, какое завораживающее впечатление солитон сразу произвел на Расселла. Сделанное им яркое описание отчасти объясняет интерес, который тот же самый объект вызвал среди физиков и математиков примерно через 140 лет.

Скотт Расселл (1808–1882) был лучшим образцом предпринимателя викторианской эпохи. Развитый не по годам, он посещал лекции во всех трех шотландских университетах: Сент-Эндрюс, Эдинбургском и университете г. Глазго, пока не окончил последний в возрасте шестнадцати лет. Работая в Отделе естественной истории в Эдинбурге в 1832–1833 гг., он получил задание изучить пропускную способность канала Юнион, который начинается у Эдинбурга, соединяется с каналом Форз-Клайд и тем самым соединяет оба побережья Шотландии, что могло бы способствовать более экономичному использованию пароходов. Вероятно, именно в процессе этих исследований он доложил о следующем наблюдении:

«Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью

ипринимая форму большого одиночного возвышения, то есть округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и, когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 г. мне впервые удалось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я назвал волной трансляции; теперь это название общепринято.

Стех пор я обнаружил, что такие волны играют важную роль почти во всех случаях, когда жидкость оказывает сопротивление движению,

ипришел к убеждению, что к тому же типу относятся огромные движущиеся повышения уровня моря, которые с регулярностью обращения небесного тела входят в наши реки и катятся вдоль наших побережий.

Для подробного изучения этого явления с целью точно установить его природу и управляющие им законы я придумал другие, более удобные способы его вызывать, чем только что описанный, и применил разнообразные методы наблюдения. Описание этих методов, надеюсь, поможет мне передать истинное представление о природе этой волны. Происхождение волны первого рода...»

Как показывают последние строки приведенной цитаты, Расселл затем классифицировал волновые движения жидкости и проводил эксперименты с водой, чтобы их наблюдать [1]. Он различал четыре рода таких движений, I, II, III и IV, и два типа волн, уединенные и групповые; к групповым волнам он относил колебательные волны на воде и волновые группы (род II), а также капиллярные волны (род III). Его волна трансляции относилась к

роду I и была уединенной; впоследствии Расселл назвал ее «большая уединенная волна». Волна рода II, которую он называл корпускулярной, была уединенной и по причинам, отмеченным ниже, фактически была звуковой волной.

Идея уединенной волны дошла до наших дней, и теперь так называют всякий (обычно колоколообразный) плоский волновой импульс, перемещающийся в одном направлении в пространстве и сохраняющий при этом форму. Любая колоколообразная функция u(x −V t) есть уединенная волна, бегущая вдоль оси x со скоростью V . Решение типа уединенной волны для уравнения КдФ вида дается формулой (она будет выведена чуть ниже)

и распространяется со скоростью V = 4κ 2. Оно отрицательно в силу выбора знака для u, подразумеваемого формой уравнения (1.1). Легко видеть, что масштабное преобразование u → −u/6 дает другую форму уравнений КдФ, а именно

Отметим, что скорость 4κ 2 связана с амплитудой 2κ 2. Очевидно, что импульсы с большей амплитудой движутся быстрее. Такая связь встречается только среди нелинейных систем1.

Уравнение КдФ описывает любую слабо нелинейную, слабо диспергирующую систему плоских волн. Для уединенной волны нелинейность uux точно уравновешивает дисперсию uxxx. В теории гравитационных волн на мелкой воде это уравнение естественно возникает [6] в виде

Независимая переменная ξ – это x −V t, а скорость звука (линеаризованная

√ s

скорость) есть Vs = gh; здесь h – глубина в отсутствие возмущения, γ – поверхностное натяжение воды, ρ – ее плотность; решение типа уединенной волны всюду положительно при γ/(ρgh2) < 1/3 и всюду отрицательно

1Уравнение КдФ (1.1) инвариантно относительно масштабного преобразования u(x, t) → η2u(ηx, η3t). Поскольку 2/ch2(x − 4t) есть решение уравнения (1.1), то формула (1.2) дает однопараметрическое семейство решений этого уравнения.

при γ/(ρgh2) < 1/3. При γ/(ρgh2) ≈ 1/3 для предотвращения несостоятельности теории необходимо учитывать производную более высокого по-

рядка uξξξξ .

Более точная модель волн на воде, снимающая это ограничение, дается

уравнением Буссинеска

Оно допускает решения типа уединенной волны вида

движущейся в положительном или отрицательном направлении оси x. Уравнение Буссинеска превращается в уравнение КдФ с одним направлением распространения заменой ξ = x − vt и τ = εt и отбрасыванием членов порядка O(ε2). Уравнение (1.5) описывает волны в достаточно широких каналах с неизменным поперечным сечением, и именно его положительное решение Расселл наблюдал в 1834 г.

Уединенная волна привлекла внимание Буссинеска, Рэлея и других физиков, пытавшихся найти ее аналитическое описание вплоть до 1895 года, когда появилась работа Кортевега и де Фриза (см. [6]). В ней был приведен вывод формулы (1.4), который будет воспроизведен ниже в этой лекции. Через сто лет на конференции по теории солитонов, проводившейся в Шотландии в 1995 году, был повторен опыт возбуждения солитона в канале Форз-Клайд. На фотографии ниже изображены участники конференции, наблюдающие волну Скотта Расселла.

Выведем теперь формулу (1.2) как решение типа бегущей волны для уравнения КдФ (1.1).

Будем искать решение в виде функции одной переменной u = u(θ), полагая

θ = a(x − ωt) + δ, a, ω, δ = const.

По правилу дифференцирования сложной функции имеем

Подставляя в уравнение (1.1), получим

(1 − ω)u − 6uu + a2u = 0,

Рис. 1. Уединенная волна в канале Форз-Клайд

интегрируя обе части которого, имеем

u(1 − ω) − 3u2 + u a2 = C.

Умножив это уравнение на 2u (интегрирующий множитель), можно понизить порядок еще на единицу:

2uu (1 − ω) − 6u u2 + 2u u a2 = 2Cu , u2(1 − ω) + 2u3 + u 2a2 = 2Cu + D, au = −4u3 − u2(1 − ω) + 2Cu + D.

Последнее уравнение допускает интегрирование в явном виде