Введение в теорию полугрупп. Учебное пособие для магистров и аспирантов физико-математического факультета

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

В. Б. Поплавский, Д. В. Поплавский

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОЛУГРУПП

Учебное пособие для магистров и аспирантов физико-математического факультета

Саратов Издательство Саратовского университета

2023

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОЛУГРУПП

1.1. Полугруппы, моноиды и группы

Определение 1.1.1. Полугруппа – это пара (S, ), образованная непустым множеством S вместе с ассоциативной бинарной операцией умножения на S, т. е. отображением : S S ! S, которым каждой упорядоченной паре (a, b) ставится в соответствие элемент, обозначаемый a b, при этом выполняется (a b) c = a (b c) для всех a, b, c 2S.

Далее, если не будет особой необходимости указывать символ полугрупповой операции, будем опускать символ и записывать произведение ab вместо a b.

Определение 1.1.2. Полугруппа S, в которой существует элемент e 2 S, удовлетворяющий для всех a 2 S условию ea = ae = a, называется моноидом, а элемент e называется единицей моноида.

Нетрудно показать, что единица e моноида единственна, поэтому далее её будем обозначать 1.

Всякую полугруппу S всегда можно дополнить элементом 1 и построить моноид S[f1g, доопределяя таблицу умножения элементов условиями 1 a = a 1 = a и 1 1 = 1 для всех a 2 S. Очевидно, что продолженная на S [f1g операция умножения ассоциативна. Далее такой моноид будем обозначать S1. Понятно, что в силу единственности единицы S есть моноид тогда и только тогда, когда S = S1.

Определение 1.1.3. Полугруппа S называется группой, если для любого элемента a 2 S существует элемент b 2 S, что выполняется равенством ab = 1.

Отметим, что из ab = 1 следует ba = 1. Действительно, так как

a(ba) = (ab)a = 1a = a

для любого a 2S, то в силу единственности единицы получаем ba = 1. Очевидно, что каждая группа есть моноид, а моноид – полугруппа:

Группы Моноиды Полугруппы.

Самой простой является группа, состоящая из одной единицы: S =

= f1g. Будем её называть тривиальной группой (или тривиальным моноидом).

4

Пример 1.1.1. Множество натуральных чисел N с операцией умножения натуральных чисел образует моноид (N, ). Оно же образует вместе с операцией сложения моноид (N0, +), если к N добавить ноль 0.

Пример 1.1.2. Пусть I J прямое произведение непустых множеств I и J с операцией умножения пар, определяемой следующим образом:

(i, j)(k, l) = (i, l)

для всех i, k 2 I и j, l 2 J. Эта операция ассоциативна:

((i, j)(k, l))(m, n) = (i, l)(m, n) = (i, n),

(i, j)((k, l)(m, n)) = (i, j)(k, n) = (i, n).

Следовательно, I J есть полугруппа, которую называют прямоугольной связкой на I J. Заметим, что каждый элемент прямоугольной связки идемпотентен:

(i, j)2 = (i, j)(i, j) = (i, j).

Пример 1.1.3. Прямоугольная связка прямого произведения одноточечного и двуточечного множеств T = fag fb, cg есть полугруппа, для которой таблица умножения имеет следующий вид:

(a, b) (a, c)

.

(a, b) (a, b) (a, c)

(a, c) (a, b) (a, c)

Так как (a, b)(a, c) =6 (a, c)(a, b), то среди элементов (a, b), (a, c)2T единицы нет, следовательно, эта прямоугольная связка T моноидом не является.

Для T1 таблица умножения имеет следующий вид:

1 (a, b) (a, c)

1 1 (a, b) (a, c) . (a, b) (a, b) (a, b) (a, c)

(a, c) (a, c) (a, b) (a, c)

Пример 1.1.4. На множестве целых чисел Z определим умножение чисел a, b 2 Z как выбор максимального числа из двух:

ab = maxfa, bg.

5

Так как выполняется

(ab)c = maxfmaxfa, bg, cg = maxfa, b, cg = maxfa, maxfb, cgg = a(bc),

то множество целых чисел Z с операцией max является полугруппой. Однако множество натуральных чисел с нулём N0 и операцией max является моноидом, роль единицы которого выполняет 0.

Пример 1.1.5. На множестве B = N0 N0 определим умножение

(a, b)(c, d) = (a + (maxfb, cg b), d + (maxfb, cg c)).

Оставляем проверку ассоциативности введенной операции читателю, а также проверку того, что эту же операцию можно определить по-другому:

(a, b)(c, d) = (a + (c minfb, cg), d + (b minfb, cg)).

Покажем, что B обладает единицей, роль которой выполняет (0, 0) :

(0, 0)(c, d) = (0 + maxf0, cg 0, d + maxf0, cg c) = (c, d c + c) = (c, d),

(a, b)(0, 0) = (a + maxfb, 0g b, 0 + maxfb, 0g 0) = (a b + b, b) = (a, b).

Имеется естественный изоморфизм моноида B множеству hx, yi, состоящему из всевозможных произведений двух элементов бесконечного порядка x и y с дополнительными условиями x0 = y0 = 1, xy =6 1, yx = = 1. Очевидно, что каждый элемент такого множества hx, yi однозначно представим в виде xayb, а изоморфизм определяется для каждой пары неотрицательных целых чисел (a, b) соответствием (a, b) xayb. Поэтому моноид B называется бициклическим.

Заметим, что в бициклическом моноиде (a, b)(b, c) = (a, c) для любых a, b, c 2N0. В частности, диагональ ∆ = f(a, a)ja 2N0g состоит из идемпотентов бициклического моноида: (a, a)(a, a) = (a, a). В то же время если (a, b) – идемпотент, то из равенства (a, b)(a, b) = (a, b) получаем

(a, b)(a, b) = (a + maxfb, ag b, b + maxfb, ag a) = (a, b)

или

a + maxfb, ag b = a, b + maxfb, ag a = b,

что влечет равенство a = b. Таким образом, любой идемпотент бициклического моноида B принадлежит диагонали ∆.

6

Пример 1.1.6. Для любого множества X рассмотрим множество TX всех его преобразований X ! X с операцией суперпозиции ( f g) преобразований f и g, определённой как правое действие на аргумент x:

(x)( f g) = ((x) f )g.

Множество TX с операцией суперпозиции преобразований образует моноид всех преобразований множества X.

Определение 1.1.4. Полугруппа S называется коммутативной, если для всех a, b 2 S ab = ba.

Примером коммутативной полугруппы может служить множество натуральных чисел с операцией сложения (N, +). Примером некоммутативной полугруппы может служить бициклическая полугруппа B. Например,

(0, 1)(1, 0) = (0, 0), а (1, 0)(0, 1) = (1, 1).

Определение 1.1.5. Полугруппа S называется полугруппой с сокращением, если для всех a, b, c 2S справедливы импликации (ac = bc) ) (a = b)

и (ca = cb) ) (a = b).

Не всякая полугруппа обладает этим свойством. Например, для прямоугольной связки fa, bg fa, bg (a =6 b) имеем (a, a)(a, b) = (a, b) = = (a, b)(a, b), но (a, a) =6 (a, b). Без сокращения является бициклическая полугруппа B, так как, например, (1, 1)(2, 2) = (2, 2) = (2, 2)(2, 2). Группы и любые подполугруппы групп, очевидно, являются полугруппами с сокращением. Моноид (N0, ) есть моноид с сокращением, но не является группой.

Определение 1.1.6. Полугруппа S называется полугруппой с нулём, если для всех a 2S существует такой элемент 0, что a0 = 0a = 0.

Любую полугруппу S всегда можно дополнить нулём. При этом говорят «присоединить ноль». Это означает построить S [ f0g, доопределив таблицу умножения элементов ещё условиями 0a = a0 = 0, 00 = 0 для всех a 2 S. Очевидно, что продолженная на S [ f0g операция умножения ассоциативна. Такую полугруппу будем обозначать S0.

1.2. Стандартные алгебраические конструкции

Определение 1.2.1. Пусть S – полугруппа и 0/ =6 T S. Тогда T называется подполугруппой полугруппы S, если T замкнуто относительно произведения его элементов, т. е. для всех a, b 2T выполняется ab 2T.

Понятно, что T есть полугруппа, а если S моноид, то и T есть моноид.

7

Пример 1.2.1. Полугруппа (N, +) есть подполугруппа полугруппы

(Z, +).

Пример 1.2.2. Множество отображений

R = ff 2TX : X ! Xj g f = f (8g 2TX)g

образуют подполугруппу правых нулей в полугруппе TX всех преобразований, определённой в примере 1.1.6.

Пример 1.2.3. Было показано, что диагональ ∆ = f(a, a)ja 2N0g как подмножество бициклического моноида B состоит из его идемпотентов. Множество ∆ является коммутативным подмоноидом моноида B, так как

(a, a)(b, b) = (a a + maxfb, ag, b b + maxfb, ag) =

= (maxfb, ag, maxfb, ag) = (b, b)(a, a).

Определение 1.2.2. Пусть S и T – полугруппы. Отображение Φ : S ! ! T называют полугрупповым гомоморфизмом, если оно сохраняет операцию

Φ(ab) = Φ(a)Φ(b).

Если S и T моноиды, то моноидным гомоморфизмом называют гомоморфизм полугрупп с дополнительным условием сохранения единиц:

Φ(1S) = 1T .

Пример 1.2.4. Пусть Φ : B ! Z – отображение бициклического моноида B в моноид целых чисел (Z, +), определяемое на элементах как

Φ((a, b)) = a b. Имеем

Φ((a, b)(c, d)) = Φ((a + maxfb, cg b, d + maxfb, cg) c) =

= (a+maxfb, cg b) (d+maxfb, cg c) = (a b)+(c d) = Φ((a, b))+Φ((c, d)).

Более того,

Φ((0, 0)) = 0 0 = 0.

Таким образом, это отображение бициклического моноида B в моноид целых чисел (Z, +) является моноидным гомоморфизмом.

8

Пример 1.2.5. Пусть Ψ : I J ! TJ – отображение прямоугольной связки в полугруппу всех преобразований множества J, которое определяется как Ψ((i, j)) = cj, где (k)cj = j для любого k 2 J, т. е. Ψ((i, j)) = cj, является постоянным преобразованием J. Тогда

Ψ((i, j)(k, l)) = Ψ((i, l)) = cl ,

Ψ((i, j))Ψ((k, l)) = cjcl .

Заметим, что (k)(cjcl ) = ((k)cj)cl = ( j)cl = l для любого k 2J. Поэтому Ψ((i, j)(k, l)) = Ψ((i, j))Ψ((k, l)), а отображение Ψ является полугрупповым

гомоморфизмом.

Определение 1.2.3. Гомоморфизм Φ : S ! T называют изоморфизмом, если он биективен. Полугруппы S, T в этом случае называются изоморф-

ными, при этом пишут S T.

=

Читателю предлагаем самостоятельно проверить следующее утверждение, посвященное вложению полугруппы в полугруппу.

Теорема 1.2.1. Пусть ображение Φ : S ! T является взаимнооднозначным полугрупповым гомоморфизмом. Тогда образ гомоморфизма ImΦ T

является подполугруппой полугруппы T, причём ImΦ S.

=

Следующая теорема является аналогом групповой теоремы Кэли для полугрупп.

Теорема 1.2.2. Любую полугруппу (моноид) S можно вложить в моноид TS1 .

Доказательство. Определим для любого элемента s 2 S преобразование ρ(s)2TS1 , определяемое для любого элемента x2S как правое действие (x)ρ(s) = xs. Покажем, что отображение ρ : S ! TS1 является взаимнооднозначным гомоморфизмом.

Если ρ(s) = ρ(t), тогда (x)ρ(s) = (x)ρ(t) и, следовательно, xs = xt для любого элемента x 2S, в частности для единицы: 1s = 1t. Таким образом, отображение ρ взаимнооднозначно.

Заметим теперь, что из (x)(ρ(s)ρ(t)) = ((x)ρ(s))ρ(t) = xst = (x)ρ(st)

получаем ρ(s)ρ(t) = ρ(st). Это означает, что ρ : S ! TS1 есть гомоморфизм. Очевидно, что если S = S1 – моноид, то ρ сохраняет единицу, т. е.

переводит 1 2 S в тождественное преобразование ρ(1). 2

В качестве упражнения читателю предлагается доказать теорему Кэли для групп: любую группу S можно вложить в группу взаимнооднозначных преобразований на S.

9

1.3. Идемпотенты полугрупп

Пусть E(S) = fe 2 Sje2 = eg – множество идемпотентов полугруппы S. Оно может быть пустым, как, например, для полугруппы (N, +), или совпадать со всей полугруппой, как в примере 1.2 прямоугольной связки. Выше было показано, что для бициклической полугруппы

E(B) = ∆ = f(a, a)ja 2Nog.

Если моноид с сокращением, то единица 1 является единственным идемпотентом, так как из ee = e1 после сокращения получаем e = 1. Это же справедливо и для групп.

Определение 1.3.1. Если E(S) = S, то S называется связкой.

Определение 1.3.2. Всякая коммутативная связка называется полу-

решёткой.

Лемма 1.3.1. Если любая пара идемпотентов e, f полугруппы S коммутирует, т. е. e f = f e, то из E(S) является подполугруппой полугруппы из S.

Доказательство. Очевидно, что из e f = f e получается (e f )2 = e f . Тогда из e 2 E(S) и f 2 E(S) следует e f 2 E(S), т. е. произведение идемпотентов есть идемпотент. 2

Как следствие, получаем, что E(S) есть полурешётка в случае коммутативности идемпотентов из E(S).

Пример 1.3.1. Примером полурешётки является множество идемпотентов бициклической полугруппы E(B) = f(a, a)ja2N0g. В качестве контрпримера можно привести множество элементов прямоугольной связки, которое состоит из идемпотентов:

E(I J) = I J.

Однако нет коммутативности её элементов, т. е. эта полугруппа не является полурешёткой (за исключением одноэлементного случая).

Определение 1.3.3. Пусть hai = fan, n2Ng – множество всех степеней некоторого элемента a 2 S. Очевидно, hai является коммутативной подполугруппой полугруппы S. Эта подполугруппа называется циклической (или

моногенной), порождённой элементом a 2 S.

Понятно, что возможны два случая: циклическая полугруппа содержит либо конечное, либо бесконечное число элементов. В бесконечном

случае имеем изоморфизм hai (N, +). Если же циклическая полугруппа

=

10