Введение в теорию полугрупп. Учебное пособие для магистров и аспирантов физико-математического факультета

2 f1, 2, . . ., ng.

Напомним, что цепью графа длины m называют подграф, имеющий следующую последовательность рёбер: f(k1, k2), (k2, k3), . . ., (km 1, km)g, которую будем записывать как

k1 ! k2 ! . . . ! km 1 ! km.

Цепь, у которой начало и конец совпадают, называется циклом. Цепи, не содержащие подциклы, т. е. подграфы, являющиеся циклами, называются

хвостами графа.

Теорема 3.7.2. Элемент α принадлежит подгруппе полугруппы Tf1,2,...,ng тогда и только тогда, когда диаграмма преобразования α не содержит хвостов длины больше единицы.

Доказательство. Из теоремы 3.7.1 следует, что α принадлежит некоторой подгруппе тогда и только тогда, когда

(α, α2) 2Hα $ Imα = Imα2.

Остаётся заметить, что диаграмма преобразования α2 получается из диаграммы преобразования α соединением ребром первой и третьей вершины в каждой цепи длины, равной 2:

k ! αk ! ααk становится ребром k ! ααk .

Получается, что вершины циклов диаграммы преобразования α остаются вершинами диаграммы α2, а чётные вершины хвостов диаграммы преобразования α будут исключены на диаграмме α2. Тогда равенство Imα = Imα2 равносильно тому, что диаграмма преобразования α не содержит хвостов длины больше единицы. 2

Пример 3.7.1

1. Рассмотрим преобразование

()

диаграмма которого 2 ! 1 ! 3 ! 4 ! 3, т. е. содержит цепь-хвост 2 ! 1 ! 3 и цикл 3 ! 4 ! 3. Следовательно, α не принадлежит ни одной подгруппе полугруппы Tf1,2,3,4,5g.

31

2. Диаграмма преобразования

()

не содержит цепей, длины которых были бы равны 2 или больше. Заметим также, что β = β2. Следовательно, Hβ есть максимальная подгруппа

полугруппы Tf1,2,3,4,5g.

3. Для преобразования

()

α = 1 2 3 4 5 2 3 2 3 5

выполняется равенство α = α2. Его диаграмма имеет вид

1 ! 2 ! 3 ! 2 ! 3 4,

содержит цикл 2 ! 3 ! 2 ! 3 и хвосты единичной длины: 1 ! 2, 3 4. Следовательно, α принадлежит некоторой максимальной подгруппе Hα.

Любое преобразование из этой группы β2Hα тогда будет иметь такой же образ Imβ = f2, 3, 5g, а ядро – состоять из классов

ker β = ff1, 3g, f2, 4g, f5gg.

Построим идемпотент подгруппы Hα так, как это делали в примере 1.4.3, заполняя пустые места в

()

соответствующими элементами из классов ядра. Получаем идемпотент

()

Остальные элементы подгруппы Hα найдём, учитывая, что 1 и 3, 2 и 4 должны иметь одинаковые образы. Таким образом, подгруппа Hα состоит

32

4.ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ D И J

4.1.Определения D- и J -эквивалентностей Грина

Определение 4.1.1. Элементы a, b полугруппы S называются J - эквивалентными, если они порождают одинаковые двусторонние идеалы:

Пример 4.1.1. Если полугруппа S простая, т. е. существует единственный идеал, то S1aS1 = S1bS1 = S. Следовательно, эквивалентность J для простых полугрупп является универсальным бинарным отношением

J = S S.

Если полугруппа S является 0-простой, то 0 и Snf0g два J -класса и других нет.

Если пересечение эквивалентностей является эквивалентностью, то объединение таким свойством не обладает. Однако в некоторых случаях для двух эквивалентностей ε, ζ можно легко построить минимальную эквивалентность ε _ ζ, содержащую объединение данных эквивалентностей: ε [ ζ ε _ ζ. Таким случаем является выбор коммутативной пары эквивалентностей, о чём говорится в следующей лемме.

Лемма 4.1.1. Если для эквивалентностей ε, ζ выполняется коммутативность εζ = ζε, то композиция этих эквивалентностей (см. определение 2.1.2) является минимальной эквивалентностью ε _ ζ, содержащей объединение данных эквивалентностей:

ε _ζ = εζ = ζε.

Доказательство. Если ε, ζ эквивалентности, то ∆ ε, ε = ε 1, ε2ε. Аналогично ∆ ζ, ζ = ζ 1, ζ2 ζ. Тогда из этих условий, учитывая теорему 2.1.1, получаем

∆ εζ.

Далее

(εζ) 1 = ζ 1ε 1 = ζε = εζ,

34

и

(εζ)2 = εζεζ = ε2ζ2 εζ.

Это означает, что εζ рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Осталось показать, что эквивалентность εζ является минимальной среди всех эквивалентностей, содержащих ε [ ζ. Опять воспользуемся теоремой 2.1.1. Из условия ∆ ε следует ∆ζ εζ, следовательно, ζ εζ. Аналогично получается ε εζ. Поэтому ε [ ζ εζ.

Пусть τ – эквивалентность, причём ε [ζ τ. Тогда, так как ε τ и ζτ, получаем

(x, y) 2εζ $ 9z(x, z) 2ε, (z, y) 2ζ ! 9z(x, z) 2τ, (z, y) 2τ $ (x, y) 2τ2 = τ,

т. е. εζ τ в силу произвольности точек (x, y) 2εζ. Таким образом, εζ явля-

ется минимальной среди всех эквивалентностей, содержащих объединение

ε [ ζ. 2

Теорема 4.1.2. R - и L-эквивалентности коммутируют

R L = LR .

Доказательство. Пусть (a, b) 2R L. Тогда найдётся c 2S, что (a, c) 2 2 R , (c, b) 2 L или

ax = c, cy = a, uc = b, vb = c

для некоторых x, y, u, v 2 S1. Следовательно,

a = cy = vby, by = ucy = ua.

Последнее означает, что (a, by) 2 L. Также

b = uc = uax = ucyx = byx = (by)x, (by) = by,

что означает (by, b) 2R . Тогда (a, b) 2LR и в силу произвольности пары (a, b) имеем включение

R L LR .

Обратное включение LR R L доказывается похожим способом. 2 Лемма 4.1.1 и теорема 4.1.2 делают корректным следующее опреде-

ление.

35

Определение 4.1.2. Назовём D-эквивалентностью Грина эквивалент-

ность

D = L _R = LR = R L.

Очевидно, в силу минимальности D-эквивалентности получаем цепочки вложений

H = L \R L D J , H = L \R R D J ,

и диаграмма Хоссе имеет вид

J

"

D

% - .

LR

-%

H

Всё это позволяет представлять полугруппу S стопкой «ящичков», каждый из которых есть D-класс, причём каждый D-класс-ящик разбивается отношениями R и L так, что образуется «ящик с ячейками», расположенными вдоль и поперёк. Каждые строчка или столбец ячеек ящика являются R - и L-классами соответственно, а каждая ячейка есть H -класс, наполненный H -эквивалентными элементами. Такое представление полугруппы S принято называть egg-box-picture, что переводится как «картинка в виде яичной коробки».

4.2. Теоремы Грина

Все утверждения этого параграфа принадлежат Грину.

Лемма 4.2.1. Пусть a, b 2 S и (a, b) 2 R , т. е. существуют такие элементы s и s0, что

as = b, bs0 = a.

Тогда отображения

ρs : La ! Lb, ρs0 : Lb ! La,

36

определяемые для любого элемента x 2 S как правые действия ρs(x) = xs и ρs0 (x) = xs0, являются взаимно обратными биекциями. Кроме того, биек-

ции ρs и ρs0 сохраняют R -класс, т. е. если c 2La, то (c, ρs(c)) = (c, cs) 2R , а если d 2 Lb, то (d, ρs0 (d)) = (d, ds0) 2 R .

Доказательство. Так как L является правой конгруэнтностью, т. е.

из (c, a) 2 L следует (cs, as) 2 L, то (ρs(c), b) 2 L означает ρs : La ! Lb. Выполняется также и ρs0 : Lb ! La.

Если (c, a) 2L, то c = ta для некоторого t 2S1. Тогда получаем

ρs0 ρs(c) = css0 = tass0 = tbs0 = ta = c,

т. е. композиция отображений ρs0 ρs : La ! La является тождественным преобразованием La. Аналогично показывается тождественность преобразования ρsρs0 : Lb ! Lb. Следовательно, отображения ρs и ρs0 являются взаимно обратными биекциями.

Осталось показать, что биекции ρs и ρs0 сохраняют R -класс. Действительно, так как

cs = ρs(c), c = ρs(c)s0,

то (c, ρs(c)) = (c, cs) 2R . Аналогично показывается, что из d 2Lb следует

(d, ρs0 (d)) = (d, ds0) 2 R . 2

Следующие утверждения легко получаются из предыдущего.

Следствие леммы 4.2.1. В условиях леммы 4.2.1

ρs : Ha ! Hb, ρs0 : Hb ! Ha

являются взаимно обратными биекциями.

Из этого следствия получаем, что все H -подклассы одного и того же D-класса являются множествами одинаковой мощности.

Дуальная лемма 4.2.2. Пусть a, b 2 S и (a, b) 2 L, т. е. существуют такие s и s0, что

sa = b, s0b = a.

Тогда отображения

λs : Ra ! Rb, λs0 : Rb ! Ra,

определяемые для любого элемента x 2 S как левые действия λs(x) = sx и λs0 (x) = s0x, являются взаимно обратными биекциями, сохраняющими

37

5.ВПОЛНЕ 0-ПРОСТЫЕ ПОЛУГРУППЫ

ИПОЛУГРУППЫ РИСА

5.1. Полугруппа Риса

Определение 5.1.1. Пусть G некоторая группа, I и Λ – два непустых множества, называемых множествами индексов, P = (piλ) – некоторая IΛ-матрица с элементами из группы с нулём G[f0g, у которой в каждой I-строке и каждом Λ-столбце содержится по крайней мере один ненулевой элемент. Матрицу P называют сэндвич-матрицей. Обозначим

M0 = M 0(G, I, Λ, P) = I G Λ [f0g

иопределим операцию умножения на M 0 следующим образом:

(i, a, λ)0 = 0(i, a, λ) = 0 для любого (i, a, λ) 2M 0.

Нетрудно проверить ассоциативность этой операции, что делает множество M 0 полугруппой с нулём. Её называют матричной полугруппой Риса1 над группой G.

Определение 5.1.2. Элемент полугруппы a 2S называется регулярным элементом, если существует такой элемент x 2 S, что

axa = a.

Полугруппа S называется регулярной полугруппой, если каждый её элемент регулярен.

Следующая теорема указывает свойства полугруппы Риса.

Теорема 5.1.1. Пусть M 0 = M 0(G, I, Λ, P) = I G Λ [f0g – матричная полугруппа Риса. Тогда:

1)ненулевой элемент (i, a, λ) является идемпотентом тогда и только тогда, когда piλ =6 0 и a = (piλ) 1;

1David Rees (Fellowship of the Royal Society) (29.05.1918 – 16.08.2013). Дэвид Рис был профессором чистой математики университета Эксетер (Англия), возглавлял факультет математики и математических наук с 1958 по 1983 год. До этого в годы Второй мировой войны Рис проводил исследования в составе группы «Энигма».

39

2)полугруппа Риса M 0 является регулярной;

3)((i, a, λ), ( j, b, µ)) 2R $ i = j;

4)((i, a, λ), ( j, b, µ)) 2L $ λ = µ;

5)((i, a, λ), ( j, b, µ)) 2H $ (i = j, λ = µ);

6)D = J ;

7)M 0 – 0-простая (т. е. у полугруппы Риса имеются только два идеала – f0g и M 0nf0g, – и следовательно, два D = J -класса );

8)для любых x, y 2 M 0 выполняется так называемое прямоугольное свойство:

(xy, x) 2D $ (xy, x) 2R ,

(xy, y) 2D $ (xy, y) 2L.

Доказательство. Проверим 1.

(i, a, λ) = (i, a, λ)(i, a, λ) = (i, apiλa, λ) $

$(piλ =6 0, a = apiλa) $ (piλ =6 0, a = (piλ) 1).

2.Так как 0 = 000, то 0 всегда является регулярным элементом. Если

(i, a, λ) =6 0, то

мента. Тогда для элемента c˜ = (i, b, µ) и пунктов 3 и 4 получаем

(a˜, c˜) = ((i, a, λ), (i, b, µ)) 2R

40