Введение в теорию полугрупп. Учебное пособие для магистров и аспирантов физико-математического факультета

Пример 6.1.1. Пусть T = I Λ – прямоугольная связка. Для произвольных её элементов (i, j), (k, l) выполняется

(i, j)(k, l)(i, j) = (i, j), (k, l)(i, j)(k, l) = (k, l),

т. е. любой элемент этой полугруппы является инверсным любому другому.

Лемма 6.1.1. Элемент полугруппы регулярен тогда и только тогда, когда главный правый и левый идеал, порождённый этим элементом, порождаются также некоторыми идемпотентами.

Доказательство. Заметим, что из равенства a = axa следует, что ax, xa являются идемпотентами, причем

(a, (ax)) 2R , (a, (xa)) 2L,

так как a = (ax)a, (ax) = ax и a = a(xa), (xa) = xa (для удобства здесь идемпотенты ax, xa выделены в скобках).

Обратно. Пусть, например, главный правый идеал, порождённый элементом a2S, порождаются также некоторым идемпотентом e2S, т. е. aS1 = = eS1. Тогда a = ex и e = ay для некоторых элементов x, y 2S. Получаем

a = ex = e2x = e(ex) = ea = aya,

т. е. элемент a регулярен. 2

Определение 6.1.2. Регулярная полугруппа называется инверсной, если каждый её элемент обладает единственным инверсным.

Пример 6.1.2

1.Любая группа G является инверсной полугруппой, и a, a 1 – инверсные элементы, причём коммутирующие. Наоборот, два элемента группы G взаимно обратны, когда они инверсны и коммутируют. Действительно, пусть a, b2G, a = aba и ab = ba. Тогда e = ab = abab = ba есть идемпотент группы, а элементы a, b взаимно обратны.

2.Элементы любой связки идемпотентны, поэтому связка является регулярной полугруппой, так как e = eee, однако не обязательно инверсной.

3.Бициклическая полугруппа B (см. пример 1.1.5) является регулярной, так как

(a, b) = (a, b)(b, a)(a, b).

Более того, как будет показано далее, она является инверсной полугруппой. 4. Матричная полугруппа Риса M 0 = M 0(G, I, Λ, P) = I G Λ [f0g

есть регулярная (теорема 5.1.1).

51

5. Полугруппа (N, +) не является регулярной, например 1 =6 1 + a + 1 для любого a 2 N.

Теорема 6.1.2. Если элемент a 2 S является регулярным, то любой элемент b 2 S, порождающий тот же D-класс, что и a, также является регулярным.

Доказательство. Пусть (a, b)2D. Тогда, учитывая строение D-класса, найдётся элемент c 2S, что (a, c) 2R и (c, b) 2L. Из леммы 6.1.1 получаем существование такого идемпотента e, что (a, e) 2 R и (e, c) 2 R . Следовательно, элемент c является регулярным. Тогда, опять же по лемме 6.1.1, существует идемпотент f такой, что (c, f ) 2L и ( f , b) 2R . Следовательно, и элемент b является регулярным. 2

Последнее утверждение позволяет дать следующее определение.

Определение 6.1.3. D-класс полугруппы называется регулярным, если хотя бы один его элемент регулярен.

Следующая теорема, являющаяся непосредственным следствием теоремы 6.1.2, показывает, что любой D-класс полугруппы либо совсем не содержит идемпотентов, либо идемпотенты образуют достаточно плотное подмножество в D-классе.

Теорема 6.1.3. Каждый R - и L-подкласс регулярного D-класса полугруппы порождается идемпотентом. Таким образом, в каждой строчке и каждом столбце egg-box-картинки D-класса можно указать по крайней мере один идемпотент и, следовательно, по крайней мере одну подгруппу, содержащую этот идемпотент в качестве единицы, причём все такие подгруппы изоморфны.

О принадлежности инверсных друг другу элементов одному регулярному D-классу полугруппы говорится в следующем утверждении2.

Теорема 6.1.4. Элементы a и b являются инверсными, тогда существуют идемпотенты e и f такие, что выполняются условия:

1)e = ab, f = ba;

2)(a, e) 2R , (e, b) 2L;

3)(a, f ) 2L, ( f , b) 2R .

Обратно, пусть для элемента a и идемпотентов e и f выполняются условия (a, e) 2R , (a, f ) 2 L. Тогда найдется такой элемент b, инверсный элементу a, причем единственный, что e = ab, f = ba и выполняются усло-

вия (e, b) 2 L, ( f , b) 2 R .

2В несколько иной формулировке теорема 6.1.4 впервые была приведена А. Х. Клиффордом и Д. Д. Миллером в 1956 г. в статье [5]. В этой же статье была впервые сформулирована теорема 6.1.5.

52

Доказательство. Так как aba = a, bab = b, то abab = ab, baba =

= ba и, следовательно, ab, ba являются идемпотентами. Обозначим e = ab, f = ba. Тогда получаем (a, e) 2R , (e, b) 2L, (a, f ) 2L, ( f , b) 2R .

Пусть теперь для элемента a и идемпотентов e и f выполняются условия (a, e) 2R , (a, f ) 2L. Тогда найдутся такие x, y, z, t, что выполняются равенства ex = a, ay = e, z f = a, ta = f . Напомним (терема 3.6.2), что e и f являются левой и правой единицей для a соответственно.

Обозначим b = f ye, тогда

ab = a f ye = aye = ee = e.

С другой стороны,

ba = f yea = f ya = taya = tea = ta = f .

В то же время

aba = ea = a

и

bab = f b = f f ye = f ye = b.

Докажем единственность инверсного элемента b для a. Предположим, что существует ещё один инверсный элемент c 2Hb для a. Тогда e = ab = = ac, f = ba = ca в силу единственности идемпотента, принадлежащего H -классу. Тогда

b = bab = bac = cac = c.

2

Теорему 6.1.4 хорошо поясняет следующая egg-box-картинка.

Продолжая рассуждения так же, как это было сделано при доказательстве теоремы 6.1.4, читатель сможет проверить справедливость следующего утверждения (см. [6], теорема 2.17).

53

6.2. Критерий инверсной полугруппы

Следующее утверждение, являющееся критерием инверсной полугруппы, впервые было доказано А. Е. Либером3.

Теорема 6.2.1. Полугруппа является инверсной тогда и только тогда, когда она регулярна и любая пара идемпотентов коммутирует.

Доказательство. Пусть полугруппа S регулярна и любая пара идемпотентов e, f 2 E(S) коммутирует. Предположим, что для элемента a 2 S существует два инверсных элемента x, y 2 S. Поэтому

a = axa, x = xax, a = aya, y = yay

и ax, xa, ay, ya 2E(S). Тогда, используя коммутативность идемпотентов, получаем равенство инверсных:

x= xax = x(aya)x = (xa)(ya)x = (ya)(xa)x = y(axa)x = yax =

=y(aya)x = y(ay)(ax) = y(ax)(ay) = y(axa)y = yay = y.

Обратно. Полугруппа S является инверсной, и пусть a 1 обозначает единственный инверсный элемент для a 2 S. Так как каждый идемпотент e 2 E(S) можно представить в виде e = eee, то e 1 = e.

Пусть e, f 2 E(S), тогда

( f (e f ) 1e)( f (e f ) 1e) = f (e f ) 1(e f )(e f ) 1e = f (e f ) 1e.

Следовательно, элемент f (e f ) 1e является идемпотентным и f (e f ) 1e =

= ( f (e f ) 1e) 1.

Покажем теперь, что f (e f ) 1e и f e инверсны друг другу:

(f (e f ) 1e)(e f )( f (e f ) 1e) = f (e f ) 1e2 f 2(e f ) 1e =

=f (e f ) 1e f (e f ) 1e = f (e f ) 1e;

(e f )( f (e f ) 1e)(e f ) = e f 2(e f ) 1e2 f = e f (e f ) 1e f = e f .

3Профессор Александр Евгеньевич Либер (10.01.1914 — 27.06.1987) – первый аспирант (1938 г.) профессора Виктора Владимировича Вагнера, открывшего «обобщённые группы», позже названные Гордоном Престоном «инверсными полугруппами». Вся творческая деятельность Вагнера и Либера была связана с кафедрой геометрии Саратовского государственного университета.

54

7. ИДЕМПОТЕНТЫ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МОНОИДОВ

7.1. Вторичные идемпотенты моноида

Определение 7.1.1. Назовем полугруппу S с единицей 1 частично упорядоченным моноидом, если существует частичный порядок на S и для любых элементов которого a и b, если выполняется неравенство a b, то для любого c 2 S выполнены неравенства ac bc и ca cb. То, что S является частично упорядоченным моноидом с таким стабильным относительно полугрупповой операции частичным порядком , будем записывать как hS, i.

Определение 7.1.2. Если существует наибольшее решение уравнения xa = a для некоторого a 2 S, то обозначим его через aR. Если существует наименьшее решение уравнения xa = a , то обозначим его через aR. Соответственно, если для уравнения ax = a существует наибольшее решение, то обозначим его через aL, и если среди решений уравнения ax = a существует наименьшее, то обозначим его через aL.

Теорема 7.1.1. Если элементы aR, aR, aL, aL существуют, то они являются идемпотентами моноида S.

Доказательство. Из определения 7.1.1 следует, что 1 aR. Умножая последнее неравенство на aR, получаем aR aRaR.

В то же время (aRaR)a = aR(aRa) = a и, следовательно, из определения

7.1.2следует, что (aRaR) aR. Получаем равенство aR = aRaR. Аналогичным образом можно доказать равенство aL = aLaL, а учиты-

вая, что aR 1 и aL 1, можно показать и идемпотентность элементов aR и aL. □

Теорема 7.1.2. Если aR, aR, aL, aL существуют, то выполняются сле-

56

Доказательство. Из неравенства 1 aR получаем

(aR)R (aR)RaR = aR, (aR)L aR(aR)L = aR.

Это позволяет записать (aR)R aR, (aR)L aR.

Вто же время, сравнивая равенства aRaR = aR, (aR)RaR = aR, aR(aR)L =

=aR и учитывая максимальность элементов (aR)R, (aR)L, имеем aR (aR)R, aR (aR)L, что доказывает равенство (aR)R = (aR)L = aR.

Остальные равенства доказываются аналогично. □

Теорема 7.1.3. Пусть e идемпотент моноида S. Тогда следующие условия равносильны:

1 e () e = eR () e = eL;

e 1 () e = eR () e = eL.

e является наибольшим решением уравнения e = xe. Следовательно, e существует и e = eR. Таким же способом можно показать, что e = eL.

Если выполняется равенство e = eR, то из неравенства 1 eR получаем

1 e.

Аналогично доказывается эквивалентность

e 1 () e = eR () e = eL. □

Определение 7.1.3. Идемпотент e назовем вторичным идемпотентом,

порожденным заданным на моноиде порядком , если он сравним с единицей моноида S, т. е. e 1 или 1 e.

Идемпотент назовем первичным в противном случае, т. е. если он не сравним с единицей заданным на моноиде частичным порядком .

Таким образом, если идемпотент e вторичный, то выполняется либо e = eR = eL, либо e = eR = eL. В случае e = eR = eL идемпотент e назовем

вторичным идемпотентом максимального типа, в случае e = eR = eL – вторичным идемпотентом минимального типа.

Из теорем 7.1.1 и 7.1.2 получаем, что если существуют элементы aR, aR, aL, aL для некоторого a2S, то они являются вторичными идемпотентами. Будем называть их соответственно R-вторичными идемпотентами максимального, минимального типа или L-вторичными идемпотентами максимального, минимального типа, порожденными элементом a, отно-

сительно порядка . Будем в этом случае также говорить, что элемент a

обладает вторичным идемпотентом (или порождает вторичный идемпотент) соответствующего типа.

57

Множества первичных идемпотентов, вторичных идемпотентов макси-

мального и минимального типа будем обозначать символами E0, E" и E# соответственно. Заметим, что E0 \ E" = 0/, E0 \ E# = 0/, E" \ E# = f1g, что

следует из теоремы 7.1.3, а множество всех идемпотентов есть

E(S) = E0 [E" [E#.

Теорема 7.1.4. Пусть e первичный идемпотент. Тогда либо e не порождает ни одного вторичного идемпотента, либо, т. е. если по крайней мере один из вторичных идемпотентов eR, eL, eR, eL существует, выполняются строгие неравенства

Доказательство. Если один из вторичных идемпотентов eR существует, то e eR, так как из ee = eRe = e следует e eR по определению идемпотента eR. Кроме того, e =6 eR, так как в противном случае по теореме 7.1.3 идемпотент e является вторичным.

Остальные пункты предложения доказываются аналогичным способом.

□

Справедливость следующих утверждений очевидна в силу стабильности частичного порядка и определения 7.1.2.

Теорема 7.1.5. Для любых элементов a, b2S верны следующие импликации, если все указанные в них вторичные идемпотенты существуют:

1 a bR ! bR = abR = bRa ! ab = b ! a bR,

1 a bL ! bL = bLa = abL ! ba = b ! a bL,

1 a bR ! bR = abR = bRa ! ab = b ! a bR,

1 a bL ! bL = abL = bLa ! ab = b ! a bL.

В частности, выполняются эквивалентности:

58

Теорема 7.1.6. Для любых a, b 2 S, для которых приведённые ниже вторичные идемпотенты существуют относительно стабильного порядка, справедливы неравенства:

7.2. Примеры моноидов и их идемпотентов

Пример 7.2.1. Пусть (L, ^, 1) – нижняя полурешетка с наибольшим элементом 1 в качестве единицы моноида, которым является эта полурешетка. Очевидно, что в этом случае все элементы моноида X являются вторичными идемпотентами минимального типа: L = E#.

Аналогично для (L, _, 0) – верхней полурешетки с наименьшим элементом 0 в качестве единицы моноида – выполняется равенство L = E".

Пример 7.2.2. Пусть B(M) – множество всех бинарных отношений на множестве M (jMj 3 ) с частичным порядком включения . На множестве B(M) определена стандартным образом структура моноида с операцией умножения бинарных отношений и единицей ∆ = f(x, x)jx 2Mg. Заметим, что частичный порядок включения стабилен относительно умножения бинарных отношений. Для этого частично упорядоченного моноида (B(M), ) вторичными идемпотентами минимального типа являются все бинарные отношения ρ, для которых выполняется ρ = ρ2 ∆, например ρ = f(x, x), (y, y)g для любых x, y 2M. Очевидно также, что множество первичных идемпотентов E0 непусто, например

f(x, x), (x, y), (y, y), (y, x)g2E0 B(M).

Множество вторичных идемпотентов максимального типа E" содержит также элементы, отличные от ∆, например ∆ [f(x, y), (y, x)g2E" B(M).

Пример 7.2.3. Рассмотрим полугруппу квадратных матриц Mn n(B) – множество квадратных матриц размера n n с элементами из булевой алгебры (B, \, [, c, 0, 1), с операцией произведения, определённой в примере 1.3.2. Оставляем читателю проверку стабильности умножения относительно булева порядка включения:

A = (Aij) B = (Bij) , (8i, j) Aij \Bij = Aij.

Полугруппа квадратных матриц hMn n(B), i является частично упорядоченным моноидом с единичной матрицей в качестве единицы. Вторичными идемпотентами минимального типа являются матрицы, у которых

59

внекоторых местах диагонали стоят единицы, а на остальных местах – нули булевой алгебры. Вторичными идемпотентами максимального типа являются идемпотентные матрицы, у которых на диагонали стоят единицы булевой алгебры.

Примеры построения вторичных идемпотентов максимального типа

вчастичных полугруппах матриц произвольных размеров с элементами из произвольной булевой алгебры, их свойства, применение можно найти

в[7, 8].

7.3.Вторичные идемпотенты и классы Грина

Теорема 7.3.1. Пусть вторичные идемпотенты aR, bR (или aR, bR), порождённые элементами a, b 2S, существуют. Если есть решение уравнения ax = b, то aR bR (соответственно aR bR).

Если существуют вторичные идемпотенты aL, bL (или aL, bL), порож-

денные элементами a, b 2S, то из разрешимости уравнения xa = b следует aL bL (соответственно aL bL).

Доказательство. Так как aRb = aR(ax) = (aRa)x = ax = b, то aRb = b.

Тогда если bR существует, то aR bR.

Таким же образом можно показать и остальные неравенства. □ Теорему 7.3.1 можно переформулировать в контексте частичного по-

рядка на множестве главных односторонних идеалов моноида S следующим образом:

Следующая теорема даёт необходимый признак существования вторичных идемпотентов в терминах R и L эквивалентностей Грина.

60