Введение в теорию полугрупп. Учебное пособие для магистров и аспирантов физико-математического факультета

содержит конечное число элементов , то hai = fa, a2, . . ., amg, если порядок полугруппы равен jhaij = m. Это означает, что степень am+1 равна одному из элементов множества fa, a2, . . ., amg. Пусть am+1 = an, 1 n m. Тогда для любой степени t получаем at = at+(m+1 n) = . . . = at+k(m+1 n), где k 2N0. Иными словами, получаем равенство at = as, если s = t(mod(m + 1 n).

Теорема 1.3.1. Пусть hai = fa, a2, . . ., amg – конечная циклическая полугруппа порядка m. Тогда найдётся такое n 2 N, 1 n m, что G(a) = fan, . . ., amg является подгруппой циклической полугруппы hai.

Доказательство. Пусть G(a) = fan, . . ., at , . . ., as, . . ., amg, 1 n t s

m и an = am+1. Тогда at as = at+s = at+s(mod(m+1 n)) 2G(a), если n s,t m.

В частности, at an+s0 = at , если n + s0 = 0(mod(m + 1 n)). Следовательно, an+s0 является единицей в циклической группе G(a), при этом G(a) изоморфна аддитивной группе классов вычетов по mod(m + 1 n). 2

Определение 1.3.4. В предыдущих рассуждениях числа n и m + 1 n

называются индексом и периодом циклической полугруппы.

Заметим, что для конечной циклической полугруппы всегда

индекс + период= порядок +1.

Очевидным тогда является следующее утверждение.

Следствие 1.3.1. Любая конечная полугруппа содержит идемпотент.

Пример 1.3.2. Пусть Mn n(B) – множество квадратных матриц размера n n с элементами из булевой алгебры (B, \, [, c, 0, 1), т. е. дистрибутивной решётки (B, \, [) с операцией дополнения c, наименьшим и наибольшим элементами 0, 1 соответственно. Читателю оставляем проверку того, что а Mn n(B) образует полугруппу с операцией произведения матриц, которую для любых булевых матриц A = (Aij) и B = (Bij) определяют как

матрицу C = AB 2Mn n(B) с элементами Cij = tn=1(Ati \Btj).

Так как число элементов каждой матрицы конечно, то любая n n- матрица порождает циклическую полугруппу. Имеет место утверждение Шварца (Schwarz) [2], указывающее на возможный максимум значения индекса kmax для циклических полугрупп, порождённых булевыми (или неотрицательными) (n n)-матрицами:

kmax = (n 1)2 + 1.

Вместе с тем Вейландт (Wielandt) [3] ранее доказал, что этот предел достигается некоторыми особыми матрицами, называемыми примитивными. Позже было доказано [4], что период булевой матрицы размера n n над

11

произвольной булевой алгеброй является делителем наименьшего общего кратного чисел 1, 2, . . ., n, а также указал способ построения булевых матриц, порождающих циклические полугруппы с наибольшим индексом и периодом.

Следующая булева 5 5-матрица с элементами из булевой алгебры, представляющей собой множество всевозможных подмножеств числовой прямой, является матрицей с наибольшим возможным индексом и перио-

Индекс циклической полугруппы, пророждённой этой матрицей, равен 17, а период – НОК(1, 2, 3, 4, 5) = 60. Следовательно, её порядок равен 76.

Читателю предлагаем найти идемпотент этой полугруппы.

1.4. Идемпотенты полугруппы TX

Теорема 1.4.1. Идемпотентами полугруппы TX являются такие и только такие преобразования f , ограничения которых на образе Im f являются тождественными преобразованиями этого образа, т. е.

f jIm f = IdjIm f .

Доказательство. Действительно, равенство f 2 = f выполняется тогда

зования, которые переводят все элементы X в какой-то один, являются идемпотентными.

()

преобразования означает, что (1)α = (2)α = 2, а (3)α = 3. Образ Imα =

12

2. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ НА ПОЛУГРУППЕ

2.1. Алгебра бинарных отношений

Определение 2.1.1. Бинарное отношение на множестве X – это подмножество декартова квадрата X X. Если элементы x, y 2 X связаны отношением ρ X X , то пишут (x, y) 2 ρ или xρy.

Наибольшее по включению бинарное отношение I = X X назовём

универсным (универсальным, всеобщим). Бинарное отношение ∆ = = f(x, x)jx 2Xg, назовём диагональным (диагональю) или тождественным.

Такое бинарное отношение уже рассматривалось в примере 1.1.5. Иногда важно рассматривать пустое отношение, которое будем обозначать привычным символом 0/.

Примерами бинарных отношений могут служить отношения равенства =, строгого неравенства < или нестрогого неравенства , делимость для целых чисел; для подмножеств какого-либо множества – бинарное отношение включения (или ); для прямых, плоскостей – параллельность и перпендикулярность; для фигур – подобие и т. д.

Слово бинарное означает, что отношение связывает два элемента множества. Наряду с бинарными отношениями можно рассматривать тернарные, в которых участвуют три элемента множества, унарные, где участвует только один элемент (фактически, это свойство элементов данного множества), и т. д.

Представляя множество всех бинарных отношений как множество всевозможных подмножеств P(X X), мы получаем булеву алгебру подмно-

жеств (P(X X), [, \,C , I, 0/) с операциями включения , объединения [ (супремума), пересечения \ (инфинума) для пары бинарных отношений, до-

полнения C бинарного отношения, наибольшим элементом I = X X и наименьшим элементом 0/. Кроме булевых операций на P(X X) можно определить также операции произведения бинарных отношений и обратного бинарного отношения так, как указано ниже.

Определение 2.1.2. Произведением (композицией) бинарных отноше-

ний ρ и ζ называют отношение

τ = ρζ = f(x, y) 2X Xj(9z)(x, z) 2ρ и (z, y) 2ζg.

Обратным бинарным отношением для ρ назовём отношение

ρ 1 = f(y, x) 2X Xj(x, y) 2ρg.

14

Доказательство следующего утверждения предоставляется читателю.

Теорема 2.1.1. Для всех отношений, входящих в указанные ниже равенства, справедливы свойства операций алгебры бинарных отношений:

если

∆ σ.

Бинарное отношение σ называется симметричным, если

σ = σ 1.

Бинарное отношение σ называется транзитивным, если

σ2 σ.

Бинарное отношение σ называется антисимметричным, если

σ \σ 1 ∆.

Определение 2.1.4. Бинарное отношение называется толерантным отношением (толерантностью), если оно рефлексивно и симметрично. Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Бинарное отношение называется предпорядком (квазипорядком), если оно рефлексивно и транзитивно, и частичным порядком, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично.

Примером толерантного отношения может служить отношение «схожести» или «быть похожим». Для эквивалентности – «равенство», «подобие». Частичному порядку – нестрогое неравенство . Примером квазипорядка может служить следующий пример отношения действительных чисел ρ

R R:

(x, y) 2ρ $ jxj jyj.

15

Пример 2.1.1. Пусть операции булевой алгебры B2 = f0, 1g нахождение супремума (_) , инфинума (^) заменены на «+» и « », а операция дополнения обозначается как c. Тогда таблица операций определяется как

Покажем, что бинарное отношение ρ на конечном множестве можно задавать с помощью квадратной матрицы с элементами из B2. В случае конечности множества X его элементы можно пронумеровать натуральными

числами от 1 до n. Тогда для пары элементов xi, xj 2X (i, j 2f1, . . ., ng) в i строчку и j столбец квадратной n n-матрицы ставится 1, если (xi, xj) 2ρ,

и 0, если (xi, xj) 2 ρc. При этом образуется квадратная n n-матрица Mρ, заполненная нулями и единицами. Совершенно ясно, что смена нумерации элементов в базовом множестве X приводит к одновременной и одинаковой перестановке строк и столбцов полученной матрицы. Таким образом, данное булево бинарное отношение ρ определяет некоторую булеву матрицу Mρ с точностью до упомянутых перестановок. Фиксируя выбранную нумерацию элементов множества X, мы получаем биективное соответствие

16

Справедливы следующие свойства указанного соответствия для алгебры бинарных отношений на конечном множестве X : jXj = n и алгебры квадратных n n булевых (0,1)-матриц, которые предлагаем проверить самостоятельно:

Mρσ = MρMσ;

Mρ = MT ;

1 ρ

Mρ = Mc .

c ρ

Mρ[σ = Mρ [Mσ;

Mρ\σ = Mρ \Mσ.

Здесь произведение матриц понимается привычным способом – как матрица всевозможных скалярных произведений строк первой матрицы на столбцы второй (с учетом приведённой выше таблицы сложения и умножения 0 и 1). Символ T обозначает транспонирование матрицы, а объединение и пересечение понимается как соответствующая поэлементная операция в булевой алгебре B2 = f0, 1g соответственно.

Верность следующего утверждения также предлагаем проверить самостоятельно.

Теорема 2.1.2. Пересечение любой совокупности рефлексивных отношений рефлексивно, симметричных отношений симметрично, транзитивных отношений – транзитивно. Пересечение антисимметричного и любого другого отношения является антисимметричным.

Из этой теоремы получается, что пересечение толерантностей, эквивалентностей, квазипорядков и частичных порядков является толерантностями, эквивалентностями, квазипорядками и частичными порядками соответственно. Однако это утверждение не выполняется для объединения таких отношений.

2.2. Ядра гомоморфизмов

Определение 2.2.1. Пусть Φ : X ! Y – отображение множеств. Будем говорить, что элементы s,t 2X принадлежат ядру отображения ker Φ, если

Φ(s) = Φ(t).

Очевидно, что бинарное отношение ker Φ является эквивалентностью, следовательно, множество X разбивается на непересекающиеся классы

17

эквивалентности (ядра). Такое множество классов называется фактормножеством, обозначается X/ker Φ, а процесс построения из X множества

X/ker Φ называют факторизацией.

()

шестиэлементного множества. Эквивалентность ker α разбивает его на клас-

сы f1, 3g, f2, 4, 5g, f6g.

Нетрудно увидеть справедливость следующего утверждения.

Теорема 2.2.1. Отображение Φ : X ! Y взаимно однозначно тогда и только тогда, когда его ядро является диагональным бинарным отношением (ker Φ = ∆), и постоянным, если ядро является универсальным бинарным отношением ker Φ = X X.

Определение 2.2.1. Отношение эквивалентности ρ на полугруппе S называется конгруэнцией, если из (a, b) 2ρ и (c, d) 2ρ следует (ac, bd) 2ρ.

Лемма 2.2.2. Пусть Φ : S ! T – полугрупповой гомоморфизм, тогда ядро ker Φ есть конгруэнция на S.

Доказательство. Учитывая, что Φ является гомоморфизмом, из равенств Φ(a) = Φ(b) и Φ(c) = Φ(d) получаем

Φ(a)Φ(c) = Φ(b)Φ(d)

или

Φ(ac) = Φ(bd),

что и утверждает лемма. 2

Теорема 2.2.3. Пусть Φ : S ! T – полугрупповой гомоморфизм (или гомоморфизм моноидов), тогда на фактор множестве S/ker Φ можно определить операцию, относительно которой S/ker Φ является полугруппой (моноидом).

Доказательство. Пусть [a], [b] – элементы множества S/ker Φ, т. е. классы эквивалентности, с представителями a, b2S соответственно. Определим композицию [a] и [b] следующим образом:

[a][b] = [ab].

Из леммы 2.2.2 следует корректность такого определения.

18

Покажем, что эта операция ассоциативна:

([a][b])[c] = [ab][c] = [(ab)c] = [a(bc)] = [a][bc] = [a]([b][c]).

Заметим также, что для случая, когда S моноид, имеем

[a][1] = [a1] = [a] = [1a] = [1][a],

(фактор-моноидом) по ядру гомоморфизма Φ : S ! T.

Теорема 2.2.4. Пусть π : S ! S/ker Φ – проекция полугруппы на факторполугруппу, определяемая как π(x) = [x] для всех x 2 S. Тогда π является гомоморфизмом ( полугрупп или моноидов), ядро которого ker π совпадает с ядром ker Φ.

Доказательство. Действительно,

π(ab) = [ab] = [a][b] = π(a)π(b),

для моноида π(1) = [1], если (x, y)2ker π $ π(x) = π(y) $ [x] = [y] $ Φ(x) = = Φ(y) $ (x, y) 2 ker Φ. 2

Теорема 2.2.5 (Основная теорема о полугрупповых гомоморфизмах).

Пусть Φ : S ! T – полугрупповой гомоморфизм. Тогда

Доказательство. Определим отображение Φ˜ : S/ker Φ ! ImΦ следующим образом:

Φ˜ ([x]) = Φ(x) 2ImΦ для любого x 2S.

Очевидно, это отображение Φ˜ гомоморфно и сюръективно. Покажем, что оно инъективно:

Φ˜ ([a]) = Φ˜ ([b]) $ Φ(a) = Φ(b) $ (a, b) 2ker Φ $ [a] = [b].

2

19