Введение в теорию полугрупп. Учебное пособие для магистров и аспирантов физико-математического факультета

3.ИДЕАЛЫ ПОЛУГРУППЫ

3.1.Полугруппа подмножеств полугруппы

Для подмножеств A и B полугруппы S можно следующим образом определить произведение:

AB = fabja 2A, b 2Bg.

В частности, A2 = AA = fabja, b 2Ag. Будем также писать aA вместо fagA и Aa вместо Afag.

Эта операция, очевидно, обладает свойством ассоциативности:

(AB)C = A(BC).

Поэтому множество подмножеств P(S) полугруппы S со введённой операцией само является полугруппой.

Заметим, что полугруппа P(S) обладает частичным порядком включения подмножеств , причём стабильным относительно умножения, так как из A B следует AC BC и CA CB для всех A, B,C 2 P(S). Это делает полугруппу P(S) частично упорядоченной полугруппой. Однако из AC BC

Полугруппа P(S) не является полугруппой с делением в общем случае, так как из AC = BC или из CA = CB не следует A = B. Характерным примером этому может служить случай, когда полугруппа S есть полугруппа левых (правых) нулей: CA = CB = C для всех A, B,C 2P(S).

Отметим также, что SS1 = S = S1S.

Нетрудно показать справедливость следующего утверждения.

Теорема 3.1.1. Любая подполугруппа A S изоморфна подполугруппе A = ffagja 2 Ag полугруппы P(A), которая, в свою очередь, является подполугруппой полугруппы P(S).

3.2. Идеал полугруппы

Определение 3.2.1. Непустое подмножество I полугруппы S называет-

ся левосторонним (правосторонним) идеалом, если SI I (соответственно IS I), и двусторонним идеалом (или просто идеалом), если SI[IS I.

21

Заметим, что в случае коммутативной полугруппы левосторонний, правосторонний и двусторонний идеал является одним и тем же множеством.

Заметим также, что любой идеал является подполугруппой полугруппы S. Однако не всякая подполугруппа является идеалом. Так, подмноже-

ство чётных чисел образует подполугруппу полугруппы (N, +). Однако оно не является идеалом.

Теорема 3.2.1. Для любого идеала I полугруппы S справедливы следующие эквивалентности:

Доказательство. Из SI [ IS I следует SI I, следовательно, SIS

IS I. Из последнего и того, что SI = SIf1gI, IS = f1gIS I, f1gIf1g

I, получаем S1IS1 I.

Пример 3.2.1

1.Множество fig J в прямоугольной связке I J для любого i 2 I является правосторонним идеалом.

2.Множество

Im = f(x, y)jx m, y 2N0g

является правосторонним идеалом бициклической полугруппы B. Действительно,

(x, y)(a, b) = (x y + t, b a + t),

где t = maxfy, ag. Так как x m и t y, то t y 0, тогда x y + t m, что позволяет записать (x, y)(a, b) = (x y + t, b a + t) 2 Im.

Похожими рассуждениями можно показать, что множество

mI = f(x, y)jy m, x 2N0g

является левосторонним идеалом бициклической полугруппы B.

22

3. Если Y X, то подмножество I = ff 2TXjIm f Yg полугруппы преобразований TX является левосторонним идеалом. Действительно, запишем

TXI = fg f jIm f Y, g 2TXg.

Заметим, что (X)(g f ) = ((X)g) f (X) f = Im f Y. Получаем

TXI I.

4. Если полугруппа S с нулём 0, то f0g является тривиальным идеа-

лом.

5. Нуль-полугруппой называют полугруппу с нулём, в которой любое произведение её элементов равно 0. Заметим, что в такой полугруппе любое подмножество, содержащее 0, является идеалом.

Определение 3.2.2. Полугруппа S называется простой полугруппой, если S является единственным идеалом (двусторонним!) этой полугруппы.

Полугруппа S называется 0-простой, если S является полугруппой

с нулём 0, а f0g, S – единственные идеалы этой полугруппы, причём

S2 =6 f0g.

Отметим, что S2 является всегда идеалом. Условие S2 =6 f0g в приведённом выше определении нужно лишь для того, чтобы исключить случай 2-элементной нуль-полугруппы, которая также содержит лишь два идеала.

Пример 3.2.2. 1. Пусть G – группа, а I – её левый идеал. Тогда

g = (ga)a 1 2I

для всех g 2G, a 2I. Следовательно, G = I и группа не имеет собственных левых (правых) идеалов, т. е. группа всегда проста.

2.Любая группа с нулём G0 является 0-простой.

3.Полугруппа (N, +) не является простой. В ней всякое подмножество In = fn, n + 1, n + 2, . . .g N является, очевидно, идеалом.

Теорема 3.2.2. Бициклическая полугруппа B является простой.

Получаем I = B, что доказывает простоту бициклической полугруппы.2 Заметим, что простая полугруппа B обладает нетривиальными одно-

сторонними идеалами (пример 3.2.1).

23

3.3. Главные идеалы

То, что для полугруппы S и некоторого её элемента a выполняется равенство S1a = Sa, означает

S1a = Sa [fag = Sa $ a 2Sa $ 9x2S(a = xa).

В частности, это равенство выполняется, если S есть моноид (S1 = S) или a является идемпотентом (a = aa), или a есть регулярный элемент (9x2S(a =

= axa)) и т. д.

Например, (N, +) не является моноидом и f1g (N+ 1). Моноидом является N1 = N[f0g. Поэтому N1 + 1 = (N[f0g) + 1) =6 (N+ 1).

Аналогичные рассуждения можно провести для двойственного вида равенства aS1 = aS, а также для равенства

S1aS1 = SaS[aS[Sa [fag.

Теорема 3.3.1. Подмножества полугруппы aS1, S1a, S1aS1 являются наименьшими правыми, левыми, двусторонними идеалами соответственно, содержащими элемент a.

Доказательство. Докажем предложение для правого идеала aS1. Пусть I – некоторый правый идеал и a 2 I или fag I. Тогда, умножая последнее включение справа на S1, получаем

aS1 IS1 I,

что доказывает минимальность правого идеала aS1. 2

Определение 3.3.1. Назовём правые aS1, левые S1a, двусторонние

S1aS1 идеалы полугруппы главными (правыми, левыми, двусторонними) идеалами, порождёнными элементом a 2 S.

Заметим, что для коммутативных полугрупп aS1 = S1a = S1aS1. Для групп (не обязательно коммутативных) для любого a 2G имеем

aG1 = G1a = G1aG1 = G.

Пример 3.3.1

1. Для полугруппы (N, +) главные идеалы имеют вид

n + N1 = fn, n + 1, n + 2, . . .g = In.

24

2. Напомним, что бициклическая полугруппа B является простой, поэтому

B(m, n)B = B1(m, n)B1 = B

для всех (m, n) 2 B.

Однако не сложно показать, что для правого главного идеала имеем

(m, n)B = (m, n)B1 = f(x, y)jx m, y 2N0g =6 B.

То же можно сказать и о левом главном идеале:

B(m, n) = B1(m, n) = f(x, y)jx 2N0, y ng =6 B.

3.4. L- и R -эквивалентности Грина

Для односторонних главных идеалов, очевидно, верны следующие эквивалентности:

Это делает корректным следующее определение.

Определение 3.4.1. Бинарные отношения L и R на полугруппе S определяются следующими правилами:

(a, b) 2L $ S1a = S1b $ 9x,y2S1 (a = xb, b = ya);

(a, b) 2R $ aS1 = bS1 $ 9x,y2S1 (a = bx, b = ay).

Теорема 3.4.1. Бинарные отношения L и R на полугруппе S являются правыми и левыми конгруэнциями соответственно (т. е. эквивалентностями, стабильными по умножению справа и слева соответственно).

Доказательство. То, что бинарные отношения L, R являются эквивалентностями, очевидно. Остаётся заметить, что из S1a = S1b следует S1ac = = S1bc для любого c 2S, т. е. из (a, b) 2L следует (ac, bc) 2L. Аналогично из (a, b) 2 R следует (ca, cb) 2 R для любого c 2 S. 2

Обозначим через H бинарное отношение H = L \R . Очевидно, что пересечение эквивалентностей является эквивалентностью на полугруппе S. Однако эквивалентность H конгруэнцией не является.

Определение 3.4.2. Бинарные отношения H , L и R называются эквивалентностями Грина.

25

Пример 3.4.1

1.Для коммутативной полугруппы S имеем H = L = R .

2.Для группы G (не обязательно коммутативной) имеем

H = L = R = G G.

Пример 3.4.2.

1.Для полугруппы (N, +) имеем

a + N1 = fa, a + 1, a + 2, . . .g = b + N1 = fb, b + 1, b + 2, . . .g $

$ a = b.

Следовательно, H = L = R = ∆ = f(n, n)jn 2 Ng. 2. В бициклической полугруппе B имеем

(m, n)B1 = f(x, y)jx m, y 2N0g = (p, q)B1 = f(x, y)jx p, y 2N0g $ $ m = p.

Иными словами,

((m, n), (p, q)) 2R $ m = p.

Аналогично

((m, n), (p, q)) 2L $ n = q.

Получаем ((m, n), (p, q)) 2 H $ (m, n) = (p, q), т. е.

H = ∆ = f((m, n), (m, n)) 2(N0)2 N0)2g.

3.5. Эквивалентности Грина на TX

Теорема 3.5.1. Справедливы следующие эквивалентности:

αTX βTX $ ker β ker α.

TXα TXβ $ Imα Imβ.

Доказательство. Если αTX βTX, тогда α = βγ для некоторого γ 2 2 TX. Пусть (x, y) 2 ker β, т. е. (x)β = (y)β. Тогда

(x)α = (x)(βγ) = ((x)β)γ = ((y)β)γ = (y)α,

26

следовательно, (x, y) 2ker α. Это доказывает ker β ker α.

Пусть теперь ker β ker α. Определим отображение γ : X ! X как

Тогда βγ = α, что позволяет записать α 2βTX или αTX βTX. Доказательство второй эквивалентности предоставляем читателю. 2 Из предыдущего утверждения и определения отношений Грина R , L,

H получаем следующее следствие.

Теорема 3.5.2. Пусть α, β 2 TX. Тогда

(α, β) 2R $ ker α = ker β;

(α, β) 2L $ Imα = Imβ;

(α, β) 2H $ (ker α = ker β, Imα = Imβ).

Пример 3.5.1. Рассмотрим полугруппу Tf1,2,3g и идемпотентный эле-

()

f2, 3g, а ядро ker α имеет классы f1, 2g и f3g. Тогда преобразования α, β являются H -эквивалентными, если ker α = ker β, Imα = Imβ. Тогда β =

ментом α, и других элементов нет. Таблица умножения этих элементов показывает, что fα, βg является двухэлементной коммутативной группой:

α β

α α β .

ββ α

3.6.Идеалы, порождённые идемпотентом

Определение 3.6.1. Подмножество H полугруппы S называется подгруппой полугруппы, если H является группой с операцией, полученной как ограничение на подмножество H S полугрупповой операции на S.

27

Пример 3.5.1 даёт такую подгруппу полугруппы Tf1,2,3g. Заметим, что единица такой подполугруппы не совпадает с единицей полугруппы, т. е. моноида. Отметим также, что любой идемпотент e 2 S образует одноэлементную (тривиальную) подгруппу полугруппы S.

Пример 3.6.1. Пусть SX множество биективных преобразований множества X. Очевидно, SX TX. SX является подгруппой, так как роль единицы выполняет тождественное преобразование Id и для каждой биекции существует обратная. Найдём H -класс, порождённый элементом Id 2SX

TX:

(α, Id) 2H $ (ker α = ker Id, Imα = ImId) $ (ker α = ∆, Imα = X) $

$ (α – инъективное и сюръективное преобразование) $ α 2SX.

Таким образом, SX является подгруппой, совпадающей с H -классом, порождённым элементом Id.

Лемма 3.6.1. Пусть a, e 2S и e – идемпотент полугруппы. Тогда

S1a S1e $ ae = a;

aS1 eS1 $ ea = a.

Доказательство. Из S1a S1e следует a = te для некоторого t 2 S1. Однако

ae = (te)e = te = a.

Обратно, из ae = a следует S1a S1e.

Вторая эквивалентность доказывается аналогично. 2

Теорема 3.6.2. Пусть и e – идемпотент полугруппы S. Тогда он является правой, левой и двусторонней единицей для порождённых этим идемпотентом L-, R -, H -классов соответственно.

Доказательство. Из леммы 3.6.1 получаем импликации:

(a, e) 2L ! ae = a;

(a, e) 2R ! ea = a;

(a, e) 2H ! ae = ea = a.

2

28

Теорема 3.6.3. Пусть e идемпотент полугруппы S и G – подгруппа с единицей e. Тогда каждый элемент группы G H -эквивалентен идемпотенту e, т. е.

G He = faj(a, e) 2H g.

Доказательство. Из условия теоремы для любого a 2G имеем ae = = ea = a и существует такой элемент a 1 2G, что aa 1 = a 1a = e. Но это означает, что (a, e) 2R , (a, e) 2L. Следовательно, (a, e) 2H , т. е. G He. 2

доказывается (ba, b) 2 H . В итоге ab 2 He.

Остаётся показать, что для каждого a 2He найдётся обратный элемент. Из a 2 He = Re \ Le следует, что

ax = e = ya.

Тогда a(exe) = ((ae)x)e = (ax)e = ee = e, и (eye)a = . . . = e. Однако

exe = e(exe) = e(yaxe) = (ey)a(xe) = (ey)(ae)(xe) = (ey)a(exe) = eye.

Получили a 1 = exe = eye.

То, что He является максимальной подгруппой, сразу следует из тео-

Следующее утверждение, доказательство которого будет приведено в параграфе 4.2, принадлежит Грину1.

Теорема 3.6.5. Элемент a2S принадлежит некоторой подгруппе тогда и только тогда, когда (a, a2) 2 H (или a2 2 Ha).

Теорема 3.6.6. Следующие утверждения эквивалентны: 1) элемент a 2S принадлежит некоторой подгруппе;

2) a 2He для некоторого идемпотента e 2E(S);

1James Alexander «Sandy» Green (The Royal Society of London for Improving Natural Knowledge) (26.02.1926 – 7.04.2014). Грин нашел все характеры обобщенных линейных групп над конечными полями (1955) и ввёл соответствия Грина в модулярной теории представлений. Как функции Грина в теории представления групп лиевского типа, так и отношения Грина в теории полугрупп названы его именем. Последняя публикация 2007 года есть переработка с дополнениями изданной им работы 1980 года «Полиномиальные представления GL(n)».

29

3)Ha есть подгруппа;

4)(a, a2) 2H .

Доказательство. То, что из 1 следует 2, получается по теореме 3.6.3. Из 2 следует 3, так как из (a, e) 2 H получаем HaHe, при этом He

есть подгруппа, так как e 2 E(S).

Из 3 непосредственно получается 1. Из 3 также следует 4, так как подгруппа Ha замкнута относительно умножения её элементов, следовательно, a2 2 Ha, т. е. (a, a2) 2 H .

Из 4 следует 1 по теореме Грина 3.6.5. 2

3.7. Подгруппы полугруппы Tf1,2,...,ng

Теоремы 3.5.2 и 3.6.5 позволяют записать условие принадлежности элемента α 2 Tf1,2,...,ng некоторой подгруппе как

(α, α2) 2H $ (ker α = ker α2, Imα = Imα2).

Однако это условие можно упростить, учитывая следующее утверждение.

Теорема 3.7.1. Для любого α 2Tf1,2,...,ng выполняется

ker α = ker α2 $ Imα = Imα2.

Доказательство. Отметим, что Imα2 Imα, так как выполняется включение левых идеалов

(Tf1,2,...,ngα)α = Tf1,2,...,ngα2 Tf1,2,...,ngα.

В то же время ker α ker α2, так как выполняется включение правых идеалов

α2Tf1,2,...,ng αTf1,2,...,ng.

Тогда имеем сравнение мощностей фактор-множеств:

jf1, 2, . . ., ng/ ker α2j = jImα2j jImαj = jf1, 2, . . ., ng/ ker α.j

Поэтому числа классов эквивалентности ker α2 и эквивалентности ker α одинаковы тогда и только тогда, когда jImαj = jImα2j, откуда, учитывая неравенства Imα2 Imα и ker α ker α2, получаем ker α = ker α2 $ Imα =

= Imα2. 2

30