Введение в теорию полугрупп. Учебное пособие для магистров и аспирантов физико-математического факультета

и

ется, что единственный нетривиальный D-класс имеет egg-box-картинку, совпадающую с матрицей P = (piλ), ненулевые элементы которой своими местами соответствуют расположению максимальных подгрупп на этой egg-box картинке.

Известно, что если piλ =6 0, pµj =6 0, то подгруппы изоморфны: Hiλ ' Hµj . Ясно также, что отображение (i, a, λ) 7!( j, a, µ) является биекцией Hiλ на

Hµj . Читателю предлагается показать, что эта биекция групповым изоморфизмом не является, а также найти изоморфизм подгрупп Hiλ и Hµj .

5.2. Условия обрыва цепей главных односторонних идеалов

Определение 5.2.1. Будем говорить, что полугруппа S обладает усло-

вием ML обрыва убывающей цепи главных левых идеалов, если не суще-

ствует бесконечных убывающих цепей строгих включений главных левых идеалов:

S1a1 S1a2 S1a3 . . .

Условие MR обрыва убывающей цепи главных правых идеалов опреде-

ляется дуальным образом.

41

Лемма 5.2.1. Полугруппа S обладает условием ML тогда и только тогда, когда любая цепь нестрогих включений

S1a1 S1a2 S1a3 . . .

стабилизируется, т. е. найдётся такое n 2N, что S1an = S1an+1 = . . .

Доказательство. Если любая цепь нестрогих включений

S1a1 S1a2 S1a3 . . .

стабилизируется, то, очевидно, полугруппа S обладает условием ML. Обратно. Пусть S обладает условием ML. Тогда из любой цепи нестро-

гих включений

S1a1 S1a2 S1a3 . . .

можно выбрать подцепь строгих включений, причём она должна быть конечной:

S1ai1 S1ai2 S1ai3 . . . S1aim .

Это будет означать, что данная цепь

S1a1 S1a2 S1a3 . . .

стабилизируется начиная с n = im. 2

Определение 5.2.2. Будем говорить, что полугруппа S обладает усло-

вием ML(MR) обрыва возрастающей цепи главных левых (правых) идеалов,

если не существует бесконечных возрастающих цепей строгих включений главных левых идеалов

S1a1 S1a2 S1a3 . . .

или правых идеалов

a1S1 a2S1 a3S1 . . .

соответственно.

Определение 5.2.3. Полугруппа называется периодической полугруп-

пой, если каждый её элемент имеет конечный порядок.

Пример 5.2.1. Каждая периодическая, конечная полугруппа, очевидно, обладает условиями обрыва цепи идеалов ML, MR, ML, MR.

42

Пример 5.2.2. В бициклической полугруппе B = N0 N0 множество Im = f(x, y)jx m, y 2N0g (mI = f(x, y)jy m, x 2N0g ) является правосторонним (левосторонним) идеалом (см. пример 3.2.1), причём

Im In $ m n

или выполнены строгие неравенства

Im In $ m > n.

Тогда, если предположить, что существует бесконечная строго возрастающая цепь правосторонних идеалов

In1 In2 In3 . . .,

получаем убывающую последовательность натуральных чисел

n1 > n2 > n3 > . . .,

которая не может быть бесконечной. Это позволяет сказать, что для бициклической полугруппы B выполняются условия обрыва возрастающих цепей правых (аналогично левых) идеалов MR, ML.

Однако следующие примеры убывающих бесконечных цепей односторонних идеалов

I0 I1 I2 . . .

и

0I 1I 2I . . .

показывают, что для бициклической полугруппы B условия обрыва убывающих цепей правых (левых) идеалов MR, ML не выполняются.

Пример 5.2.3. Для матричной полугруппы Риса M 0 = M 0(G, I, Λ, P) условия обрыва убывающих и возрастающих цепей правых и левых идеалов MR, ML, MR, ML выполняются. Дело в том, что в этой полугруппе длины цепей строгих включений односторонних идеалов не может быть более 2. Действительно, если предположить, что αM 0 βM 0, то может

быть α = 0 или α =6 0, последнее влечёт β =6 0. Тогда α = (i, g, λ), β = = ( j, h, µ). Так как α 2 αM 0 βM 0, то найдётся γ = (l, k, ν), что α = βγ.

Последнее запишется как

(i, g, λ) = ( j, h, µ)(l, k, ν) = ( j, hplµk, ν),

43

что даёт i = j и, следовательно, (α, β) 2R , т. е. совпадение правых идеалов

αM 0 = βM 0.

В итоге имеем 0M 0 βM 0 для всех β =6 0, а если α =6 0 и αM 0 βM 0, то αM 0 = βM 0, т. е. для матричной полугруппы Риса M 0 = M 0(G, I, Λ, P) выполняются условия обрыва строго убывающих и строго возрастающих цепей правых (аналогично левых) идеалов MR, ML, MR, ML .

Доказательство. Так как D J , то следует доказать обратное включение. Пусть (a, b) 2J . Тогда найдутся такие x, y, u, v 2S1, что

b = xay, a = ubv.

Получаем

b = xay = xubvy = xuxayvy = xuxubvyvy = . . . = (xu)nb(vy)n

для любого n 2 N. По предположению теоремы для некоторого n 2 N имеем ((xu)n, (xu)n+1) 2 L. Следовательно, b = (xu)nb(vy)n и (xu)n+1b(vy)n L-эквивалентны. Учитывая, что (xu)n+1b(vy)n = xub, получаем (b, xub) 2 2 L или

S1b = S1bxu S1ub S1b,

что даёт (b, ub) 2 L. Аналогично показывается (b, bv) 2 R , что влечёт

(ub, ubv) = (ub, a) 2 R . Получаем

(a, ub) 2R и (ub, b) 2R ,

т. е. (a, b) 2 D. В итоге D = J . 2

Теорема 5.2.3. Если в полугруппе S выполняются условия обрыва убывающих цепей ML, MR, тогда для любого a 2S найдутся такие m, n 2N, что (am, am+1) 2L и (an, an+1) 2R и, следовательно, выполняется D = J .

Доказательство. В любой полугруппе S можно указать цепочки включений односторонних идеалов, порождённых степенями произвольного элемента a 2 S :

S1a S1a2 S1a3 . . .,

aS1 a2S1 a3S1 . . .,

44

так как S1 S1a и S1 aS1. Если для этой полугруппы выполняются условия обрыва цепей ML, MR, то по лемме 5.2.1 эти цепи стабилизируются и найдутся такие m, n 2 N, что (am, am+1) 2 L и (an, an+1) 2 R . Учитывая теорему 5.2.2, это влечёт совпадение эквивалентностей D и J . 2

Лемма 5.2.4. Пусть для каждого a 2S существуют такие m, n 2N, что (am, am+1) 2 L и (an, an+1) 2 R , тогда выполняются «прямоугольные свойства»:

(ab, a) 2D $ (ab, a) 2J $ (ab, a) 2R ,

(ab, b) 2D $ (ab, b) 2J $ (ab, b) 2L.

Доказательство. Если (ab, a) 2 J , то

a = xaby = xxabyby = . . . = xna(by)n

для любого n 2N и некоторых x, y 2S1. Пусть ((by)n, (by)n+1) 2R для некоторого n 2N, тогда, используя то, что R есть левая конгруэнция, получаем (xna(by)n, xna(by)n+1) 2R . Так как (xna(by)n+1) = aby, то из равенства a = = xna(by)n получаем

(a, aby) 2R .

Тогда

aS1 = abyS1 abS1 aS1,

что в итоге даёт

aS1 = abS1.

Получили (ab, a) 2 R . Так как R J , то

(ab, a) 2J $ (ab, a) 2R ,

а учитывая теорему 5.2.2, получаем

(ab, a) 2D $ (ab, a) 2J $ (ab, a) 2R .

Второе «прямоугольное свойство» доказывается аналогично. 2

45

5.3. Представление вполне 0-простых полугрупп

Определение 5.3.1. 0-простая полугруппа S называется вполне 0-простой полугруппой, если для неё выполняются условия обрыва убывающих цепей ML, MR.

Лемма 5.3.1. Пусть полугруппа S является полугруппой с нулём 0

иS2 =6 f0g, тогда следующие условия эквивалентны:

1)полугруппа S является 0-простой;

2)SaS = S для всех a 2Snf0g;

3)S1aS1 = S для всех a 2Snf0g;

4) эквивалентность J разбивает полугруппу S на два класса – f0g

и Snf0g.

Доказательство. Эквивалентности 1 $ 3 $ 4 выполняются по определению 0-простой полугруппы 3.2.2 и эквивалентности J .

Так как

S = SaS S1aS1 S

для любого a 2Snf0g, то получаем S1aS1 = S, т. е. из 2 следует 3. Теперь покажем, что из 1 следует 2.

Заметим, что S2 есть идеал полугруппы. Так как по условию S2 =6 f0g, то в силу 0-простоты полугруппы получаем S2 = S. Отсюда

S3 = SS2 = S2 = S =6 f0g.

Рассмотрим множество I = fx 2SjSxS = f0gg. Очевидно, что 0 2I, поэтому оно не пусто. Если x 2 I и s,t 2 S, то

f0g SsxtS SxS = f0g.

Это означает, что sxt 2 I для всех x 2 I и s,t 2 S, т. е. множество I есть идеал. Если I = S, то

S3 = SIS = SxS = f0g,

x2I

что приводит к противоречию. Следовательно, I =6 S, тогда I = f0g. Получаем, что если SaS идеал, то SaS = S и a 2/ I, т. е. a 2Snf0g. 2

Определение 5.3.1. 0-простая полугруппа S называется вполне 0-простой полугруппой, если для неё выполняются условия обрыва убывающих цепей ML, MR.

46

Лемма 5.3.2. Пусть полугруппа S является вполне 0-простой. Тогда она содержит хоть один ненулевой идемпотент.

Доказательство. Из условий ML, MR по теореме 5.2.3 следует существование таких m, n 2 N, что (am, am+1) 2 L и (an, an+1) 2 R для любого a 2Snf0g. Из того, что эквивалентности L и R являются соответственно правыми и левыми конгруэнтностями, получаем (am, a2m) 2L и (an, a2n) 2 2R . Выбирая показатель степени s = max(n, m) и опять используя то, что эквивалентности L и R являются соответственно правыми и левыми конгруэнтностями, получаем

(as, a2s) 2L, (as, a2s) 2R ,

т. е. (as, a2s) 2H . Тогда класс Ha является подгруппой по теореме 3.6.5 и, следовательно, содержит идемпотент e. Так как для 0-простой полугруппы

H0 = f0g, то e =6 0. 2

Теорема 5.3.3.2 Полугруппа с нулём S является вполне 0-простой тогда и только тогда, когда она изоморфна некоторой матричной полугруппе Риса над группой.

Доказательство. Очевидно, что из изоморфизма S ' M 0(G, I, Λ, P) следует полная 0-простота полугруппы S (см. теорему 5.1.1 и пример

5.2.3).

Докажем обратное.

Пусть fRi, i 2 Ig и fLλ, λ 2 Λg множества всех R - и L-классов соответственно, содержащихся в D. Здесь I и Λ множества индексов строк и столбцов для ненулевых R - и L-подклассов на egg-box-картинке класса D, на которой пусть R -классы образуют строчки, а L-классы – столбцы. Для удобства будем считать, что множества индексов I и Λ содержат некий общий символ 1.

2Эта теорема о представлении вполне 0-простых полугрупп была доказана Рисом

(1941 г.).

47

так как идемпотент является односторонней единицей в своем R - или L- классе. Это позволяет рассмотреть соответствующие биекции

ρqλ : G = H11 ! H1λ и λri : H1λ ! Hiλ,

существование которых утверждает лемма 4.2.1 Грина. Тогда композиция биекций

λri ρqλ : G ! Hiλ

является также биекцией и

λri ρqλ (a) = riaqλ

для любого a2G и любых индексов i, λ, причём каждый элемент класса Hiλ имеет единственное представление в виде riaqλ. Это позволяет построить биективное отображение

Θ : (I G Λ) [f0g ! S

по следующему правилу: Θ(0) = 0, Θ(i, a, λ) = riaqλ.

Положим piλ = qλri. Если piλ =6 0, то элементы qλri, qλ и ri являются D-эквивалентными. Тогда по прямоугольному свойству (лемма 5.2.4) имеем

(qλri, qλ) 2R ; (qλri, ri) 2L.

Вместе с этим ранее отмечалось, что

(qλ, e) 2R ; (ri, e) 2L.

Таким образом,

(qλri, e) 2R \L = H ,

т. е. qλri 2 He = G. Следовательно, матрица P = (piλ) является I Λ- матрицей с элементами из G [ f0g.

Так как по лемме 5.3.1 выполняется SriS = S, то uriv =6 0 для некоторых u, v2S. Представим элемент u в виде u = rkbqµ. Тогда 0 =6 uriv = rkbqµriv и,

следовательно, qµri =6 0. Последнее означает, что в каждой i-строчке матрицы P можно найти по крайней мере один ненулевой элемент. Аналогично показывается, что в каждом λ-столбце матрицы P можно найти по крайней мере один ненулевой элемент. Тогда можно построить полугруппу Риса M 0 = (I G Λ) [f0g с сэндвич-матрицей P над группой G.

48

6. РЕГУЛЯРНЫЕ ПОЛУГРУППЫ

6.1. Регулярность и идемпотенты

Как было установлено ранее (см. определение 5.1.2), элемент полугруппы a 2 S называется регулярным, если существует такой элемент x 2 2 S, что

axa = a.

Если каждый элемент полугруппы S регулярен, то полугруппа называется регулярной.

Определение 6.1.1. Элемент полугруппы a` 2S называется инверсным для элемента a 2 S, если

aaa` = a, aa` a` = a`.

Для регулярного элемента a полугруппы S всегда можно найти по крайней мере один инверсный к нему элемент1. Действительно, если для некоторого регулярного a выполняется axa = a, то элемент a` = xax будет инверсным для a :

aaa` = a(xax)a = axa = a,

aa` a` = (xax)a(xax) = x(axa)xax = x(axa)x = xax = a`.

Кроме того, как показывает следующий пример, инверсных элементов для регулярного элемента может быть несколько.

1Это утверждение было доказано Габриэлем Тьеррином (G. Thierrin) в 1952 г. В 1955 г.

Тьеррином было введено понятие E-инверсивной полугруппы (или E-плотной полугруппы),

в которой каждый элемент a имеет по меньшей мере одну слабую обратную x, а это означает, что xax = x. Как следует из названия, понятие «слабого обратного» слабее, чем понятие «обратного», используемое в регулярной полугруппе, которое требует, чтобы axa = a. Название прежде всего связано с обозначением множества идемпотентов через E(S). Кроме того, определение E-инверсивной полугруппы S эквивалентно любому из следующих двух предложений, что объясняет название понятия «E-инверсивная (E-плотная) полугруппа»:

`

1) для каждого элемента a` 2S существует другой элемент b2S, такой, что ab является идемпотентом;

2) для каждого элемента a` 2 S существует другой элемент c` 2 S, такой, что ca – идемпотент.

50