Введение в теорию полугрупп. Учебное пособие для магистров и аспирантов физико-математического факультета

о совпадении вторичных идемпотентов, порожденных данным элементом и соответствующих разным стабильным порядкам. Получили, что так как каждый элемент, сравнимый с каким-то другим элементом порядком #, по определению порядка # порождает вторичный идемпотент относительно порядка , то и каждый элемент, сравнимый порядком M, также порождает вторичный идемпотент относительно того же порядка M. □

8.2. Инверсные полугруппы и их идемпотенты

Теорема 8.2.1. Пусть S – частично упорядоченная регулярная полугруппа с единицей, элементы которой a и b инверсны. Тогда существование вторичного R-идемпотента максимального типа aR (или минимального типа aR) для элемента a 2S равносильно существованию R-вторичного идемпотента соответствующего типа для ab, причём aR = (ab)R (или aR = (ab)R).

Аналогично существует L-вторичный идемпотент максимального типа aL (или минимального типа aL) для элемента a 2 X тогда и только тогда,

когда существует вторичный L-идемпотент соответствующего типа для ba, причём aL = (ba)L (или aL = (ba)L).

Доказательство. Так как система уравнений ax = ab, aby = a в регулярной полугруппе имеет решение, то a и ab порождают один и тот же главный правый идеал. Аналогично a и ba порождают один и тот же главный левый идеал. Тогда утверждение теоремы 8.1.1 сразу следует из теорем 7.3.2 и 7.3.3. □

Пусть теперь S является инверсной полугруппой с единицей, т. е. такой регулярной полугруппой, для каждого элемента a которой существует ровно один инверсный элемент a 1.

Определение 8.2.1. Следующее бинарное отношение W на инверсной полугруппе S, определяемое как

a W b , ab 1 = aa 1,

является частичным стабильным порядком, который называют естествен-

ным порядком инверсной полугруппы, или порядком Вагнера2.

2Это определение является одновременно утверждением, доказательство которого можно найти в ([12], §7.1). То, что на любой инверсной полугруппе S можно задать стабильный частичный порядок W , было впервые показано Виктором Владимировичем Вагнером (4.09.1908 – 15.08.1981) в 1952 г. [1]. Обсуждая частичные порядки, порождённые полугрупповой операцией, Митч писал [9], что только спустя 30 лет естественный порядок Вагнера был распространён Хартвигом [13] и Намбурипадом [11] на некоторый класс регулярных полугрупп. Однако даже для регулярных полугрупп такие порядки не всегда являются стабильными. Последовала большая серия работ, посвященных различным способам задания

71

Следующие две теоремы указывают на то, что в любой инверсной полугруппе S множества решений уравнений ax = a и xa = a, где a 2S, обладают наименьшими решениями, а наибольшим решением относительно естественного частичного порядка W является единица 1.

Теорема 8.2.2. Пусть S – инверсная полугруппа с единицей 1 и естественным порядком W . Тогда для любого элемента a существуют вторичные идемпотенты минимального типа, которыми являются aR = aa 1 и aL = a 1a, и не существуют вторичные идемпотенты максимального типа кроме 1.

Доказательство. Так как для любого идемпотента e 2 E(S) справедливо равенство e = e 1, то выполняется неравенство e W 1, т. е. любой идемпотент в инверсной полугруппе с естественным частичным порядком является вторичным минимального типа. Тогда из теорем 8.2.1 и 7.1.2 получаем

aR = (aa 1)R = aa 1,

так как aa 1 – вторичный идемпотент. Аналогично

aL = (a 1a)L = a 1a.

□

Следующее утверждение является следствием теоремы 8.2.2 и теоре-

мы 8.1.6.

Теорема 8.2.3. Пусть S – инверсная полугруппа с единицей 1 и какимто частичным стабильным порядком , не обязательно являющимся порядком Вагнера, относительно которого все идемпотенты не превосходят единицы, т. е. E# = E(S). Тогда для любого элемента a существуют вторичные идемпотенты минимального типа, которыми являются aR = aa 1 и aL = a 1a, и не существуют вторичные идемпотенты максимального типа кроме 1.

Следующая теорема усиливает утверждение теоремы 7.3.2.

Теорема 8.2.4. Пусть S – инверсная полугруппа с единицей 1, естественным частичным порядком W . Тогда для любых a, b 2S выполняются следующие эквивалентности:

aa 1 = bb 1 , aR = bR , (a, b) 2R , a 1a = b 1b , aL = bL , (a, b) 2L.

таких частичных порядков, эквивалентность которых была показана Митчем [9], что привело к появлению более универсального способа задания частичного порядка на полугруппе, вошедшего в литературу как «порядок Митча».

72