Введение в теорию солитонов

Рис. 9. Связанное состояние кинк-антикинк и бризер в различные моменты времени

что отвечает формуле (15.10) для антикинка.

Тем самым двойные солитоны уравнения синус-Гордон можно рассматривать как связанные состояния одиночных солитонов – кинка и антикинка (рис. 16.2). Топологический заряд этого связанного состояния равен,очевидно, нулю, поскольку в формуле (16.3) u → 0 при x → ±∞.

Несколько более экзотично выглядит другое связанное состояние кинка и антикинка, которе получается в случае выбора в формуле (16.3)

который приводит к решению

Это решение называется бризером или пульсирующим солитоном (от английского слова «breath» – дышать). Его вид представлен на рис. 16.2 b.

Повторяя вышеприведенные рассуждения, легко убедиться, что бризер также представляет собой связанное состояние двух одиночных солитонов. Выбор параметров λ и δ обеспечивает периодическое изменение профиля этого решения. Проще всего понять эту периодичность в переменных ξ =

Ясно, что при фиксированном ξ это периодическая фкнкция от τ. С другой стороны, при фиксированном τ она представляет собой неподвижный двойной солитон, изображенный на рис. 16.2 а.

1.3. Взаимодействия солитонов

Как отмечалось в Лекции 13, уравнение синус-Гордон имеет две эвивалентные формы. Одна из них, связанная с (15.2) заменой ξ = t+x, τ = t−x

более удобна для изучения движения и взаимодействия солитонов. В самом деле, кинк и антикинк (15.10) в координатах ξ, τ выглядят так:

Здесь величину v естественно интерпретировать как скорость солитона, а ξ0 – как его фазовый сдвиг.

Общее двухсолитонное решение (16.3) в переменных ξ, τ переписыва-

ей 4) показывает, что (16.7) описывает при τ → ±∞ пару невзаимодействующих солитонов, движущихся со скоростями v1 и v2. Действительно, полагая, например, v2 > v1, рассмотрим асимптотику (16.7) на прямой ξ = = v1τ + ξ при τ → −∞ как функцию ξ :

Рассматривая, далее, асимптотику (16.7) на той же прямой при τ → +∞, находим, используя формулу tg φ = tg−1 (π/2 − φ):

Тем самым это снова солитон (16.6) с тем же топологическим зарядом, что и на −∞ по τ; его координата есть

Отсюда видно, что подобно солитонам в уравнении КдФ (см. Лекцию 4), при столкновении со вторым солитоном первый испытывает сдвиг на величину

Совершенно аналогично для второго (быстрого) солитона

Мы видим, что быстрый солитон дополнительно сдвигается вперед, а медленный – назад. При этом рассеяние солитонов совершенно не зависит от их зарядов. Это подтверждает концепцию солитонов как квазичастиц, поскольку здесь, так же как в уравнении КдФ, для них выполняются законы сохранения суммарной массы, импульса и энергии. Можно показать, анализируя формулу для N -солитонного решения, что при многосолитонном рассеянии полный сдвиг каждого солитона равен сумме сдвигов при столкновении со всеми остальными по отдельности, то есть многочастичные эффекты отсутствуют.

Литература

[1]J. Scott Rassell. Report on Waves // In Rep. 14th Meeting of the British Assoc. for the Adv. of Sci. – London, John Murrey, 1844.

[2]Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys.Rev. Lett. 1967, V.19, P. 1095–1097.

[3]Теория солитонов / Под ред. С. П. Новикова – M.: Наука, 1980.

[4]Ньюэлл А. Солитоны в физике и математике. – M.: Мир, 1987.

[5]Фаддеев Л.Д., Тахтаджян Л.А. Гамильтонов подход к теории солитонов. – М.: Наука, 1986.

[6]Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Л. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. – M.: Мир, 1988.

[7]Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. – М.: Мир, 1987.

[8]Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. – М.: Наука, 1979.

[9]Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure and Appl. Math. 1968, V. 7, P. 159–193.

[10]Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965, V. 15, P. 240– 243.

[11]Белинский В.А., Захаров В.Е. Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений // ЖЭТФ, 1978, Т. 75, Вып. 6, С. 1953–1971.

[12]Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерная автомодуляция волн в нелинейных средах // ЖЭТФ, 1971, Т. 74, С. 118–134.

[13]Hirota R. Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons // Phys.Rev.Lett. 1971. V. 27. P. 1192–1194.

[14]Skyrme T. A nonlinear theory of strong interactions // Proc. Royal Soc. London 1958, V. A247. P. 260–278.

Виктор Юрьевич Новокшенов

Введение в теорию солитонов

Редактор З. Г. Кошаева Дизайнер М. В. Ботя

Технический редактор А. В. Широбоков Корректор М. А. Ложкина

Подписано в печать 14.01.19. Формат 60 × 841/16 . Печать офсетная. Усл. печ. л. 5,58. Уч. изд. л. 5,64.

Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Тираж 1000 экз. Заказ №45.

АНО «Институт компьютерных исследований», 426034, г. Ижевск, Университетская, 1.

Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.