Введение в теорию солитонов

2. Прямые методы интегрирования солитонных уравнений. Метод Хироты21

на частицеподобные свойства, чем на форму, то есть на характер взаимодействия и сохраняющиеся при этом величины типа массы, суммарного импульса и энергии.

2. Прямые методы интегрирования солитонных уравнений. Метод Хироты

Пусть u(x, t) удовлетворяет уравнению КдФ

и будем искать его решение в следующей форме:

Выразим производные, входящие в уравнение КдФ, через функцию f (x, t)

Это уравнение носит название билинейного уравнения Хироты в честь японского физика R. Hirota, предложившего его в 1971 году в работе [13]. Казалось бы, уравнение (3.4) ничем не проще исходного уравнения КдФ. Однако оно имеет билинейную структуру, то есть каждое слагаемое содержит два множителя вида f или ее производной. Будем искать решение в виде ряда теории возмущений по некоторому малому параметру ε:

Тогда билинейное уравнение Хироты распадется на серию линейных урав-

Оказывается, что структура правых частей этой системы такова, что ряд (3.5) допускает обрыв на любом номере N , то есть, полагая f (N +1) ≡ 0, мы получим, что все последующие уравнения с номерами N + 2, N + 3, . . .

допускают тождественно нулевое решение:

f (N +2) = f (N +3) = . . . ≡ 0.

В этом нетрудно убедиться, глядя на первые два уравнения при N = 2, а для всех остальных N следует применить метод математической индукции.

Из этого наблюдения следует вывод о том, что параметр ε можно выбирать произвольным (а не обязательно малым), если мы хотим оборвать ряд на конечном номере N . Выберем в этом случае ε = 1 и будем последовательно решать линейные уравнения для f (i), считая, что f (N +1) ≡ 0.

Первое уравнение в силу линейности допускает решение в виде суммы простых волн

N

f (1) = eθi ,

i=1

где

θi = ai(x − ai2t) + δi.

Лекция 4

Полагая N = 1, имеем из системы (3.6)

f (1) = eθ1 , f = 1 + eθ1 ,

откуда, возвращаясь к u посредством замены (3.3), получим формулу для одиночного солитона

Для N = 2 можно взять

f (1) = eθ1 + eθ2 ,

тогда для f (1) нужно решить линейное уравнение с правой частью

fxt(2) + fxxxx(2) = 3a1a2(a1 − a2)2eθ1+θ2 .

Решение находится в виде

f (2) = A · eθ1+θ2 ,

где константа A должна удовлетворять соотношению

A((a1 + a2)(−a13 − a23) + (a1 + a2)4)eθ1+θ2 = 3a1a2(a1 − a2)2eθ1+θ2 ,

то есть

откуда получается двухсолитонное решение уравнения КдФ

Продолжая указанным образом, легко найти все остальные f (i), i = 3, 4, . . . , N . Соответствующее решение u уравнения КдФ, отвечающее сумме N членов ряда (3.5), называется N -солитонным решением.

Покажем в случае N = 2, что формула (4.2) действительно описывает процесс взаимодействия двух одиночных солитонов. Предположим для определенности, что a1 > a2 > 0, и проследим за эволюцией первого солитона, то есть будем считать, что x и t связаны соотношением θ1 0, или x a1t + δ1/a1. В пределе |t| 1 имеем

Таким образом, eθ2 → 0, если t → −∞, и тогда формула (4.2) дает

Аналогично, на прямой в плоскости (x, t), где θ2 0, будет наблюдаться второй одиночный солитон с амплитудой a22. Рассмотрим теперь конечное состояние после взаимодействия, полагая t → +∞. Находясь по-прежнему в окрестности траектории первого солитона θ1 0, имеем θ2 → +∞, так что

где 1 = − ln A.

Рис. 4. Сдвиги фаз при взаимодействии двух солитонов

Мы видим, что первый солитон претерпел фазовый сдвиг

Проводя аналогичные рассуждения относительно второго солитона, найдем, что его фазовый сдвиг равен

С физической точки зрения картина взаимодействия напоминает столкновение тяжелых упругих шаров. Первый солитон большей амплитуды движется с большей скоростью v1 = a21 > v2 = a22 и догоняет второй солитон, взаимодействует с ним и обгоняет, получив сдвиг (4.3) вперед, поскольку δx1 < 0. Аналогично, второй солитон после взаимодействия сдвигается назад на величину (4.4), как это изображено на рисунке. Заметим, что амплитуду солитона можно трактовать как его массу, поскольку из гидродинамической интерпретации уравнения КдФ (см. Лекцию 1) следует, что u(x, t) есть высота волны в точке x, так что суммарное количество жидкости под волной равно

Из формул (4.3) и (4.4) следует, что

a1δx1 + a2δx2 = m1δx1 + m2δx2 = 0,

что можно трактовать как сохранение центра масс в системе двух солитонов или о сохранении их суммарного импульса.

В самом деле, из классической механики известно, что неизменность по времени центра масс в системе взаимодействующих частиц следует из закона сохранения импульса. Последний всегда имеет место в консервативной системе N частиц, то есть в системе, не испытывающей действия внешних сил:

m1v1 + m1v1 + . . . + mN vN = 0.

Интегрируя по t от −∞ до +∞ и считая, что скорости vi = dxi/dt и координаты частиц xi(t) ограничены, получим закон сохранения центра

Можно показать, что равенство (4.5) имеет место и для N взаимодействующих солитонов. Этот факт подтверждает трактовку солитонов как упругих частиц.

Ниже (см. Лекцию 12) будет выведен закон сохранения импульса для решений уравнения КдФ ut − 6uux + uxxx = 0, более того, будет показано, что его решения подчиняются бесконечному набору законов сохранения, часть из которых имеет четкий физический смысл.

Лекция 5

1. Преобразование Беклунда

Кроме рассмотренного выше метода Хироты для построения явных решений солитонных уравнений, имеется еще один прямой метод, связанный со специальными нелинейными преобразованиями, отображающими класс решений исходного уравнения в себя. Эти преобразования, как правило, содержат дополнительные произвольные постоянные, так что на каждом шаге получаются существенно новые решения. При этом можно начинать с какого-нибудь тривиального, например, нулевого решения и получить за

Nшагов N -солитонное решение.

Вкачестве примера рассмотрим уравнение Кортевега–де Фриза

где λ – некоторая произвольная постоянная. Подставляя (5.2) в уравнение (5.1), получим

=∂x∂ + 2v (vx(v2 + λ)) + 6vxvxx,

откуда для v получается модифицированное уравнение КдФ

Заметим, что если v – решение уравнения (5.3), то (−v) – тоже его решение. Следовательно, функция

u1 = −vx + v2 + λ

будет удовлетворять уравнению КдФ (5.1). При этом u1, вообще говоря, не совпадет с исходным решением u.

Для того чтобы исключить промежуточную функцию v из преобразо-

Формулы (5.5) носят название преобразований Беклунда.

Для иллюстрации применения этих преобразований положим

u = w = 0

и вычислим u1. Система (5.5) преобразуется к виду

или fxx + λf = 0.

Его общее решение имеет вид

f = ea(x+c) + e−a(x+c), λ = −a2, c = c(t).

откуда

ct + 4a2 = 0, c(t) = −4a2t + δ.

Тем самым окончательно получается односолитонное решение

u1 = 2w1x = − 2a2 . ch2(a(x − 4a2 + δ))

Заметим, что в процессе интегрирования мы получили здесь две произвольных постоянных λ = −a2 и δ. Ясно, что эти константы возникнут после применения преобразования Беклунда к произвольному (а не только к нулевому, как выше) решению. Можно показать, что последовательное применение указанной процедуры к вновь полученному решению

0 → u1 → u2 → . . . → un → . . .

даст на N -м шаге N -солитонное решение, содержащее 2N произвольных постоянных.

Преобразования Беклунда имеют место для всех солитонных уравнений. Проиллюстрируем их применение на примере цепочки Тоды