Введение в теорию солитонов

Уравнение Ψt = AΨ для первого столбца при x → +∞ переписывается в виде

Таким образом, эволюция от t данных рассеяния очень проста и составляет содержание первого из свойств данных рассеяния, формулируемых ниже.

2. Свойства данных рассеяния

a(λ, t) = a(λ, 0),

1.b(λ, t) = b(λ, 0)e−8itλ3 .

Следующие свойства описывают зависимость данных рассеяния от λ. Будем опускать аргумент t, если это не вызывает недоразумений.

2. |a(λ)|2 − |b(λ)|2 = 1, λ R.

Доказательство следует из закона сохранения вронскиана W = const, где W (Φ1, Φ2) = Φ1Φ2 − Φ1Φ2, а Φ1 и Φ2 - два произвольных решения уравнения Шредингера.

В самом деле, из вещественности λ2 + u следует, что Φ также является решением уравнения (7.6), а в силу нормировки (6.5)

3. a(λ) = −21iλ W (Φ, Θ), где Φ и Θ – два решения уравнения (7.6), заданные условиями

Доказательство следует из вычислений вронскиана решений Φ и Θ

W (Φ, Θ)|x→+∞ = (−iλae−iλx+iλbeiλx)eiλx−

−(ae−iλx+beiλx)iλeiλx = W (Φ, Θ)|x→−∞ = −2iλa.

4.Функция a(λ) аналитична при Im λ > 0, причем a(λ) → 1 при λ → ∞. Аналогично, a(λ) – аналитическая функция при Im λ < 0, и a(λ) → 1,

λ → ∞.

Доказательство: Покажем, что Φ и Θ – аналитические в полуплоскости Im (λ) > 0. Функция Φ удовлетворяет следующему интегральному уравнению:

−∞

Оно получается из нормировки (7.4) и функции Грина G для уравнения Шредингера (7.6), где G(λ, x, ξ) = sin λ(x −ξ)/λ при ξ < x и G(λ, x, ξ) = 0 при ξ > x. Впрочем, уравнение (7.7) можно проверить и непосредственно, что удобно сделать для функции

Подставляя (7.8) в уравнение (7.7), получим эквивалентное интегральное уравнение

−∞

С другой стороны, подставляя (7.8) в уравнение Шредингера (7.6), получим

Продифференцируем теперь обе части интегрального уравнения (7.9)

x

χx = − e2iλ(x−ξ)u(ξ)χ dξ, χxx = −u(x)χ(λ, x) −

−∞ x

−2iλ e2iλ(x−ξ)u(ξ)χ(λ, ξ)dξ = −u(x)χ+2iλχx,

−∞

так что выполнено дифференциальное уравнение (7.10) для функции χ(λ, x) и формула (7.7) доказана.

Выберем Im λ > 0. Тогда в интегральном уравнении (7.11) ядро аналитично и ограничено по λ, поскольку

Тогда его решение χ(λ, x) – суть аналитическая и ограниченная во всей верхней полуплоскости функция по λ. Отметим, что существование и единственность этого решения следует из того факта, что уравнение (7.11) является уравнением Вольтерра, причем абсолютная сходимость интеграла на бесконечности обеспечена оценками (7.3), (7.11) и условием χ(x, λ) = = 1 + o(1) при x → −∞.

Аналогично, докажем аналитичность в верхней полуплоскости второй функции Θ(λ, x), входящей во вронскиан в свойстве 3:

Θ(λ, x) → eiλx, λ → +∞.

Повторяя вышеприведенные рассуждения, легко получить интегральное уравнение

x

которое анализируется аналогично уравнению (7.11). Детали этого доказательства оставляем читателю в качестве упражнения.

Поскольку функции Φ и Θ аналитичны по λ в верхней полуплоскости, то таковым же будет и их вронскиан W , а значит, и функция a(λ) = = −W (Φ, Θ)/2iλ (свойство 3).

Это равенство можно принять и за определение дельта-функции, оно эквивалентно формуле (8.1).

Воспользуемся свойством (8.2) для вычисления данных рассеяния. Подставляя u(x) = δ(x) в интегральное уравнение (7.7), получим

Переходя здесь к пределу при x → 0, немедленно получаем Φ(λ, 0) = 1, откуда имеем окончательно

В заключение данного примера отметим, что данные рассеяния можно вычислить в явном виде для любого «ступенчатого» потенциала вида

условий согласования Φ и ее производной на границе соседних интервалов:

Φ(λ, xk − 0) = Φ(λ, xk + 0), Φx(λ, xk − 0) = Φx(λ, xk + 0).

В итоге полученные формулы для a и b будут представлять собой композицию экспонент с рациональными по λ коэффициентами. К сожалению, они достаточно громоздки и мы их здесь не приводим.

Лекция 9

1.Уравнение Гельфанда–Левитана–Марченко

Вэтой лекции будет выведено уравнение обратной задачи рассеяния в случае отсутствия дискретного спектра, то есть всюду в этой лекции будем предполагать, что

Наша задача – восстановить потенциал u(x) в уравнении Шредингера (7.6)

Нам понадобится также каноническое решение Θ, определенное выше уравнением Шредингера (7.6)

Выведем сначала формулу обращения для потенциала u(x) по известной функции Φ.

Поскольку интегральное уравнение (7.7) для Φ эквивалентно уравнению (7.9) для χ(λ, x) = Φ(λ, x)eiλx,

Используя аналитичность χ по λ при Im λ > 0, перейдем к пределу при λ → ∞. Воспользовавшись оценкой

| e2iλ(x−ξ) |= e−2Im λ(x−ξ) → 0, λ → ∞, x > ξ,

Приступая непосредственно к выводу уравнения обратной задачи, напишем соотношение рассеяния (9.3) несколько по-другому. Считая λ веще-

ственным, введем третье решение Θ(x, λ) уравнения Шредингера (7.6):

Тогда между тройкой функций Φ, Θ и Θ существует линейное соотношение, поскольку они являются решениями одного и того же уравнения (7.6) второго порядка. Коэффициенты этого соотношения достаточно вычислить в какой-нибудь одной точке x, так как они от x не зависят. В силу асимптотик (9.3), (9.4) и (9.7) имеем

Φ(λ, x) = a(λ)Θ(λ, x)+b(λ)Θ(λ, x) для любых x, λ R.

Разделим на a(λ) обе части этого соотношения и умножим на экспоненту exp(iλy), где y – вещественный параметр.

Проинтегрируем это соотношение по λ, вычтя из обеих частей экспоненту exp(−iλ(x − y)):

Интегралы в последней формуле определены корректно, поскольку их сходимость на бесконечности следует из оценки подынтегральных функций O λ−1 exp(iλ(x − y)) , которая, в свою очередь, обеспечена асимптотиками (9.3), (9.4), (9.7) и свойством 4.