Введение в теорию солитонов

Возьмем некоторое решение Qn(t) и рассмотрим следующие преобразования Qn → qn:

=(eqn−1−Qn − eqn−Qn+1 )eQn−qn + (−eQn+1−qn+1 + eQn−qn )eqn−Qn+1 =

=eqn−1−qn − eqn−qn+1 .

Таким образом, уравнения (5.7) задают преобразование Беклунда для цепочки Тоды. Подобно разобранному выше случаю уравнения КдФ, применим преобразование (5.7) к нулевому решению

Решая второе уравнение, получим

dtd eqn = e2qn − αeqn + 1,

или, после замены u = eqn

u˙ = u2 − αu + 1, du = (u2 − αu + 1)dt.

Разделяя переменные, получим табличный интеграл

где tn – постоянная интегрирования.

Для построения солитонного решения следует положить α 2. Удобна следующая параметризация:

α = 2chκ , β = −shκ .

eqn = chκ + βth(β(t − tn)) = ch(βt − βtn + κ ) ch(βt − βtn)

и из второго уравнения (5.8) получим уравнение для tn:

Его решение может быть найдено в виде βtn = κ (n + 1), что легко проверить:

Окончательно односолитонное решение цепочки Тоды имеет вид

α = 2ch(κ ), β = −sh(κ ), κ − некоторая константа.

Особенно симметрично выглядит преобразование Беклунда для уравнения синус-Гордон

с произвольным параметром λ.

Система (5.10) задает преобразование Беклунда для уравнения (5.9), то есть функция v = v(x, t) является решением уравнения синус-Гордон, если выполнены уравнения (5.9) и (5.10).

Для проверки этого факта продифференцируем первое уравнение по t, а второе – по x:

Вычтем первое равенство из второго и, пользуясь известной формулой из тригонометрии о синусе суммы двух углов, получим

vxt = sin v.

Так же как и выше, полагая u = 0 в системе (5.10), можно получить односолитонное решение v. Более подробно свойства солитонов уравнения (5.9) будут изучены в Лекции 13.

Отметим в заключение, что процедура построения частных решений уравнения синус-Гордон с помощью преобразования (5.10) была исторически первой для нелинейных уравнений. Скандинавский математик A. Backlund,¨ предложивший ее в 1880 году в своей работе по дифференциальной геометрии (см., например, монографию [7]), получил с ее помощью первые примеры поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны в R3. Интерпретацию уравнения синус-Гордон в этом контексте мы также отложим до Лекции 13.

на примере линеаризованного уравнения КдФ

Здесь λ – переменная в преобразовании Фурье, входит как постоянный параметр. Общее решение уравнения (6.3) имеет вид

u˜(λ, t) = C(λ)e−iλ3t,

где постоянная интегрирования C(λ) должна быть найдена из начального условия (6.2)

+∞

C(λ) = u˜(λ, 0) = eiλxu(x, 0)dx = (u0).

−∞

Таким образом, мы нашли преобразование Фурье решения задачи Коши (6.1), (6.2). Применяя обратное преобразование Фурье, получим окончательно

−∞

Изложенную процедуру интегрирования методом Фурье можно символически представить в виде следующей диаграммы:

Рассмотрим пару линейных дифференциальных уравнений

так же как и коэффициенты L = L(t, x, λ) и A = A(t, x, λ), стоящие в правых частях.

Очевидно, L и A не могут быть произвольными, поскольку они задают два независимых уравнения пары Лакса (6.6) на одну неизвестную функцию Ψ. Предполагая все компоненты Ψ, L и A гладкими, а Ψ — фундаментальным решением (det Ψ = 0), найдем условие совместности уравнений (6.6).

Дифференцируя первое уравнение по t, а второе – по x, имеем

Ψxt = LtΨ + LΨt = Ψtx = AxΨ + AΨx.

Выражая далее Ψt и Ψx из уравнений (6.6) и «сокращая» на Ψ справа,

где [A, L] – коммутатор матриц A и L, то есть [A, L] = AL − LA. Уравнение (6.7) и есть необходимое и достаточное условие совместности системы (6.6).

где λ – произвольный комплексный параметр, а u = u(x, t) – некоторая функция, не зависящая от λ.

Подставим матрицы в условие совместности (6.7), для чего вычислим соответствующие производные и коммутаторы. Имеем

Lt = i 0 ut ,

0 0

Поскольку матрицы L и A являются многочленами по λ, в равенстве (6.7) следует приравнять коэффициенты при одинаковых степенях λ.

которые выполняются тождественно по u. Последнее равенство при нулевой степени λ дает

Тем самым мы вывели уравнение КдФ из равенства (6.7). Верно и обратное утверждение, то есть если u удовлетворяет уравнению КдФ, тогда имеет место условие совместности (6.7) с матрицами A и L вида (6.8) и (6.9). Доказательство следует непосредственно из алгебраических преобразований, выполненных выше.

Лекция 7

Сейчас достаточно просто вывести уравнение (6.4) из первого уравнения пары Лакса (6.6)

Найдем из этой системы уравнение для Ψ21, для чего перепишем систему в скалярном виде для первого столбца матрицы Ψ.

Ψ11 = iλΨ11 + iuΨ21, Ψ21 = iΨ11 − iλΨ21.

Дифференцируя второе уравнение, получим

что совпадает с уравнением (6.4) при Ψ21 = Φ.

Таким образом, задача интегрирования уравнения КдФ сведена к задаче интегрирования уравнений пары Лакса (6.6), поскольку, зная решение Ψ, легко найти u из соотношений (6.6) и (6.8)

1. Прямая задача рассеяния

Обсудим свойства решений уравнения (6.4) при убывающем на бесконечности по x коэффициенте u(x, t).

Уравнение (6.4) играет существенную роль в одномерной квантовой механике, где оно описывает поведение волновой функции Φ одномерной квантовой частицы в потенциальном поле u. Поэтому принято называть

уравнением Шредингера, дифференциальный оператор d2/dx2 + u – оператором Шредингера, а его коэффициент u – потенциалом уравнения или оператора Шредингера. Константу λ принято называть спектральным параметром, поскольку она играет роль частоты свободной квантовой частицы

Φ = c1eiλx + c2e−iλx при u ≡ 0.

Будем рассматривать класс потенциалов, удовлетворяющий условиям

Условия (7.3) означают, что потенциал u достаточно быстро (быстрее, чем x−δ , δ 2) убывает при |x| → ∞. Это обстоятельство позволяет явно определить «асимптотические состояния» исходной и рассеянной волны на бесконечности

Коэффициенты a = a(λ, t) и b = b(λ, t) называются коэффициентом прохождения и коэффициентом отражения соответственно. Вместе они составляют данные рассеяния потенциала u(x, t). Вычисление данных рассеяния по заданному потенциалу согласно формулам (7.2), (7.4) и (7.5) называется

прямой задачей рассеяния.

Выясним поведение данных рассеяния по t. Поскольку u, ux, uxx → 0 при x → ±∞, для матрицы A во втором уравнении (6.6) Ψt = AΨ имеем

Тогда для первого столбца матрицы Ψ будем иметь