Введение в теорию солитонов

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ηt = 1 (Ep + Ep).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

874 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Три модели SG

зависит только от поляризации p(x, t, ω) индивидуального двухуровневого атома с частотой перехода ω и внешнего поля E(x, t) . Эта зависимость была найдена Дж. Лэмом (G. L. Lamb) в 1971 году из простых квантовомеханических соображений. Он показал, что p, η удовлетворяют уравнениям типа Блоха (F.Bloch)

pt = Eη, ηt = −12 (Ep + Ep).

При t → ∞ в силу сделанных предположений должны выполняться следующие начальные и граничные условия:

E → 0,	t → ±∞,	(14.2)
p → 0,	η → 1, t → −∞.

Уравнение синус-Гордон является частным случаем системы Максвелла– Блоха в пределе «бесконечно-узкой линии», т. е. когда P = p или, что то же самое, g(ω) = δ(ω − ω0). В самом деле, объединяя последние три уравнения, имеем

Умножая второе уравнение на p и беря комплексное сопряжение, перепишем его в виде (η – вещественно)

12 (pp + pp) = 12 (Ep + Ep)η.

Складывая его далее с третьим уравнением, интегрируя по t и учитывая граничные условия (14.2), получим закон сохранения

|p|2 + |η|2 = 1.

Это соотношение наводит на мысль о возможности параметризации решений

η = cos u, p = eiθ sin u.

(14.4)

Тогда, если при t → −∞ фаза E была постоянна θ = const, то из второго уравнения (14.3)

E = eiθ ut,

(14.5)

а из первого уравнения (14.3) имеем

uxt = sin u.

Лекция 14

В Лекции 15 будет показано, что это уравнение имеет односолитонное решение вида

u(x, t) = 4arctg e−2κ (x−x0)−(t−t0)/2κ ,

которое в оптике СИП называется «2π-импульсом»

E =	eiθ
			.
		t −κ t0
	2κ ch 2κ (x − x0) +

Нетрудно проверить, что полная энергия, необходимая для возбуждения этого импульса, должна быть не меньше

∞

|E(x, t)|dt = 2π.

−∞

Лекция 15

1. Уравнение синус-Гордон. Метод обратной задачи

Дадим очень краткий обзор формул (без вывода), позволяющих проинтегрировать уравнение синус-Гордон методом обратной задачи рассеяния.

Начнем с пары Лакса, которая здесь имеет вид

Ψx =		iλ			2x	Ψ,
				iu
			2x −iλ
			iu
Ψt = 4iλ	i sin u				−− cos u
1		cos u			i sin u

(15.1)

Ψ.

Действуя так же, как в Лекции 7, нетрудно убедиться, что условие коммутации уравнений (15.1) эквивалентно уравнению синус-Гордон на функцию u = u(x, t)

uxt = sin u.

(15.2)

Функциональный класс для потенциала u слегка отличается от случая уравнения КдФ

+∞

|ux|dx < ∞, u → πk при x → ±∞, k − целое. (15.3)

−∞

Ключевую роль в интегрировании (15.2) играет первое уравнение пары Лакса. В данном случае оно не сводится к простому скалярному уравнению второго порядка, а может быть записано в виде системы на пару скалярных функций Φ1 = Ψ21 и Φ2 = Ψ22

(Φ1)x = iλΦ1 +				2x	Φ2	,	(15.4)
			iu
	(Φ2)x = iux Φ1			iλΦ2
		−
	2	−

84				Лекция 15
с условиями рассеяния		→		e−iλx ,		x → −∞,
Φ2
	Φ1			0

Φ1	→			b(λ, t)eiλx	,	x → +∞.
Φ2			a(λ, t)e−iλx

Эти условия вытекают из вида решений системы (15.4) с нулевым потенциалом u = 0 (так же как в Лекции 7)

	(Φ1)x = iλΦ1					=		Φ1 = C1eiλx,
	(Φ )	=	−	iλΦ	2		=	Φ	2	= C e−iλx.
	2 x		−		2				2	2
	Перечислим основные свойства данных рассеяния a и b:
1.	\| a \|2 + \| b \|2 = 1, λ R.
	a(λ, t) = a(λ), b(λ, t) = b(λ)e−						it
2.	a(λ, t) = a(λ), b(λ, t) = b(λ)e−						2λ .

3.a(λ) аналитична в области Imλ 0, a(λ) аналитична в области Imλ 0.

4.Существует не более чем конечное число точек дискретного спектра

λ1, λ2, . . . , λN , лежащих в верхней полуплоскости Imλ > 0 и таких, что a(λn) = 0 при n = 1, ..., N .

5.Для каждой точки дискретного спектра выполняются соотношения

		Φ1(λj , x, t) = bj (t)Φ2(λj , x, t),
−	it
−	2λj	, bj = const.
где bj (t) = bj e		, bj = const.

Уравнение Гельфанда–Левитана–Марченко для восстановления потенциала по данным рассеяния выводится так же, как в Лекции 9, однако здесь оно превращается в систему двух интегральных уравнений. Коэффициент отражения и ядро уравнения ГЛМ имеют вид

b(λ, t) r(λ, t) = ;

a(λ)

βj = ia (λj ) ;

Метод обратной задачи для SG					85
N		it	1	+∞
j				−∞
F (z, t) =	βj e 2λj +			r(λ, t)eiλz dλ,
F (z, t) =	βj e 2λj +		2π	r(λ, t)eiλz dλ,
=1			2π
=1

а система уравнений ГЛМ выглядит так:

K1(x, y, t) +

K (x, y, t) +

+∞	(15.5)
+-∞
	K2(x, ξ, t)F (ξ + y, t)dξ = 0,
x
-	K1(x, ξ, t)		(ξ + y, t)dξ =		(x + y, t).
		F		F

Решение уравнения синус-Гордон находится по формуле обращения

u(x, t) = −2K2(x, x, t).

Подобно уравнению КдФ, N -солитонные решения здесь представляют собой безотражательные потенциалы, то есть отвечают условию b(λ, t) ≡ 0 или r(λ, t) ≡ 0 в ядре уравнения ГЛМ. В этом случае, так же как в Лекции 11, система (15.5) сводится к линейной системе алгебраических уравнений с матрицей

A(x, t) = {Akj (x, t)} ,		k, j = 1, 2, . . . , N,			(15.6)
Akj (x, t) = λk + λj		exp	iλj x − λj .
	βj			it

Тогда N -солитонное решение уравнения синус-Гордон находится по формуле

u(x, t) = −	i	ln	det(I	+ A(x, t))			(15.7)
						,
	2		det(I	−	A(x, t))	,
				−

где I – единичная N × N -матрица, а матрица A(x, t) определена формулами (15.6).

Преобразование Беклунда и солитоны

В конце Лекции 5 было получено преобразование Беклунда (5.10) для уравнения синус-Гордон

			2		−			2		(15.8)
		ux − vx		=		λ sin	u + v			,
	ut + vt			=	1 sin u			−	v
				−λ				−
			2	−λ				2
с произвольным	параметром		λ.
с произвольным			λ.

Лекция 15

Построим с его помощью одно- и двухсолитонные решения SG. Стартуем, как всегда, с нулевого решения u = 0, тогда

1		v
2 vx = λ sin		2	,	(15.9)
1 vt = 1 sin v .

2	λ	2

Обозначим ω = v/2, тогда первое уравнение запишется в виде

dω = λdx. sin ω

Интегрируя левую часть, получим

dω	=	sin ωdω =	−	d(cos ω)	=	−	ln	1	− cos ω	,
sin ω				1 − cos2 ω				1
		sin2 ω							+ cos ω

так что общее решение первого уравнения (15.9) найдется в виде

1 − cos ω = e−λ(x−c), 1 + cos ω

где c – константа интегрирования. Воспользовавшись известной формулой из

=1 − cos ω , явно выразим v через x

1 + cos ω

	ω	= e	−	λ	(x−c)	v	= arctg e	−
tg				2
	2					4

тригонометрии tg2 ω2 =

2 (x−c).

Здесь константа интегрирования c должна зависеть от t, так, чтобы удовлетворялось второе уравнение (15.9). Его нетрудно решить, проделав те же выкладки, поскольку по виду оно не отличается от первого уравнения (15.9):

			v	= arctg e−					1	(t−t0).
			v	= arctg e−					2λ	(t−t0).
			4
λ			λ	1			(t−t0), получим окончательно решение
Отсюда, выбирая e 2 c(t)	= e 2 x0 e−				2λ		(t−t0), получим окончательно решение
системы (15.9)
		λ		1				(t−t0), x0, t0 = const.
v(x, t) = 4arctg e−		2	(x−x0)−								(15.10)
v(x, t) = 4arctg e−		2	(x−x0)−			2λ					(15.10)

Метод обратной задачи для SG

Здесь мы выбрали ветвь арктангенса от −π/2 до π/2. Другой выбор ветви приводит лишь к сдвигу решения v → v + 2πn, где n – целое. Уравнение синус-Гордон инвариантно относительно таких сдвигов, причем константы u = 2πn являются устойчивыми невозмущенными решениями (аналог u = 0 для уравнения КдФ).

Тем самым построено односолитонное решение уравнения синусГордон, которое, в отличие от солитонов уравнения КдФ, не стремится к нулю при x → ±∞, поскольку arctgφ → ±π/2 при φ → ±∞. В зависимости от знака вещественного параметра λ различают два случая: кинк (λ < 0) и антикинк (λ < 0). Эти названия произошли из вида графиков этих решений, изображенных на рисунке (от английского слова «kink» – изгиб, петля).

	u
2π
antikink	kink
λ > 0	λ < 0
0	x

Рис. 7. Односолитонные решения уравнения синус-Гордон

Хотя эта картина слегка противоречит рассуждениям Лекции 3 о солитонах как об уединенных волнах, быстроубывающих на бесконечности, решения (15.10) с полным правом можно называть солитонным, поскольку в них локализована область перехода из одного невозмущенного состояния u = 0 в другое u = 2π. В самом деле, производная (15.10) имеет чисто солитонный вид

vx(x, t) = − λ . ch λ2 (x − x0) + 21λ (t − t0)

Другим отличием от уравнения КдФ является нетривиальный закон сохранения

Q =	1	+∞	(15.11)
		uxdx,
	2π

−∞

принимающий целочисленные значения. Действительно, поскольку согласно предположению (15.3) кратные 2π значения являются устойчивыми со-

88		Лекция 15
стояниями решения, интеграл (15.11) равен
Q =	1	(u(+∞, t) − u(−∞, t)) = n − m, n, m − целые.
	2π

Этот закон сохранения называется топологическим зарядом решения u(x, t). Нетрудно подсчитать, что топологические заряды кинка и антикинка

равны соответственно Qkink = 1 и Qantikink = −1. Ниже мы увидим, что при взаимодействии эти солитоны ведут себя как частица и античастица,

давая в итоге состояние с нулевым топологическим зарядом. Этим можно объяснить термин «заряд» для закона сохранения (15.11) и приставку «анти-» в названии солитона.

Лекция 16

1. Уравнение синус-Гордон. Взаимодействия солитонов

1.1. Двухсолитонное решение

Воспользуемся снова преобразованием Беклунда. Пусть u = v0 = 0, а v1 и v2 – односолитонные решения (15.10) с параметрами λ1 и λ2 соответственно. Наша цель – найти решение u = v3, связанное преобразованиями Беклунда с v0, λ1 и λ2 по схеме, изображенной на рис. 16.1.

λ1

λ2

λ1

Рис. 8

Уравнения по x (15.8) для vj , j = 1, 2, 3 имеют вид

= λ1 sin

v3 − v1

= λ2 sin

+ v1

= λ2 sin

v3 − v2

= λ1 sin

+ v2

Выражая производные v1 и v2 из систем (16.1) и (16.2), имеем

v3		= λ2 sin	v3 + v1		+ λ1 sin		v1		=
2
	x	2				2

		= λ1 sin		v3 + v2		+ λ2 sin		v2		.

		2				2

(16.1)

(16.2)

90 Лекция 16

Применяя тригонометрическую формулу для разности синусов, получим из последнего равенства

λ2 sin

v3 + v1 − v2

= λ1 sin

v3 + v2 − v1

или

λ1 + λ2

v2 − v1

−

λ2 − λ1

Вспоминая явную формулу (15.10) для v1 и v2,

v1, v2 = 4arctg exp(θ1,2),

θj =

λj

x +

+ δj ,

j = 1, 2,

2λj

получим окончательно

1 + e−θ1+θ2

u(x, t) = v3 = 4arctg λ2

− λ1

(16.3)

λ1

+ λ2

eθ1

eθ2

1.2. Связанные состояния

Покажем сначала, что формула (16.3) описывает пару кинк-антикинк, если «центры ступенек» разнесены достаточно далеко друг от друга. Этот случай отвечает, например, большому значению времени t 1.

Подобно тому, как мы поступали в Лекции 4, когда изучали взаимодействие солитонов уравнения КдФ, положим λ2 > λ1 > 0 и рассмотрим сначала окрестность первого солитона

θ1 = O(1), θ2 1.

Этого можно добиться, решив относительно x первое уравнение

	λ1		t
θ1 =		x +		+ δ1 = const, t 1.
	2		2λ1

Тогда формула (16.3) превращается в формулу для кинка

					λ2	+ λ1
	u(x, t) → 4arctg −				λ2	− λ1	· e−θ1 = 4arctg −e−θ1+x0 ,
где x0	= ln	λ2	+ λ1	.
где x0	= ln	λ2		.
		λ2	− λ1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]