Введение в теорию солитонов

Поскольку мы ищем решение типа уединенной волны, ее профиль должен спадать к нулю вдали от возмущения

Оказывается, что граничные условия (1.7) удовлетворяются при нулевых константах интегрирования C = D = 0, а также при 1 − ω = −a2:

Вычисляя интеграл и выразив u через θ, получим формулу (1.2) для одиночного солитона:

Лекция 2

1. Задача Ферми–Паста–Улама

Знаменитый физик-ядерщик, лауреат Нобелевской премии по физике Энрико Ферми в середине 50-х годов отошел от дел, связанных с американским атомным проектом. Продолжая работать в ядерном центре в Лос-Аламосе, он получил доступ к первым ЭВМ, только что разработанным и установленным там для сложных физических расчетов. Совместно с двумя своими сотрудниками, Дж. Паста и С. Уламом, он занялся, как в то время казалось, совершенно изолированной проблемой – исследованием поведения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые первоначально были линейными, но в которые была привнесена нелинейность как возмущение. Если бы такого возмущения не было, то энергия каждой нормальной моды линейной системы, то есть колебаний с заданной частотой, была бы постоянной. Можно было надеяться, что нелинейные взаимодействия между модами приведут к тому, что энергия системы равномерно распределится между всеми модами – этот результат был бы в согласии с теоремой о равномерном распределении, которая предсказывает поведение нелинейных систем общего вида. Но полученные результаты противоречили этой идее.

Здесь можно поставить вопрос – какое всё это имеет отношение к уединенной волне Расселла и уравнению КдФ? Оказывается, что самое непосредственное, но, чтобы убедиться в этом, необходимо проделать некоторые выкладки. Важность задачи Ферми–Паста–Улама (ФПУ) обусловлена тем, что неожиданные результаты этой работы стимулировали исследование нелинейных систем такого типа и многие современные работы по солитонам берут свое начало именно оттуда. В связи с этим важно прояснить некоторые детали. В своей оригинальной работе ФПУ приводят результаты громоздких вычислений, которые мы не можем здесь ни привести, ни объяснить. Вместо этого мы дадим короткое резюме для того , чтобы объяснить, как эта нелинейная задача связана с уравнением КдФ.

Рассмотрим динамическую систему, состоящую из N идентичных частиц единичной массы на прямой с фиксированными конечными точками (N велико; ФПУ рассматривали N = 64). Предположим, что между ближайшими соседями действуют упругие силы, как если бы они были связаны

пружинками. Будучи отклоненной из положения равновесия, каждая частица приводит в движение соседние, так что вся система в конце концов приходит в сложное колебательное движение.

Для описания этого движения обозначим через Qn смещение из состояния равновесия n-й частицы. Тогда по второму закону Ньютона уравнение движения этой частицы можно записать

Qn = f (Qn+1 − Qn) − f (Qn − Qn−1), n = 1, 2, . . . , N. (2.1)

Здесь f (Q) – упругая сила взаимодействия между ближайшими соседями, которая включает в себя обычный линейный закон Гука для малых колебаний пружинки плюс некоторый малый нелинейный член. ФПУ рассматривали два случая:

f (Q) = γQ + αQ2,

(2.2)

f (Q) = γQ + βQ3.

Здесь γ – линейная константа цепочки, а константы α и β выбираются таким образом, чтобы максимальное смещение Q, вызываемое нелинейным членом, было мало. Если использовать нелинейности такого вида и численно решить уравнение (2.1) с начальными условиями в виде, скажем, синусоидальной волны, то обнаружится, что энергия не распределяется между всеми нормальными модами, а остается в начальной моде и нескольких ближайших.

К тому же плотность энергии в этих ближайших модах имеет почти периодический характер зависимости от времени. Рисунок взят из оригинальной статьи, написанной ФПУ, и представляет собой график зависимости энергии от времени для первых пяти мод с синусоидальными начальными данными.

После большого числа колебаний энергия каждой нормальной моды выглядит как почти периодическая функция от времени, причем энергия не перераспределяется в более высокие моды с течением времени. Строгое объяснение этой периодичности стимулировало более глубокое изучение уравнений типа (2.1). При некоторых приближениях уравнение (2.1) можно преобразовать в уравнение КдФ в континуальном пределе, то есть при переходе к непрерывному случаю.

Введем шаг решетки l и определим переменную x = nl как расстояние вдоль решетки. Для того чтобы заменить члены типа Qn непрерывными переменными, используем разложение в ряд Тейлора, полагая

Уравнение (2.5) известно в гидродинамике под названием уравнения Буссинеска. Если рассматривать это уравнение с точностью до O(l2), то оно превращается в линейное волновое уравнение и влияние нелинейности пропадает. Учет следующего приближения порядка O(l4) описывает уединенные волны, которые могут перемещаться как влево, так и вправо. Это видно из явной формулы для одиночного солитона ( на бесконечной прямой по x)

где ω2 = γa2l2 + a4l4/12, константа a произвольна.

С математической точки зрения то, что мы получили, есть сведение цепочки с квадратичной нелинейностью к нелинейному уравнению с частными производными, которое описывает нелинейные волны малой амплитуды на больших пространственных отрезках. Примененный нами асимптотический метод перехода к непрерывному пределу носит название автомодельной редукции и широко применяется в математической физике.

Поясним теперь, как солитоны уравнения Буссинеска объясняют эффект локализации Фурье-мод в нелинейной цепочке ФПУ. Волны вида (2.6), будучи бесконечно гладкими и не изменяющими своей формы при любых t , при разложении в ряд Фурье

∞

Qn(t) = ak,neiωkt

k=0

демонстрируют экспоненциально быстрое убывание коэффициентов Фурье

ak,n = O(e−ck), k 1.

Отсюда следует, что таким же свойством обладают коэффициенты Фурье для кинетической энергии |Qn(t)|2 единичной частицы, что находится в согласии с экспериментальными данными, изображенными на рисунке. При этом следует заметить, что солитоны вида (2.6) являются устойчивыми решениями, то есть мало изменяются при малом возмущении уравнения (2.5) и/или начальных условий. Этот факт будет доказан ниже для уравнения КдФ (см. Лекцию 12), хотя он справедлив для всех солитонных уравнений. Последнее означает, что выводы, сделанные относительно решения

солитонного уравнения (2.5), справедливы и для исходной цепочки (2.1), поскольку ее можно рассматривать (учитывая отброшенные члены в разложениях Тейлора для Qn+1 − Qn и Qn − Qn−1) как малое возмущение уравнения Буссинеска (2.5).

Покажем теперь, как с помощью еще одной автомодельной редукции уравнение (2.5) может быть сведено к уравнению КдФ. Для этого рассмотрим волны, распространяющиеся только в одном направлении вдоль цепочки. Используем масштабные прообразования переменных x, t и u. Сначала введем малый параметр ε и новые пространственную и временную переменные

затем разложим u по степеням параметра ε:

u = εU1 + ε2U2 + . . . .

Для того чтобы все члены с четвертой производной, производные по времени, а также нелинейные√члены были одного и того же порядка по ε, необходимо положить c = γl, s = 1/2 и q = 3/2. Полученное при этом уравнение для U1 можно проинтегрировать один раз по ξ, при этом получится уравнение КдФ

2√γ(U1)τ + 2αl3U1(U1)ξ + l3 (U1)ξξξ = 0. 12

ЗАМЕЧАНИЕ. В некоторых случаях нелинейные цепочки вида (2.1) без всяких асимптотических приближений демонстрируют солитонное поведение. Таковой является, например, так называемая цепочка Тоды

Qn = eQn+1−Qn − eQn−Qn−1 ,

названная в честь японского физика M. Toda, указавшего в 1971 году на существование в ней солитонных решений (см. [6]). В Лекции 5 мы построим односолитонное решение для бесконечной цепочки Тоды (номера n = 0, ±1, ±2, . . . играют роль дискретной пространственной переменной).

Для кубически нелинейной цепочки с функцией f (Q), определенной по второй формуле (2.2), имеем f (0) = γ, f (0) = 0 и f (0) = 6β. Теперь для

того чтобы кубически нелинейные члены и члены с четвертой производной оказались одного порядка, придется выбрать r = 0. Тогда с точностью до O(l4) получим

Проделав такие же масштабные преобразования переменных, как и в предыдущем случае, мы сможем теперь привести интересующие нас члены к

одному порядку при s = 1, q = 3 и c = l√γ. Интегрирование по ξ ведет к уравнению

у которого есть решения, распространяющиеся только вправо. В уравнении (2.9) присутствует кубическая, но не квадратичная нелинейность, и оно называется модифицированным уравнением Кортевега - де Фриза (мКдФ). Для бесконечной цепочки решение уравнения (2.9) в виде уединенной волны имеет вид

√

a3l3

где ω = 24√γ и a – произвольная постоянная.

Лекция 3

1. Солитоны как квазичастицы

До сих пор мы говорили о решениях в виде уединенных волн, которые, если пользоваться весьма расплывчатым определением, представляют собой просто волны, распространяющиеся без изменения формы и в какойто мере локализованные. Расселл особо интересовался уединенными волнами на мелкой воде, и, как отмечалось в Лекции 1, он дал название этим волнам. Однако существует много уравнений, имеющих решение в виде уединенной волны в смысле того определения, которое было дано выше. Слово «солитон» впервые встречается в работе Нормана Забуского и Мартина Крускала [10]. Крускал в течение некоторого времени интересовался задачей ФПУ и в особенности тем, почему имеет место рекуррентность. Он изучал некоторые движения нелинейной цепочки, о которых шла речь

впредыдущем разделе. Забуски и Крускал описывают численное изучение уравнения КдФ с множителем δ2 перед членом uxxx. Они выбрали δ = = 0,022, периодические граничные условия такие, что u(x, t) = u(x + 2, t), и периодическое начальное условие u(x, 0) = cos x.

Оказалось, что сначала волна становится круче в тех областях, где ее

наклон отрицателен, вследствие того, что нелинейность доминирует над третьей производной благодаря малости δ2. После того как волна становится круче, член δ2uxxx становится существенным и уравнивается по порядку величины с нелинейностью. Они заметили, что слева от того места, где волна становится круче, развиваются осцилляции, каждая из которых растет и

вконце концов достигает устойчивой амплитуды и становится по форме почти идентичной решению в виде уединенной волны (1.2), каждая со своим значением κ . Замечательным свойством этих уединенных волн является их взаимодействие друг с другом, когда они проходят через циклы эволюции, навязанные периодическими граничными условиями. Они проходят сквозь друг друга без изменения форм и лишь с небольшими изменениями фаз. Этот фазовый сдвиг приводит к тому, что начальное состояние не повторяется в точности, но все же почти повторяется, как в задаче ФПУ.

Забуски и Крускал назвали эти уединенные волны солитонами именно потому, что когда две или больше уединенных волны КдФ сталкиваются, то они не разрушаются и не рассеиваются. Греческое окончание «-он» обычно используется для частиц, и поэтому слово «солитон» призвано как бы подчеркнуть тот факт, что уединенные волны ведут себя подобно частицам.

Рис. 3. Процесс взаимодействия двух солитонов

Это «частицеподобное» поведение на самом деле не зависит от периодичности в граничных условиях. Мы можем численно решить уравнение КдФ при граничных условиях u → 0 при x → ∞ и взять в качестве начальных условий два существенно разных решения уравнения КдФ, имеющих вид уединенных волн, и таких, что более высокая и соответственно более быстрая волна расположена левее. С течением времени более быстрая нагоняет меньшую и сталкивается с ней. Это изображено на рисунке. Каждый волновой профиль – это график функции u(x, t) от x для некоторого фиксированного момента времени t. В целом рисунок представляет собой наложение большого количества таких профилей для возрастающей последовательности моментов времени t, отделенных равными промежутками.

Два солитона достаточно отделены друг от друга до столкновения, в середине рисунка сходятся и потом снова разделяются. Тот факт, что траектории каждого солитона в плоскости (x, t) не совпадают до и после столкновения, показывает, что каждый из них претерпевает фазовый сдвиг. Заметим, кроме того, что максимум в области столкновения меньше амплитуды большего солитона, что указывает на отсутствие линейной суперпозиции в центре. Уединенные волны после столкновения сохраняют в точности первоначальную форму, и это удивительно, поскольку можно было бы думать, что сильная нелинейность в процессе столкновения разрушит их. Это

свойство важно, поскольку оно показывает, что энергия может распространяться в виде локализованных устойчивых «пакетов» без рассеяния. Такое поведение решений не является свойством одного лишь уравнения КдФ, тем же свойством обладают уравнения МКдФ, уравнение Буссинеска, а также многие другие уравнения. В нелинейном уравнении Шредингера

ut + uxx − 2|u|2u = 0,

описывающем, в частности, огибающие оптических волн в оптоволоконных кабелях, это свойство также имеет место. Оно используется в некоторых волоконных магистралях для переноса цифровой информации («1» – солитонный импульс, «0» – основное состояние).

Важно понимать, что большинство нелинейных уравнений в частных производных, обладающих решениями в виде уединенных волн, не имеют решений, ведущих себя как солитоны. Некоторые из таких уравнений имеют решения, ведущие себя почти как солитоны в том смысле, что когда две уединенных волны встречаются, то после столкновения они возрождаются с малыми изменениями профиля, и лишь малое количество энергии теряется при этом в виде последующих колебаний. Такое поведение часто называют солитоноподобным, или говорится, что столкновение уединенных волн демонстрирует неупругое солитонное поведение. В качестве примера можно привести так называемое уравнение ϕ4 (произносится «фи четыре»), встречающееся в физике элементарных частиц

ϕtt − ϕxx = m2ϕ − λϕ3.

Легко найти его простые решения типа бегущей волны

λ2

однако любая суперпозиция подобных волн распадается при больших временах. Это означает, что две волны вида (3.1) после взаимодействия не сохраняют своей формы, а, напротив, порождают осцилляции, которые можно рассматривать как излучение, уносящее часть суммарной энергии волн. Тем самым уравнение ϕ4 не является солитонным в строгом смысле.

Однако терминология несколько неупорядоченна и различается в разных областях. Например, в физике частиц и физике твердого тела взаимная проницаемость волн не так важна в сравнении с другими частицеподобными свойствами, такими как локализуемость и конечность энергии. Однако мы будем строго придерживаться данного выше определения. Форма волны не является важной частью определения солитона. Солитоны уравнения КдФ имеют форму ch−2, в то время как солитоны модифицированого уравнения КдФ – только ch−1 . Слово «солитон» в большей степени указывает