Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Введение в теорию солитонов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

874 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Лекция 11

В последней выкладке прошлой лекции при доказательстве свойства 5 мы воспользовались выражениями для пределов собственных функ-

ций:

Φn → bne−κ nx, x → +∞,

(Φnλ)x → κ na (iκ n)eκ nx, x → +∞,

(Φn)λ =

∂

a(λ)e−

iλx

+ b(λ)e

iλx

λ=iκ n

∂λ

(a (λ)

−

ixa(λ))e−iλx

+ (b (λ) + ixb(λ))eiλx

λ=iκ n

= a (i

n)e

κ nx

+ O xe−

κ nx

, x

→

Φnλ → a (i

eκ nx

∞

→

∞

(Φnλ)x → κ neκ nx,

x → −∞,

(Φn)x → −κ nbne−κ nx, x → +∞,

dλd (Φxx + (λ2 + u(x))Φ) = (Φλ)xx + (λ2 + u(x))Φλ + 2λΦn.

Свойство 5 доказано.

6.Собственные значения κ n не зависят от t, а для коэффициентов bn справедлива формула

bn(t) = bne−8κ n3 t, bn = const.

(11.1)

Доказательство независимости κ n от времени вытекает непосредственно из свойства 1, поскольку a(λ) не зависит от t.

Вспомним, что при t > 0 собственные функции имеют следующие пределы:

Φ(x, t, λ) → e−iλx−4iλ3t, x → −∞,	(11.2)
Ψ(x, t, λ) = bn(t)Φ(x, t, λ) → eiλx+4iλ3t, x → +∞.	(11.3)

62	Лекция 11
Положим λ = iκ n, тогда в силу (11.2) имеем
	Φ(x, t, iκ n) → const · e−κ nx−4κ n3 t, x → +∞.

С другой стороны, поскольку Φ(x, t, iκ n) =	bn(t)Ψ(x, t, iκ n), получим
из (11.3)	x → +∞.
Φ(x, t, iκ n) → bn(t)e−κ nx+4κ n3 t,	x → +∞.

Сравнивая две последних асимптотики, приходим к утверждению свойства 6.

1. Дискретный спектр в обратной задаче рассеяния

Воспользуемся доказанными свойствами для вывода уравнения Гель- фанда–Левитана–Марченко при наличии дискретного спектра.

Возвращаясь к первоначальному выводу этого уравнения (см. начало Лекции 10), умножим уравнение (10.1) на eiλy и проинтегрируем по λ вдоль вещественной оси:

∞ Φ(x, λ)eiλy		∞		∞
		dλ =	Ψ(x, λ)eiλy dλ + r(λ)Ψ(x, λ)eiλy dλ. (11.4)
	a(λ)
		−∞		−∞
−∞

В левой части имеем по теореме о вычетах (см. формулу (10.2)) и в силу соотношения Φ(x, iκ n) = bnΨ(x, iκ n)

∞ Φ(x, λ)eiλy			N		bnΨ(x, iκ n)e−κ ny
−∞
		dλ = 2πi						.	(11.5)
	a(λ)		n=1		a (iκ n)
			n=1
В правую часть (10.1) подставим выражения для Ψ и							:
В правую часть (10.1) подставим выражения для Ψ и						Ψ	:
			∞	K(x, ξ)e−iλξ dξ,
	Ψ(x, λ) = e−iλx +			K(x, ξ)e−iλξ dξ,
			x
	Ψ(x, λ) = eiλx +		∞	K(x, ξ)eiλξ dξ.
	Ψ(x, λ) = eiλx +			K(x, ξ)eiλξ dξ.

		Учет дискретного спектра					63
В результате соотношение (11.4) примет вид
		N		bnΨ(x, iκ n)e−κ ny

		2πi					=
		n=1		a (iκ n)
		n=1
= 2πi	N	bne−κ n(x+y)	+ 2πi N ∞K(x, ξ)e−κ n(ξ+y)					bn	=
= 2πi			+ 2πi N ∞K(x, ξ)e−κ n(ξ+y)						=
		a (iκ n)		x				a (iκ n)
	n=1			n=1
		+∞		+∞			+∞
= 2πK(x, y) + r(λ)eiλ(x+y)dλ +					K(x, ξ)		r(λ)eiλ(x+y)dλ dξ.
		−∞		−∞		−∞

Перенося в левую часть и группируя слагаемые в последнем равенстве, имеем

2πK(x, y) + −2πi

bn a−(iκ n)

r(λ)eiλ(x+y)dλ

e κ n(x+y)

+∞

−∞

n=1

∞

κ n(ξ+y)

+∞

K(x, ξ)

−2πi

bn −

r(λ)eiλ(ξ+y)dλ dξ = 0.

a (iκ n)

−∞

n=1

Обозначив

F (z) =

+∞

bne−

r(λ)eiλz dλ + 2π

−∞

ia (iκ n)

2π

n=1

приходим к старому виду уравнения Гельфанда–Левитана–Марченко:

+∞

K(x, y) + F (x + y) + K(x, ξ)F (ξ + y)dξ = 0,

Таким образом, алгоритм решения обратной задачи остается прежним (см. Лекцию 9): по данным рассеяния {r(λ), κ n, bn, n = 1, 2, . . . , N } вычисляется ядро F (z), решается уравнение ГЛМ и потенциал u восстанавливается по формуле обращения

d
u(x) = −2 dxK(x, x).	(11.6)

Лекция 11

Покажем, как можно решить уравнение ГЛМ (9.13) в безотражательном случае, то есть при

b(λ) ≡ 0 r(λ) ≡ 0,

(11.7)

и выведем новую формулу для общих N -солитонных решений.

Ясно, что при условии (11.7) ядро F (z) уравнения ГЛМ станет вырожденным, то есть превратится в конечную сумму экспонент:

F (z) =

bne−κ nz

N βne−κ nz , где

βn =

. (11.8)

n=1

ia (iκ n)

n=1

ia (iκ n)

Будем искать решение уравнения ГЛМ в виде аналогичной суммы

Kn(x)e−κ ny .

K(x, y) =

(11.9)

n=1

Тогда интеграл в уравнении ГЛМ (9.13) вычислится явно

∞ N

Kn(x)×

Kn(x)e−κ nξ

βme−κ m(ξ+y)dξ =

n=1

m=1

n,m=1

∞

κ κ

βme−(κ n+κ m)x

e− my ,

κ n + κ m

βme−ξ( n+ m)e− my dξ =

Kn(x)

n,m=1

а само уравнение (9.13) распадется на систему алгебраических уравнений, поскольку следует приравнять коэффициенты при каждой экспоненте e−κ ny (все κ n – различны!)

e−	κ	N	βme−(κ n+κ m)x	κ	nx.	(11.10)
e−		ny : Kn(x) + m=1 Km(x)	κ n + κ m = −βne−		nx.	(11.10)
		,

Перепишем систему (11.10) в стандартном виде
K1(x)A11 (x) + K2(x)A12(x) + . . . + KN (x)A1N (x)	= β1e−κ 1x,
K1(x)A21 (x) + K2(x)A22(x) + . . . + KN (x)A2N (x)	= −−β2e−κ 2x,
. . .	. . .	κ 1x

K1(x)AN 1(x) + K2(x)AN 2(x) + . . . + KN (x)AN N (x) = −β1e−		,

(11.11)

Учет дискретного спектра

где матрица коэффициентов этой системы A(x) = {Aij (x)} функций

	βie−x(κ i+κ j)	1	i = j,
Aij = δij +		, δij = 0	i = j.
	κ i + κ j

Решаем систему (11.11) по правилу Крамера

составлена из

(11.12)

Kn(x) =	det A(n)(x)
		, n = 1, 2, . . . , N,	(11.13)

	det A(x)

где матрица A(n)(x) получается из матрицы A(x) заменой n-го столбца на столбец коэффициентов правой части

A(n)(x) =	A		(x) . . .		β e−κ 1x				. . . A (x)		.
A(n)(x) =		21.		− 2 .			κ	x	2 .		.
		11		− 1			κ	x	1N
	A (x) . . .				β e−		2		. . . A N	(x)
. . . .						.	κ N x		. . . .
AN 1(x) . . . βN e−									. . . AN N (x)
		.				.			.
				−

↑

n-й столбец

В действительности нас интересуют не сами решения Kn(x), а функция K(x, x), фигурирующая в формуле обращения (11.6). По формуле (11.9) имеем

K(x, x) = Kn(x)e−κ nx =

n=1

= ∂x∂ ln det A(x).

1	N	det A(n)(x)e−κ nx =

det A(x) n=1

Последнее равенство вытекает из правила дифференцирования логарифма и детерминанта матрицы, а также из соотношения

∂x∂ Ain(x) = −βie−(κ i+κ n)x.

Окончательно формула обращения (11.6) примет вид

	∂		∂2
u(x) = −2		K(x, x) = −2		ln det A(x).	(11.14)
	∂x		∂x2

ЗАМЕЧАНИЕ. Включение времени в формуле (11.14) производится стандартным образом – константы βn заменяются на функции от t согласно

66			Лекция 11
Свойству 6 данных рассеяния:
βn =	bn		βn(t) =	bne−8κ n3 t	= βne−8	κ 3
		→				nt,
	ia (iκ n)	→		ia (iκ n)		nt,

где βn = const.

ПРИМЕР. Покажем, что формула (11.14) определяет солитонное решение при N = 1.

В этом случае матрица A(x) становится скаляром

A(x) = 1 +

βe−2κ x−8κ 3t

2κ

и ее определитель совпадает с ней самой. Вычисляя вторую логарифмическую производную по формуле (11.14), получим знакомое выражение для 1-солитона

− 2κ 2

u(x, t) = , ch2 κ (x − 4κ 2t − ϕ)

где фазовый сдвиг ϕ имеет вид
ϕ =	1	ln	β	.
	2κ
			2κ

Лекция 12

Выкладки предыдущей лекции позволяют выписать компактную формулу для общего N -солитонного решения уравнения КдФ.

ТЕОРЕМА 1. Все солитонные решения уравнения КдФ определяются формулой

uN (x, t) = −2	∂2
uN (x, t) = −2	∂x2 ln det A(x, t),	(12.1)

где матрица A(x, t) = {Aij (x, t)} составлена из элементов

Aij = δij +	βie−(κ i+κ j)x−8κ i3t	, i, j = 1, 2, . . . , N.

	κ i + κ j

Доказательство теоремы достаточно громоздко и состоит в проверке идентичности формулы (12.1) с формулой Хироты (3.3) (см. Лекцию 4) для любого N 1. Вместо этого ниже будет рассмотрен пример с вычислением по формуле (12.1) при N = 1.

Для полного обоснования формулы (12.1) следует убедиться в том, что при всех x и t величина det A(x, t) не обращается в нуль.

Пусть, от противного, det A = 0. Тогда найдутся номера i, k такие, что

Aij = αAkj , j = 1, ..., N , в частности α = Aii/Aki = Aik /Akk . Подставляя в это равенство значения Aij из формулы (11.12), получим

βi

βk

βiβk e−2x(κ i+κ k)

1 +

e−2

ix 1 +

e−2 kx =

2κ i

2κ k

(κ i + κ k )2

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, приходим к равенству

1 +

βi

e−2κ ix +

βk

e−2κ kx +

βiβk

e−2x(κ i+κ k)

(κ i − κ k)2

= 0.

(κ i + κ k)2

2κ i

2κ k

2κ iκ k

(12.2) Здесь все слагаемые положительны, поскольку κ j > 0 в силу свойства 3 дискретного спектра, а по свойству 5 имеем

∞

Φ2(x, iκ k )dx = ia (iκ k )bk > 0,

−∞

68	Лекция 12
так что sign bk	= sign (ia (iκ k )), откуда βk =	bk	> 0. Тем самым
так что sign bk	= sign (ia (iκ k )), откуда βk =	ia (iκ k )	> 0. Тем самым
		ia (iκ k )

равенство (12.2) невозможно и это противоречие доказывает теорему.

Уравнение ГЛМ (9.13) может служить не только для построения точных решений, но и для асимптотического анализа поведения общего решения задачи Коши для уравнения КдФ.

ТЕОРЕМА 2. Пусть гладкое начальное условие уравнения КдФ удовлетворяет оценке

+∞

(1+ | x |) | u0(x) | dx < const,

−∞

тогда решение задачи Коши

ut − 6uux + uxxx = 0, u(x, 0) = u0(x)

имеет следующую асимптотику при больших временах:

u(x, t) = uN (x, t) + O(t−1/2), t → ∞,

где uN (x, t) является N -солитонным решением, определенным формулой (12.1) по дискретному спектру начального условия u0(x).

1. Законы сохранения

Данные рассеяния позволяют вывести другое важное свойство нелинейных солитонных уравнений – их законы сохранения. Рассмотрим их построение на примере уравнения КдФ

ut − 6uux + uxxx = 0.

Пусть u = u(x, t) – его решение, а P (u, ux, . . . , u от u и его производных по x.

(12.3)

(n)

x ) - некоторый полином

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Интеграл

∞

I = P (u, ux, ..., u(xn))dx

−∞

Законы сохранения		69
называется полиномиальным законом сохранения с плотностью P для
уравнения (12.3), если он не зависит от времени, то есть	dI	= 0 в силу
	dt

уравнения (12.3).

Ниже мы ограничимся классом убывающих на бесконечности по x решений, так чтобы оставаться в рамках метода обратной задачи рассеяния. Рассмотрим уравнение Шредингера

Φxx + λ2 + u(x, t) Φ = 0,

интегрирующее уравнение КдФ (12.3). Данные рассеяния для него определяются соотношениями

		Φ −→ e−iλx, x → −∞,
Φ	−→	a(λ)e−iλx + b(λ, t)eiλx, x	→	+	∞
	−→		→		∞

и обладают свойствами, перечисленными в Лекции 8, главным из которых сейчас будет независимость a(λ) от времени t. Как мы видели выше, в данных рассеяния заключена вся информация о решении u(x, t), иными словами, a и b являются функционалами от u. Выяснение этой функциональной зависимости для a(λ) как раз и приводит к конструкции законов сохранения.

Будем искать решение уравнения Шредингера в виде

x
Φ = e−iλx exp χ(λ, t, ξ)dξ.	(12.4)
−∞

В силу аналитичности Φ при Imλ > 0 имеем при x → +∞ Φ(x, t, λ)eiλx → a(λ), так что

+∞
a(λ) = exp χ(λ, t, ξ)dξ.	(12.5)
−∞

Выясним теперь вид новой неизвестной функции χ. Дифференцируя (12.4), имеем

Φx = (−iλ + χ(λ, t, x))Φ,

Φxx = χxΦ + (−iλ + χ)(iλ + χ)Φ = χx − λ2 − 2iλχ + χ2 Φ,

что дает для χ уравнение Риккати:

χx − 2iλχ + χ2 + u = 0.

Лекция 12

Для произвольной функции u уравнение Риккати не решается в явном виде (так же как и уравнение Штурма–Лиувилля), но дает удобный способ построения χ при больших значениях λ, а именно: будем искать при λ → ∞ его решение в виде степенного ряда

∞

χn(x, t)

χ1

χ2

χ3

χ(λ, t, x) =

+ . . . .

(12.6)

n=1

(2iλ)n

2iλ

(2iλ)2

(2iλ)3

Для его производной и его квадрата имеем соответственно

χ2

2χ1χ2

χx =

+ . . . ;

χ2 =

+ ... .

(2iλ)2

(2iλ)3

(2iλ)2

(2iλ)3

2iλ

Подставляя ряд (12.6) в уравнение Риккати и приравнивая выражения при одинаковых степенях (2iλ)−n, n = 1, 2, ... , получим:

(2iλ)0	1:	−χ1 + u = 0,
(2iλ)−	:	(χ1)x − χ2 = 0,
(2iλ)−2 : . . . (χ2)x − χ3 + χ12 = 0,
(2iλ)−k :		χk+1 = (χk )x +	χiχj .
	. . .	i+j,
		=k+1
Несколько первых коэффициентов χk имеют вид
	χ1 = u, χ2 = (χ1)x = ux,
χ3 = uxx + u2, χ4 = −uxxx + 2(u2)x,				(12.7)
χ5 = −uxxxx + (u2)xx + ux2 + 2uxxu − 2u3.
ТЕОРЕМА. Все коэффициенты χn разложения (12.6)
	χn = Pn(u, ux, uxx, . . . , ux(n))

являются плотностями полиномиальных законов сохранения для уравнения КдФ (12.3).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Тот факт, что все χn есть полиномы по своим аргументам, следует непосредственно из их построения.

Подставим ряд (12.6) в равенство (12.5), возьмем логарифм и производную по t от обеих частей

+∞ ∞ χn(ξ, t)

∞

+∞

0 =

ln(a(λ)) =

n=1

dξ = n=1

χn(ξ, t)dξ .

(2iλ)n

−∞

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]