Введение в теорию солитонов

Деформируем контур интегрирования в левой части (9.9) с вещественной оси на параллельную ей прямую −∞ < Re λ < +∞, Im λ > 0. Поскольку |e−iλ(x−y)| = eImλ(x−y) → 0 при (x−y) < 0, Im λ → +∞, то в силу последней оценки экспонента пропадет и интеграл в левой части занулится.

Уравнение (9.9) принимает вид

где K – новая неизвестная вещественная функция. Это представление справедливо в силу интегрального уравнения (7.12), выведенного выше при рассмотрении прямой задачи рассеяния:

Подставляя эту функцию в уравнение (9.10) и заменяя переменную интегрирования y на ξ, получим

(9.12) Первый двойной интеграл здесь – суть последовательно примененные прямое и обратное преобразования Фурье. Точнее, вводя функцию

−∞

и в уравнении переставим порядок интегрирования в последнем двойном интеграле:

Окончательно получается уравнение Гельфанда–Левитана–Марченко

∞

x

2. Формула обращения

Нам осталось сделать последний шаг в схеме метода обратной задачи рассеяния – перейти от решения K(x, y) уравнения ГЛМ к искомому решению уравнения КдФ u(x, t). Этот переход дается модификацией формулы обращения (9.6), выведенной в начале этой лекции.

Перепишем выражение (9.6) для потенциала u в терминах функции

Здесь последнее слагаемое обращается в нуль, поскольку интеграл в силу гладкости K(x, ξ) имеет порядок O(λ−N ) при λ → ∞, N – любое положительное число (N раз проинтегрировать по частям).

Таким образом, окончательно получим следующую формулу, которая называется формулой обращения:

Подводя итог всему сказанному, сформулируем стандартный алгоритм решения обратной задачи рассеяния для уравнения КдФ.

•По данным рассеяния a(λ) = a(λ, 0) и b(λ, t) = b(λ, 0)e−8iλ3t находим коэффициент отражения

r(λ, t) = b(λ, t) = b(λ, 0) e−8iλ3t. a(λ, t) a(λ, 0)

• Решаем уравнение ГЛМ (9.13)

∞

K(x, y, t)+F (x+y, t)+ K(x, ξ, t)F (ξ+y, t)dξ = 0, x < y.

x

• Находим решение уравнения КдФ по формуле обращения (9.14)

u(x, t) = −2 ∂x∂ K(x, x, t).

Лекция 10

1. Дискретный спектр уравнения Шредингера

При выводе уравнения Гельфанда–Левитана–Марченко (9.13)

∞

K(x, y) + F (x + y) + K(x, ξ)F (ξ + y)dξ = 0

x

было существенно использовано условие a(λ) = 0, Imλ > 0. Это условие необходимо, чтобы сдвинуть контур интегрирования по λ для интеграла от левой части равенства

рования на Im(λ) вверх, а затем Im(λ) устремить в бесконечность. Если a(λ) имеет конечное число нулей в точках iλn, λn > 0, n = 1, 2, . . . , N , то справедливо разложение Тейлора

a(λ) = (λ − iλn)a (iλn) + O(λ − iλn)2, λ → iλn.

В дальнейшем мы воспользуемся этой формулой для обобщения уравнения Гельфанда–Левитана–Марченко.

Введем важное определение дискретного спектра уравнения Шредин-

Оказывается, что в классе быстроубывающих потенциалов

∞

(1 + |x|)|u(x)|dx < ∞

−∞

уравнение (10.3), кроме знакомых нам осциллирующих решений

имеет экспоненциально убывающие по x решения Φ(x, λ) при некоторых (комплексных) значениях λ. Такие решения соответствуют разрешенным состояниям квантовомеханической системы, описываемой уравнением (10.3), которое, как уже отмечалось выше, является одномерным стационарным уравнением Шредингера.

Точное определение дискретного спектра состоит в следующем. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Значение λ C принадлежит дискретному спектру

уравнения (10.3) с потенциалом u(x), если Φ(x, λ) L2(R), то есть

∞

|Φ(x, λ)|2 dx < const.

−∞

Эти значения λ называются собственными значениями, а соответствующие решения – собственными функциями дифференциального оператора Шредингера d2/dx2 + u(x).

1.1. Свойства дискретного спектра

1.Точки дискретного спектра совпадают с нулями коэффициента про-

хождения, то есть λn - собственное значение тогда и только тогда, когда a(λn) = 0.

Для доказательства воспользуемся выражением a(λ) через вронскиан (см. Свойство 3 данных рассеяния)

W (Φ, Ψ) a(λ) = ,

2iλ

откуда при a(λ) = 0, Im λ > 0 получим W (Φ(x, λn ), Ψ(x, λn)) = 0. Это означает, что Ψ и Φ линейно зависимы, то есть существует константа bn такая, что

Φ(x, λn) = bnΨ(x, λn).

откуда следует, по определению, что Ψ и Φ есть собственные функции,

W (Φ(x, λn ), Ψ(x, λn)) = 0, что эквивалентно a(λ) = 0.

2. Теорема Марченко. Если u(x) – гладкий потенциал и

+∞

(1+ | x |) | u(x) | dx < const,

−∞

тогда множество собственных значений {λ√n} не более чем конечно.

В частности, если интеграл меньше ln(2 + 3), то дискретного спектра нет, то есть a(λ) нигде не обращается в нуль.

Доказательство этой теоремы достаточно сложно и выходит за рамки данного курса.

3.При вещественном u(x) все собственные значения лежат на мнимой оси:

λn = iκ n, κ n > 0, n = 1, 2, . . . , N.

Для доказательства воспользуемся тем, что если Φ(x, λn) – собственная

функция, то Φ(x, −λn) – тоже собственная функция,

Φxx + ((−λn)2 + u(x))Φ = 0,

поскольку u(x) = u(x). Граничные значения Φ(x, λn ) и Φ(x, −λn) также

совпадают:

Φ(x, λn) → eiλnx, x → −∞,

Таким образом, эти функции совпадают и, следовательно, совпадают их

собственные значения λn = −λn, а это может быть, если они лежат на мнимой оси.

+∞

+#(Φn)xxΦnλ + (λ2 + u(x))ΦnΦnλ)$dx =

−∞

+∞

=Φnλ #(Φn)xx + (λ2 + u(x))Φn$dx + 2κ nbna (iκ n) =

−∞

= 2κ nbna (iκ n).