Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Элементы математической статистики. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
11.08.2026
Размер:
586 Кб
Скачать
R(a, b)

ñˆ1 ýñ1 ( X1 , X 2 ,..., X n ) < ñˆ2 ýñ2 ( X1 , X 2 ,..., X n ).

1F< E?GK4=AO9 69?<K<AO < CD<A<@4RFES ;4 FBK9KAO9 BJ9A>< A9<;69EFAOI C4D4@9FDB6 ñ1 < ñ2 CB @9FB8G @B@9AFB6.

E?GK49 A4?<K<S FD9I < 5B?99 A9<;69EFAOI C4D4@9FDB6, <ECB?P;GS 6O5BDBKAO9 J9AFD4?PAO9 @B@9AFO 3-7B < 5B?99

6OEB><I CBDS8>B6, 4A4?B7<KAO@ B5D4;B@ A4IB8SF FBK9KAO9 BJ9A>< A9<;69EFAOI C4D4@9FDB6 CB @9FB8G @B@9AFB6.

$4EE@BFD<@ CD<@9D A4IB:89A<S FBK9KAOI BJ9AB> 86GI A9<;69EFAOI C4D4@9FDB6.

#D<@9D

 

 

 

#GEFP

( X1 , X 2 ,...., X n )

9EFP 6O5BD>4,

EBBF69FEF6GRM4S

E?GK4=AB=

69?<K<A9 X

E D46AB@9DAO@

D4ECD989?9A<9@

< A9<;69EFAO@< S6?SRFES C4D4@9FDO a < b .

#BEFDB<@ FBK9KAO9 BJ9A>< A9<;69EFAOI C4D4@9FDB6 CB @9FB8G @B@9AFB6.

$9L9A<9

4> <;69EFAB, @4F9@4F<K9E>B9 B:<84A<9 < 8<EC9DE<S E?GK4=AB= 69?<K<AO X , <@9RM9= D46AB@9DAB9 D4ECD989?9A<9 R(a, b) , 6OD4:4RFES K9D9; C4D4@9FDO

D4ECD989?9A<S E?98GRM<@ B5D4;B@

M ( X ) ý

a û b

,

D( X ) ý

(b a) 2

.

 

 

2

 

12

 

61

#D<D46AS6

QF< 6OD4:9A<S

 

K<E?B6O@

 

 

HGA>J<S@,

EBBF69FEF6GRM<@ 6O5BDBKAB@G ED98A9@G < 6O5BDBKAB=

8<EC9DE<<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

1 ( x1 , x2 ,..., xn ) ý

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

2 ( x1

, x2 ,..., xn ) ý

 

xk

2

 

(

xk )2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

CB?GK<@ E<EF9@G GD46A9A<=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

üa û b

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÿ

 

 

 

ý

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÿ

 

 

 

n k ý1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ý

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÿ(b a) 2

 

 

 

1

 

 

n

2

 

 

1 n

 

2

 

ÿ

 

 

 

 

 

ý

 

 

 

xk

 

(

 

 

xk )

 

.

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

þ

 

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

n k ý1

 

 

 

1F4 E<EF9@4

GD46A9A<= A9S6AB

BCD989?S9F

a

< b >4>

HGA>J<< C9D9@9AAOI (x1 , x2 ,...., xn ) . ; QFB= E<EF9@O a < b

@B:AB 6OD4;<FP S6AO@ B5D4;B@; CB?GK<@

 

1

n

 

1

n

1

n

a ý

xk

3(

xk2 (

xk ) 2 ) ,

 

 

 

 

n k ý1

 

n k ý1

n k ý1

62

 

 

 

1

n

 

 

 

 

1

n

 

 

1

 

n

 

 

 

 

b ý

xk

û 3(

xk2 (

 

xk )2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

 

n k ý1

 

 

n k ý1

 

 

 

 

4@9ASS

K<E?B6O9

C9D9@9AAO9 (x1 , x2 ,...., xn )

A4 6O5BD>G

( X1 , X 2 ,...., X n ) , CB?GK<@ FBK9KAO9

 

BJ9A><

A9<;69EFAOI

C4D4@9FDB6 a < b CB @9FB8G @B@9AFB6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

1

 

n

 

1

n

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

ý

 

 

X k

 

3(

 

 

 

 

X k

(

 

 

 

X k )

 

) ,

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

n k ý1

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

1

 

n

 

1

 

n

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

b

ý

 

 

X k

û

3(

 

 

 

X k

(

 

X k )

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

n k ý1

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

 

4@9K4A<9

OL9 5O?< D4EE@BFD9AO CD<@9DO CBEFDB9A<S FBK9KAOI BJ9AB> @9FB8B@ @B@9AFB6 8?S A9CD9DO6AOI E?GK4=AOI 69?<K<A, I4D4>F9D<;G9@OI C?BFABEFPR p(x;ñ) . E?<

E?GK4=A4S 69?<K<A4 S6?S9FES 8<E>D9FAB= < 6 ;4>BA D4ECD989?9A<S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO 6IB8<F A9<;69EFAO= C4D4@9FD (<?< A9E>B?P>B C4D4@9FDB6) ñ , FB CBEFDB9A<9 FBK9KAB= BJ9A>< BEGM9EF6?S9FES 4A4?B7<KAO@ B5D4;B@. E4@B@ 89?9, 9E?<, A4CD<@9D, ;4>BA D4ECD989?9A<S

8<E>D9FAB= E?GK4=AB=

69?<K<AO

X ;46<E<F

BF B8AB7B

A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4

ñ , FB @4F9@4F<K9E>B9

B:<84A<9

M ( X ) , >4> < 6 E?GK49 A9CD9DO6AB= E?GK4=AB= 69?<K<AO,

5G89F HGA>J<9= QFB7B C4D4@9FD4

63

M ( X ) ý (ñ).

4?PA9=L99 CBEFDB9A<9 FBK9KAB= BJ9A>< A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 ñ BEGM9EF6?S9FES F4> :9, >4> < 6 E?GK49 A9CD9DO6AB= E?GK4=AB= 69?<K<AO.

$4EE@BFD<@ CD<@9D CBEFDB9A<S FBK9KAB= BJ9A>< 8?S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO @9FB8B@ @B@9AFB6.

#D<@9D

%?GK4=A4S 69?<K<A4 X D4ECD989?9A4 CB 5<AB@<A4?PAB@G

;4>BAG

 

 

P

(x ) ý C xi p xi

(1 p) m xi ,

 

 

 

m

i

m

 

789

xi

-

K<E?B

CBS6?9A<=

EB5OF<S 6 i -B@ BCOF9

( i ý 1,2,..., m ),

m - >B?<K9EF6B <ECOF4A<= 6 B8AB@ BCOF9.

1)!4=F< @9FB8B@ @B@9AFB6 FBK9KAGR BJ9A>G A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 p .

2)#DB<;6989AB 10 BCOFB6. #B D94?<;4J<< 6O5BD><

0,0,0,0,0,1,1,2,3,4

A4=F< D94?<;4J<R FBK9KAB= BJ9A><, EBBF69FEF6GRMGR D94?<;4J<< 6O5BD><, <ECB?P;G9@GR 6 >4K9EF69 ;A4K9A<S A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 p , 9E?< K<E?B <ECOF4A<= 6

B8AB@ BCOF9 m ý 5.

64

$9L9A<9

4> <;69EFAB, 9E?< E?GK4=A4S 69?<K<A4 X

D4ECD989?9A4 CB 5<AB@<A4?PAB@G ;4>BAG, FB 99 @4F9@4F<K9E>B9 B:<84A<9 D46AB

M ( X ) ý mp,

789 m -K<E?B <ECOF4A<= 6 B8AB@ BCOF9, p - 69DBSFABEFP

CBS6?9A<S EB5OF<S 6 B8AB@ <ECOF4A<<. #D<D46AS9@

M ( X ) ý mp

K<E?B6B= HGA>J<<

1 ( x1 , x2 ,..., xn ) ý 1 n xk . n k ý1

#B?GK49@

mp ý 1 n xk . n k ý1

"FER84

p ý 1 n xk . mn k ý1

65

4@9ASS K<E?B6O9 C9D9@9AAO9 xi A4 6O5BD>G ( X1 , X 2 ,...., X n ) , CB?GK49@ FBK9KAGR BJ9A>G A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 p , CB?GK9AAGR @9FB8B@ @B@9AFB6

pˆ ý 1 n X k . mn k ý1

$94?<;4J<S FBK9KAB= BJ9A><, EBBF69FEF6GRM4S D94?<;4J<< 6O5BD>< (B5N9@ 6O5BD>< n ý 10 ), D46A4

p ý

 

1

(0 û 0 û 0 û 0 û 0 û1 û1 û 2 û 3 û 4) ý 0.22.

 

10

5

 

1FB K<E?B < <ECB?P;G9FES 6 >4K9EF69 CD<5?<:9AAB7B ;A4K9A<S C4D4@9FD4 p .

66

&" % 0!" " #$ "#" " 3

M9 B8A<@ D4ECDBEFD4A9AAO@ ECBEB5B@ CB?GK9A<S «8B5DB>4K9EF69AAOI» BJ9AB> A9<;69EFAOI C4D4@9FDB6 < K<E?B6OI I4D4>F9D<EF<> D4ECD989?9A<= S6?S9FES F4> A4;O649@O= @9FB8 @4>E<@4?PAB7B CD468BCB8B5<S.

'FB5O EHBD@G?<DB64FP QFBF @9FB8, A48B BC<E4FP ECBEB5, E CB@BMPR >BFBDB7B B5D4;G9FES K<E?B64S HGA>J<S n K<E?B6OI C9D9@9AAOI ñ(x1 , x2 ,...., xn ) (6

E?GK49 B8AB7B A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 ñ ). #BE?9 FB7B, >4> QF4 K<E?B64S HGA>J<S 5G89F B5D4;B64A4, ;4@9ASS K<E?B6O9 C9D9@9AAO9 (x1 , x2 ,...., xn ) A4 6O5BD>G

( X1 , X 2 ,...., X n ) , CB?GK<@ E?GK4=AGR 69?<K<AG, >BFBD4S

5G89F BJ9A>B= C4D4@9FD4 ñ

ñˆ ý ñ( X1 , X 2 ,...., X n ).

!<:9 D4EE@4FD<649FES ECBEB5 CBEFDB9A<S K<E?B6B= HGA>J<<, EBBF69FEF6GRM9= F4> A4;O649@B@G @9FB8G @4>E<@4?PAB7B CD468BCB8B5<S.

A4K4?9 D4EE@BFD<@ E?GK4=, >B784 <@99FES A9CD9DO6A4S E?GK4=A4S 69?<K<A4 X < C?BFABEFP 99

HGA>J<< D4ECD989?9A<S ;46<E<F BF B8AB7B A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 ñ , FB 9EFP <@99F 6<8 p(x;ñ) . %89?49@

E?98GRM99 BCD989?9A<9.

67

CD468BCB8B5<S,
( X1 , X 2 ,...., X n ) ,

"CD989?9A<9

#GEFP <@99FES A9CD9DO6A4S E?GK4=A4S 69?<K<A4 X <

C?BFABEFP 99 HGA>J<< D4ECD989?9A<S ;46<E<F BF B8AB7B C4D4@9FD4 ñ , FB 9EFP <@99F 6<8 p(x;ñ) . (GA>J<9=

EBBF69FEF6GRM9= 6O5BD>9 A4;O649FES K<E?B64S HGA>J<S n

K<E?B6OI C9D9@9AAOI < A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 ñ 6<84

L( x1 , x2 ,..., xn ;ñ ) ý p( x1 ;ñ ) p( x2 ;ñ ) ... p( xn ;ñ ) ý

n

ý p( xk ;ñ ),

k ý1

789 p( xi ;ñ) - C?BFABEFP HGA>J<< D4ECD989?9A<S E?GK4=AB= 69?<K<AO X .

#D<@9D

#?BFABEFP HGA>J<< D4ECD989?9A<S E?GK4=AB= 69?<K<AO X D46A4

( x ñ )2

p( x;ñ ) ý 1 e 2 .

2ð

&B784 HGA>J<S CD468BCB8B5<S D46A4

n

1

( x

ñ )2

 

k

 

 

 

2

 

L( x1 , x2 ,..., xn ;ñ ) ý

 

 

 

e

 

.

 

 

 

 

 

2ð

 

 

k ý1

 

 

 

 

 

68

4?99 E CB@BMPR HGA>J<< CD468BCB8B5<S A9E>B?P>B A9FD48<J<BAAO@ ECBEB5B@ B5D4;G9@ K<E?B6GR HGA>J<R

n K<E?B6OI

C9D9@9AAOI ñ(x1 , x2 ,...., xn ) . <@9AAB,

>4:8B@G

H<>E<DB64AAB@G

A45BDG

<;

n K<E9?

(x1o , x2o ,...., xno )

(AB?<>

669DIG

CBEF46?9A

8?S

CB8K9D><64A<S

H<>E<DB64AABEF< A45BD4) CBEF46<@ 6

EBBF69FEF6<9 K<E?B ñ(x1o , x2o ,...., xno ) F4>B9, CD< >BFBDB@

HGA>J<S B8AB7B C9D9@9AAB7B (CD< H<>E<DB64AAB@ A45BD9 (x1o , x2o ,...., xno ) HGA>J<S CD468BCB8B5<S EF4AB6<FES

HGA>J<9= B8AB7B C9D9@9AAB7B ñ ) L(x1o , x2o ,...., xno ;ñ)

8BEF<749F @4>E<@4?PAB7B ;A4K9A<S, FB 9EFP

ñ(x1o , x2o ,...., xno ) ý max L(x1o , x2o ,..., xno ;ñ),

789 @4>E<@G@ 59D9FES CB 6B;@B:AO@ ;A4K9A<S@ C4D4@9FD4 ñ . &4><@ B5D4;B@, K<E?4 (x1o , x2o ,...., xno ) 6

HGA>J<< L(x1o , x2o ,...., xno ;ñ) <ECB?P;GRFES >4> C4D4@9FDO.

4> <;69EFAB,

KFB5O HGA>J<S

B8AB7B C9D9@9AAB7B

L(x1o , x2o ,...., xno ;ñ)

CD<AS?4 @4>E<@4?PAB9 ;A4K9A<9,

A9B5IB8<@B, KFB5O CDB<;6B8A4S

QFB= HGA>J<< CB ñ

D46AS?4EP AG?R

 

 

dL( x1o , x2o ,..., xno ;ñ ) ý 0. dñ

#BE?9 6;SF<S CDB<;6B8AB= CB ñ CB?GK<@ GD46A9A<9 E B8A<@ A9<;69EFAO@ ñ

69

(x1 , x2 ,...., xn )

(x1o , x2o ,...., xno ;ñ) ý 0,

789

o

o

o

dL( xo , xo ,..., xo ;ñ )

 

1 2

n

 

( x1

, x2

,..., xn ) ý

 

 

.

dñ

 

 

 

 

 

 

$9L<6 QFB GD46A9A<9 BFABE<F9?PAB ñ , A4=89@ FBK>G @4>E<@G@4 ñ , EBBF69FEF6GRM99 H<>E<DB64AAB@G A45BDG (x1o , x2o ,...., xno ) . &4><@ B5D4;B@, >4:8B@G H<>E<DB64AAB@G

A45BDG (x1o , x2o ,...., xno ) EF46<FES 6 EBBF69FEF6<9

98<AEF69AAB9 K<E?B – ;A4K9A<9 ñ , CD< >BFBDB@ HGA>J<S L(x1o , x2o ,...., xno ;ñ) 8BEF<749F @4>E<@4?PAB7B ;A4K9A<S.E?< F9C9DP A45BD (x1 , x2 ,...., xn ) C9D9@9AAO=, FB <;

GD46A9A<S

öL( x1 , x2 ,..., xn ;ñ ) ý 0

öñ

CB?GK<@ K<E?B6GR HGA>J<R ñ(x1 , x2 ,...., xn ) . 89EP 6@9EFB

B5OKAB= CDB<;6B8AB= 59D9FES K4EFA4S CDB<;6B8A4S, F4> >4> A45BD S6?S9FES C9D9@9AAO@. &4><@ B5D4;B@, CB?GK49@ K<E?B6GR HGA>J<R

ñ ý ñ(x1 , x2 ,...., xn ).

70

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]