Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Элементы математической статистики. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
11.08.2026
Размер:
586 Кб
Скачать

!4DS8G E 7<EFB7D4@@B= K4EFB <ECB?P;G9FES 8DG7B9 7D4H<K9E>B9 CD98EF46?9A<9 8?S CD<5?<:9AAB7B BC<E4A<S A9<;69EFAB= HGA>J<< C?BFABEF< D4ECD989?9A<S, A4;O649@B9 6O5BDBKAO@ CB?<7BAB@ K4EFBF. #B?<7BA K4EFBF @B:AB CB?GK<FP, 9E?< EB98<A<FP ?B@4AB= E9D98<AO 69DIA<I EFBDBA CDS@BG7B?PA<>B6, B5D4;GRM<I 7<EFB7D4@@G. !4 D<EGA>9 4 CB>4;4A CD<@9D CB?<7BA4 K4EFBF, CBEFDB9AAB7B CB 7<EFB7D4@@9.

$<E. 4.

31

/ "$"'!/ " !&/

"CD989?9A<9

#GEFP X n ý ( X 1 , X 2 ,...., X n ) - 6O5BD>4, EBBF69FEF6GRM4S

E?GK4=AB= 69?<K<A9 X . O5BDBKAO@ ED98A<@ A4;O649FES

E?GK4=A4S 69?<K<A4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

X

( X n ) ý

( X 1

û X 2

û ... û X n ) ý

X k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n k ý1

$94?<;4J<S

E?GK4=AB=

69?<K<AO

 

 

( X n ) ,

EBBF69FEF6GRM4S

X

D94?<;4J<<

(x1 , x2 ,...., xn ) 6O5BD><

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

ý

xk ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

 

A4;O649FES

ED98A<@

 

;A4K9A<9@,

EBBF69FEF6GRM<@

D94?<;4J<< 6O5BD>< (x1 , x2 ,...., xn ) .

 

 

 

 

4@9K4A<9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E?< CB D94?<;4J<< 6O5BD>< (x1 , x2 ,...., xn ) CBEFDB<FP

EF4F<EF<K9E><= DS8 BFABE<F9?PAOI K4EFBF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(i )

 

 

 

 

 

x(1)

 

x( 2)

 

............

 

 

x( m )

ú

ý

ni

p ú

 

p ú

 

 

............

 

 

p ú

pi

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

FB ED98A99 ;A4K9A<9 @B:AB 6OK<E?<FP CB HBD@G?9

n

x6 ý x( k ) piú,

k ý1

FB 9EFP HBD@G?4 4A4?B7<KA4 HBD@G?9 8?S 6OK<E?9A<S @4F9@4F<K9E>B7B B:<84A<S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO.

"CD989?9A<9

O5BDBKAB= 8<EC9DE<9=, EBBF69FEF6GRM9= 6O5BD>9 X n ý ( X 1 , X 2 ,...., X n ) , A4;O649FES E?GK4=A4S 69?<K<A4,

BCD989?S9@4S HBD@G?B=

 

 

n

D6

( X n ) ý

1

( X k

X

) 2 ,

 

 

 

n k ý1

789

X ý 1 n X k . n k ý1

$94?<;4J<S E?GK4=AB= 69?<K<AO D6 ( X n ) , EBBF69FEF6GRM4S D94?<;4J<< 6O5BD>< (x1 , x2 ,...., xn ) , D46A4

d 6 ý 1 n ( xk x6 ) 2 n k ý1

33

< A4;O649FES 8<EC9DE<9=, EBBF69FEF6GRM9= D94?<;4J<< 6O5BD>< (x1 , x2 ,...., xn ) .

4@9K4A<9

E?< D94?<;4J<< 6O5BD>< EBBF69FEF6G9F EF4F<EF<K9E><= DS8 BFABE<F9?PAOI K4EFBF

x(i )

 

 

 

x(1)

 

x( 2)

............

x( m )

ú

ý

ni

p ú

 

p ú

............

p ú

pi

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

m

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&B 8<EC9DE<R, EBBF69FEF6GRMGR D94?<;4J<< 6O5BD><,

@B:AB 6OK<E?<FP CB HBD@G?9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d6 ý pkú ( xk

 

 

6 )2 ,

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

k ý1

 

 

 

 

 

 

<?< CB HBD@G?9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d6 ý pkú xk 2 (

 

6 )2 .

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

k ý1

 

 

 

 

 

 

1F< HBD@G?O ?97>B 8B>4;O64RFES , 9E?< GK9EFP, KFB piú ý ni , n

ni - K4EFBF4 i -7B Q?9@9AF4 64D<4J<BAAB7B DS84, n - B5N9@

6O5BD><.

34

F4>, 9E?< CB D94?<;4J<< 6O5BD>< CBEFDB<FP EF4F<EF<K9E><= DS8 BFABE<F9?PAOI K4EFBF, FB ED98A99 ;A4K9A<9 x6 , EBBF69FEF6GRM99 D94?<;4J<< 6O5BD><, <

8<EC9DE<R, EBBF69FEF6GRMGR D94?<;4J<< 6O5BD><, @B:AB 6OK<E?<FP EK<F4S, KFB EF4F<EF<K9E><= DS8 BFABE<F9?PAOI K4EFBF CD98EF46?S9F ;4>BA D4ECD989?9A<S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO. OK<E?<6 8?S QFB= 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO @4F9@4F<K9E>B9 B:<84A<9 < 8<EC9DE<R, CB?GK<@ ;A4K9A<S x6 < d 6 , EBBF69FEF6GRM<9 ;484AAB=

D94?<;4J<< 6O5BD><.

"CD989?9A<9

O5BDBKAO@ ED98A<@ >648D4F<KAO@ BF>?BA9A<9@ A4;O649FES E?GK4=A4S 69?<K<A4, BCD989?S9@4S HBD@G?B=

 

 

 

 

 

 

 

ó 6 ( X n ) ý

D6 ( X n ) .

 

$94?<;4J<9= QFB= E?GK4=AB= 69?<K<AO. %BBF69FEF6GRM9=

D94?<;4J<<

6O5BD><

 

(x1 , x2 ,...., xn ) ,

A4;O649FES

ED98A9>648D4F<KAO@

BF>?BA9A<9@,

EBBF69FEF6GRM<@

D94?<;4J<< 6O5BD>< (x1 , x2 ,...., xn ) . "AB B5B;A4K49FES

E<@6B?B@ ó 6 < 6OK<E?S9FES CB HBD@G?9

ó 6 ý d 6 .

6B8<FES F4>:9 CBASF<9 <ECD46?9AAB= 6O5BDBKAB= 8<EC9DE<<, A9B5IB8<@BEFP >BFBDB= 5G89F D4EE@BFD9A4 A<:9.

35

"CD989?9A<9

ECD46?9AAB= 6O5BDBKAB= 8<EC9DE<9= A4;O649FES E?GK4=A4S 69?<K<A4, FD48<J<BAAB B5B;A4K49@4S E<@6B?B@

S 2 < D46A4S

 

S 2

ý

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D ( X

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n 1

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% GK9FB@

BCD989?9A<S

6O5BDBKAB=

8<EC9DE<<

8?S S 2

CB?GK49@ HBD@G?G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

S 2 ( X n )

ý

 

 

 

( X k

 

)2 .

 

 

 

 

 

X

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

1 k ý1

 

 

 

 

 

$94?<;4J<S

<ECD46?9AAB=

 

 

 

6O5BDBKAB=

8<EC9DE<<,

EBBF69FEF6GRM4S D94?<;4J<< 6O5BD>< (x1 , x2 ,...., xn ) , D46A4

 

s 2 ý

 

n

 

d6 .

 

n 1

 

 

 

 

 

 

?<

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

s62 ý

( xk

 

6 )2 .

x

 

 

n 1 k ý1

 

 

 

"CD989?<@ 6O5BDBKAO=

4A4?B7 >BQHH<J<9AF4

>BDD9?SJ<< 86GI E?GK4=AOI 69?<K<A.

36

"CD989?9A<9

 

 

#GEFP E?GK4=AB=

69?<K<A9

X EBBF69FEF6G9F 6O5BD>4

( X1 , X 2 ,...., X n ) , 4

E?GK4=AB=

69?<K<A9 Y EBBF69FEF6G9F

6O5BD>4 (Y1 ,Y2 ,...,Yn ) . O5BDBKAO@ >BDD9?SJ<BAAO@

@B@9AFB@ A4;O649FES E?GK4=A4S 69?<K<A4, BCD989?S9@4S HBD@G?B=

ˆ

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,Yn ) ý

 

( X k

 

 

 

 

 

K ( X n

 

X

)(Yk Y

),

 

 

 

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

789

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

ý

X k ,

 

 

ý

Yk

X

Y

 

 

 

 

 

 

 

n k ý1

 

 

 

 

n k ý1

9EFP 6O5BDBKAO9 ED98A<9 E?GK4=AOI 69?<K<A X < Y ,

EBBF69FEF69AAB. O5BDBKAO@ >BQHH<J<9AFB@ >BDD9?SJ<< A4;O649FES E?GK4=A4S 69?<K<A4

 

 

 

 

ˆ

,Y )

òˆ ( X

 

,Y ) ý

K ( X

n

 

n

n

,

 

n

óˆ x

( X n )óˆ y (Yn )

 

 

 

789

 

n

óˆ x2 ( X n ) ý

1

( X k

 

)2

X

 

n k ý1

37

<

 

n

óˆ y2 (Yn ) ý

1

 

 

 

(Yk Y

)2

 

n k ý1

9EFP 6O5BDBKAO9 8<EC9DE<< E?GK4=AOI 69?<K<A X < Y , 4

óˆ x ( X n ) < óˆ y (Yn ) - 6O5BDBKAO9 ED98A<9 >648D4F<KAO9

BF>?BA9A<S (;89EP 6O5BDBKAO9 8<EC9DE<< < 6O5BDBKAO9 ED98A<9 >648D4F<KAO9 BF>?BA9A<S B5B;A4K9AO <A4K9, K9@ D4A99).

#B@<@B D4EE@BFD9AAOI 6O5BDBKAOI 4A4?B7B6 K<E?B6OI I4D4>F9D<EF<> E?GK4=AOI 69?<K<A 66B8SFES F4>:9 < 8DG7<9 6O5BDBKAO9 4A4?B7< K<E?B6OI I4D4>F9D<EF<> E?GK4=AOI 69?<K<A, 4 <@9AAB, 6O5BDBKAO9 @B@9AFO.

"CD989?9A<9

O5BDBKAO@ A4K4?PAO@ @B@9AFB@ k -7B CBDS8>4

A4;O649FES E?GK4=A4S 69?<K<A4

 

 

n

ýˆk

( X n ) ý

1

X ik .

 

 

 

n iý1

"CD989?9A<9

!4K4?PAO@ @B@9AFB@ k -7B CBDS8>4, EBBF69FEF6GRM<@ D94?<;4J<< 6O5BD>< (x1 , x2 ,...., xn ) , A4;O649FES D94?<;4J<S

6O5BDBKAB7B A4K4?PAB7B @B@9AF4 < 6OK<E?S9FES CB HBD@G?9

38

ýk6 ý 1n n xik . i ý1

"CD989?9A<9

O5BDBKAO@ J9AFD4?PAO@ @B@9AFB@ k -7B CBDS8>4

A4;O649FES E?GK4=A4S 69?<K<A4

 

 

 

 

 

 

1

 

n

þˆk ( X n ) ý

 

( X i

 

)k ,

 

X

 

 

 

 

 

 

 

n iý1

789

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

ý ýˆ1 ( X n ) ý

X k .

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n k ý1

"CD989?9A<9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&9AFD4?PAO@ @B@9AFB@ k -7B CBDS8>4, EBBF69FEF6GRM<@

D94?<;4J<< 6O5BD><

(x1 , x2 ,...., xn ) , A4;O649FES D94?<;4J<S

6O5BDBKAB7B J9AFD4?PAB7B

 

@B@9AF4 k -7B CBDS8>4,

6OK<E?9AA4S CB D94?<;4J<< 6O5BD><

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

þk6

ý

( xi

 

6 )k ,

 

x

 

 

 

 

 

 

n iý1

789

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

x6 ý 1 n xk . n k ý1

"F@9F<@, KFB 6O5BDBKAB9 ED98A99 X < 6O5BDBKA4S 8<EC9DE<S D6 S6?SRFES K4EFAO@ E?GK49@ 6O5BDBKAOI

@B@9AFB6. <@9AAB, X S6?S9FES A4K4?PAO@ 6O5BDBKAO@ @B@9AFB@ 1-7B CBDS8>4, 4 D6 S6?S9FES J9AFD4?PAO@ 6O5BDBKAO@ @B@9AFB@ 2-7B CBDS8>4.

#B8K9D>A9@ F4>:9, KFB D94?<;4J<< 6O5BDBKAOI @B@9AFB6 @B:AB 6OK<E?<FP, 9E?< CB D94?<;4J<< 6O5BD>< CBEFDB<FP EF4F<EF<K9E><= DS8 BFABE<F9?PAOI K4EFBF < D4EE@4FD<64FP CB?GK9AAO= DS8 >4> ;4>BA D4ECD989?9A<S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO. &B784 A4K4?PAO9 < J9AFD4?PAO9 @B@9AFO, 6OK<E?9AAO9 8?S QFB= E?GK4=AB= 69?<K<AO, 5G8GF D46AO D94?<;4J<S@ EBBF69FEF6GRM<I 6O5BDBKAOI @B@9AFB6.

#D<@9D

D9;G?PF4F9 Q>EC9D<@9AF4 CB?GK9A4 D94?<;4J<S 6O5BD>< B5N9@B@ n ý 79 .

2;4;2;4;3;3;3;2;0;6;1;2;3;2;2;4;3;3;5;1;0;2;4;3;3;2;2;3;3;1;3;3;3;1;

1;2;3;1;4;3;1;7;4;3;4;2;3;2;3;3;1;4;3;1;4;5;3;4;2;4;5;3;6;4;1;3;2;4;

1;3;1;0;0;4;6;4;7;4;1;3.

!4=F< ED98A99 ;A4K9A<9 < 8<EC9DE<R, EBBF69FEF6GRM<9 D94?<;4J<< 6O5BD><.

40

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]