Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Элементы математической статистики. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
11.08.2026
Размер:
586 Кб
Скачать

789 ñ1 (x1 , x2 ,...., xn ) 9EFP D9L9A<9 GD46A9A<S

T (x1 , x2 ,..., xn ;ñ) ý qa

BFABE<F9?PAB A9<;69EFAB7B ñ , 4 ñ2 (x1 , x2 ,...., xn ) 9EFP

D9L9A<9 GD46A9A<S

T (x1, x2 ,..., xn ;ñ) ý q1 b .

"F@9F<@, KFB A9D469AEF64 (3) < (4) Q>6<64?9AFAO 6 FB@ E@OE?9, KFB <; A9D469AEF64 (3) E?98G9F A9D469AEF6B (4) < A4B5BDBF <; (4) E?98G9F (3). '<E?B6B@G A9D469AEF6G (4) EBBF69FEF6G9F A9D469AEF6B EB E?GK4=AO@< 69?<K<A4@<

ñ1 ( X1 , X 2 ,...., X n ) ü ñ ü ñ2 ( X1 , X 2 ,..., X n ),

(5)

>BFBDB9 Q>6<64?9AFAB A9D469AEF6G (3). "FER84 E?98G9F,

KFB

 

P(ñ1 ( X1 , X 2 ,...., X n ) üñ üñ2 ( X1 , X 2 ,..., X n )) ý .

&4><@ B5D4;B@, E?GK4=AO= <AF9D64?

 

(ñ1 ( X1 , X 2 ,...., X n ); ñ2 ( X1 , X 2 ,..., X n ))

 

A4>DO649F A9<;69EFAO= C4D4@9FD ñ E 69DBSFABEFPR

.

E?< HGA>J<S T (x1 , x2 ,..., xn ;ñ) 5G89F EFDB7B @BABFBAAB G5O64RM9= CB ñ , FB 6 >4K9EF69 ñ1 (x1 , x2 ,...., xn ) E?98G9F

6;SFP D9L9A<9 GD46A9A<S

91

T (x1, x2 ,..., xn ;ñ) ý q1 b ,

4 6 >4K9EF69 ñ2 (x1 , x2 ,...., xn ) E?98G9F 6;SFP D9L9A<9

GD46A9A<S

T (x1, x2 ,..., xn ;ñ) ý qa .

4@9K4A<9

 

 

 

 

 

 

'<E?4 a < b B5OKAB 6O5<D4RF F4><@<, KFB5O

A4

D<EGA>9 4 C?BM48P S a

5O?4 D46A4 C?BM48< S b . QFB@

E?GK49 ?96GR ;4LFD<IB64AAGR B5?4EFP A4 D<EGA>9 4

6O5<D4RF F4>B=, KFB5O 99 C?BM48P S a

5O?4 D46A4

,

 

 

 

 

 

 

2

789 K<E?B A4IB8SF <; GE?B6<S

û ý 1,

CD< QFB@

 

B5OKAB ;4849FES 5?<;><@ > 98<A<J9. QFB@ E?GK49 K<E?4

a < b D46AO K<E?G

<, E?98B64F9?PAB,

 

A48B A4=F<

2

 

 

 

 

 

 

>64AF<?< GDB6AS < (1 ) , FB 9EFP q

< q

 

. '<E?B

2

2

2

1

2

 

 

 

 

 

 

6 QFB@ E?GK49 A4;O649FES GDB6A9@ ;A4K<@BEF<.

D4EE@4FD<649@OI A<:9 CD<@9D4I K<E?4

a

< b 59DGFES

D46AO@< .

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

$4EE@BFD<@ CD<@9DO CBEFDB9A<S <AF9D64?PAOI BJ9AB>.

92

#D<@9D

#GEFP X n 9EFP 6O5BD>4 B5N9@4 n , EBBF69FEF6GRM4S

E?GK4=AB= 69?<K<A9 X , <@9RM9= CB>4;4F9?PAO= ;4>BA

D4ECD989?9A<S

 

 

 

 

 

 

 

ü

 

üx

, еE?и x

 

 

 

 

 

 

 

 

p( x; ü) ý ýüe

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

þ0,

 

 

еE?и x ü 0,

 

789

ü þ 0 -

A9<;69EFAO= C4D4@9FD. &D95G9FES CBEFDB<FP

<AF9D64?PAGR BJ9A>G C4D4@9FD4 ü CD< ;484AAB@ .

$9L9A<9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$B?P A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 ñ <7D49F C4D4@9FD ü .

$4EE@BFD<@ EF4F<EF<>G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T ( X n , ü) ý 2ünX

,

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

789

 

 

ý

X i

- 6O5BDBKAB9 ED98A99.

B:AB 8B>4;4FP,

X

 

 

 

 

 

 

n i ý1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KFB

 

 

9E?<

 

X n ý ( X 1 ,

X 2 ,...., X n )

9EFP

6O5BD>4,

EBBF69FEF6GRM4S

E?GK4=AB=

 

69?<K<A9

X ,

<@9RM9=

CB>4;4F9?PAO= ;4>BA D4ECD989?9A<S, FB QF4 EF4F<EF<>4

<@99F ó 2 -

D4ECD989?9A<9

 

E

 

2n EF9C9AS@<

E6B5B8O <

;A4K<F A9 ;46<E<F BF ü . %?98B64F9?PAB, BA4 S6?S9FES J9AFD4?PAB= EF4F<EF<>B=. &4> >4> Q>ECBA9AJ<4?PA4S

93

E?GK4=A4S 69?<K<A4 CD<A<@49F FB?P>B CB?B:<F9?PAO9 ;A4K9A<S, FB HGA>J<S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

T ( x1 , x2 ,..., xn ; ü) ý 2ün(

X i )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n iý1

 

 

 

S6?S9FES EFDB7B @BABFBAAB 6B;D4EF4RM9= CD< ?R5B@

H<>E<DB64AAB@

A45BD9

(x1 , x2 ,...., xn ) ,

( xi

þ 0) .

#B

F45?<J9

>64AF<?9=

8?S

ó 2 - D4ECD989?9A<S

A4IB8<@

>64AF<?<

ó 2 (2n)

<

ó 2 (2n) GDB6AS

 

<

(1 ) ,

 

2

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EBBF69FEF69AAB,

789

 

 

û ý 1 (E@BFD<

;4@9K4A<9

A4

EFD4A<J9 91). $9L4S BFABE<F9?PAB ü GD46A9A<S

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

2ün(

 

xi ) ý ó 2 (2n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n iý1

2

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

2ün(

xi ) ý ó 2 (2n) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n iý1

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

A4IB8<@

94

ó 2 (2n)

ü1

ý

 

 

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n(

1

xi )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

iý1

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ó 2

 

(2n)

ü2

ý

1

2

n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n(

1

 

xi )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

iý1

 

 

 

%?98B64F9?PAB, CB8EF46?SS 6@9EFB K<E?B6OI C9D9@9AAOI

(x1 , x2 ,...., xn ) 6O5BD>G X n ý ( X 1 ,

X 2 ,...., X n ) , CB?GK49@,

KFB 7D4A<J4@< 8B69D<F9?PAB7B <AF9D64?4 5G8GF E?98GRM<9 E?GK4=AO9 69?<K<AO

ˆ ( X , X ,..., X )

ü1 1 2 n

ˆ ( X , X ,..., X )

ü2 1 2 n

ý

 

ó 2 (2n)

,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

2n(

 

X i )

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

iý1

 

 

ó 2

(2n)

 

ý

 

1

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

2n(

X i )

 

 

 

 

 

 

 

 

n

iý1

 

95

&4><@ B5D4;B@, CB?GK49@ 8B69D<F9?PAO= <AF9D64?

 

ó 2 (2n)

 

ó 2

(2n)

 

 

2

 

 

 

1

2

 

 

 

(

 

 

;

 

 

 

),

 

 

 

 

 

 

 

2nX

2nX

 

 

 

789 X ý 1 n X i . n i ý1

E?< 6O5BD>9 X n ý ( X 1 , X 2 ,...., X n ) EBBF69FEF6G9F 99 D94?<;4J<S (x1 , x2 ,...., xn ) , FB CB8EF46?SS 6 HBD@G?G 8?S

8B69D<F9?PAB7B

<AF9D64?4

6@9EFB

6O5BD><

X n ý ( X 1 , X 2 ,...., X n )

99 D94?<;4J<R

(x1 , x2 ,...., xn ) ,

CB?GK<@ D94?<;4J<R 8B69D<F9?PAB7B <AF9D64?4 8?S E?GK4=AB= 69?<K<AO, D4ECD989?9AAB= CB CB>4;4F9?PAB@G ;4>BAG. $4EE@BFD<@ CD<@9D A4IB:89A<S D94?<;4J<< 8B69D<F9?PAB7B <AF9D64?4 CB D94?<;4J<< 6O5BD><.

#D<@9D

%?GK4=A4S 69?<K<A4 X <@99F CB>4;4F9?PAB9

D4ECD989?9A<9

üüe üx , еE?и x 0, p( x; ü) ý ý

þ0, еE?и x ü 0,

96

789

ü þ 0 -

A9<;69EFAO= C4D4@9FD. #B?GK9A4 D94?<;4J<S

6O5BD>< B5N9@4 n ý 50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

5

 

15

25

35

45

55

65

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

15

 

10

7

6

5

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!4=F< D94?<;4J<R 8B69D<F9?PAB7B <AF9D64?4 E 8B69D<F9?PAB= 69DBSFABEFPR ý 0.90.

$9L9A<9

!4IB8<@ GDB69AP ;A4K<@BEF< < GDB6A< >64AF<?9=

ý 1 ý 0.1,

ý 0.05,

1 ý 0.95, n ý 50, 2n ý 100.

 

2

2

#B F45?<J9 >64AF<?9= 8?S D4ECD989?9A<S ó 2 A4IB8<@

>64AF<?<

 

 

ó 2

(100) ý 77.93, ó 2

(100) ý 124,34.

0.05

 

0.95

 

4?99 A4IB8<@

 

 

5 0

5 0

 

 

2n (

1

xi ) ý 2 xi

ý 2 (5 15 û15 10 û 25 7 û

 

 

n i ý1

i ý1

 

 

û 35 6 û 45 5 û 55 4 û 65 3) ý 2500.

&B784 CB?GK49@ E?98GRMGR D94?<;4J<R 8B69D<F9?PAB7B <AF9D64?4

97

( 77.93 ; 124.34 ). 2500 2500

?< (0.031; 0.050) .

F4>, E 8B69D<F9?PAB= 69DBSFABEFPR ý 0.9 ;A4K9A<9 C4D4@9FD4 ü ?9:<F 6 <AF9D64?9 (0.031; 0.050) .

1FB B;A4K49F, KFB 9E?< @AB7B>D4FAB CB?GK<FP D94?<;4J<R 6O5BD>< B5N9@4 n ý 50 < >4:8O= D4; A4=F< D94?<;4J<R

8B69D<F9?PAB7B <AF9D64?4, FB. 7DG5B 7B6BDS, 6 90% E?GK496 <EF<AAB9 ;A4K9A<9 A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 ü 5G89F A4IB8<FPES 6AGFD< D94?<;4J<< 8B69D<F9?PAB7B <AF9D64?4, CB?GK9AAB7B CB EBBF69FEF6GRM9= D94?<;4J<< 6O5BD><, 4 6 10% E?GK496 6A9 D94?<;4J<< 8B69D<F9?PAB7B <AF9D64?4.

$4EE@BFD<@ 9M9 A9E>B?P>B CD<@9DB6 A4IB:89A<S 8B69D<F9?PAB7B <AF9D64?4 < 97B D94?<;4J<<.

#D<@9D

%?GK4=A4S 69?<K<A4 X D4ECD989?9A4 CB ABD@4?PAB@G ;4>BAG N (a;ó ) . A4K9A<9 C4D4@9FD4 a

A9<;69EFAB, 4 ;A4K9A<9 C4D4@9FD4 ó <;69EFAB. #BEFDB<FP <AF9D64?PAGR BJ9A>G 8?S C4D4@9FD4 a .

$9L9A<9

B:AB 8B>4;4FP, KFB 9E?< E?GK4=A4S 69?<K<A4 X

D4ECD989?9A4 CB ABD@4?PAB@G ;4>BAG, FB EF4F<EF<>4

98

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ý

 

X a

 

 

 

 

 

 

 

 

T ( X ; a)

 

n ,

 

 

 

 

 

ó

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ý

X i -

 

 

 

 

 

 

 

789

X

 

6O5BDBKAB9

ED98A99, <@99F

 

 

 

 

 

 

 

n i ý1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EF4A84DFAB9 ABD@4?PAB9

D4ECD989?9A<9 N (0; 1) <

CBQFB@G S6?S9FES J9AFD4?PAB= EF4F<EF<>B=. (GA>J<S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T ( x1 , x2 ,..., xn ; a)

ý

 

n iý1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

ó

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S6?S9FES EFDB7B @BABFBAAB G5O64RM9= HGA>J<9= C4D4@9FD4 a (CD< H<>E<DB64AAB@ A45BD9 (x1 , x2 ,...., xn ) ).

#GEFP

u

<

u

 

 

9EFP >64AF<?< D4ECD989?9A<S N (0; 1)

 

2

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GDB6AS

 

 

<

 

 

 

(1 ) ,

EBBF69FEF69AAB. 4C<EO649@

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

GD46A9A<9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n iý1

 

 

 

 

ý u

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

ó

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

< D9L4S 97B BFABE<F9?PAB C4D4@9FD4 a , A4IB8<@

99

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

ó

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1 ý

 

xi

 

 

 

 

u

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

n i ý1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A4?B7<KAB, <; GD46A9A<S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n iý1

 

 

 

 

 

 

ý u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ó

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

A4IB8<@

ý 1 xi

ó

 

 

 

 

 

 

 

a2

u .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n iý1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

2

 

 

 

?<, GK<FO64S, KFB 8?S D4ECD989?9A<S

N (0; 1)

(6 E<?G 97B

E<@@9FD<< BFABE<F9?PAB AG?S) u

ý u

 

 

, @B:AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;4C<E4FP

ý 1 xi û ó u .

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n iý1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4@9ASS 6 6OD4:9A<SI 8?S

 

 

 

 

a1

< a2

 

 

K<E?B6O9

C9D9@9AAO9

 

(x1 , x2 ,...., xn )

A4

 

 

6O5BD>G

100

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]