Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Элементы математической статистики. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
11.08.2026
Размер:
586 Кб
Скачать

$9L9A<9

#BEFDB<@ EF4F<EF<K9E><= DS8 BFABE<F9?PAOI K4EFBF

 

X(I)

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

6

 

 

 

7

 

p ú ý

ni

 

 

4

 

 

 

 

13

 

 

14

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

16

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

n

 

79

 

 

 

 

79

 

 

79

 

 

 

 

79

 

 

 

 

 

79

 

 

 

79

 

 

79

 

 

79

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$4EE@4FD<64S QFBF EF4F<EF<K9E><= DS8 >4> ;4>BA

D4ECD989?9A<S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO

X ,

 

A4=89@

@4F9@4F<K9E>B9 B:<84A<9 M ( X ) < 8<EC9DE<R D( X ) QFB=

E?GK4=AB= 69?<K<AO. !4IB8<@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ( X ) ý 0

4

 

û1

13

û 2

14

û 3

24

û 4

16

 

û 5

3

û 7

2

ý

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79

 

 

 

 

79

 

79

 

 

 

79

 

 

 

79

 

 

79

 

 

 

 

 

79

 

 

 

ý 2.835

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!4=89@ 8<EC9DE<R CB HBD@G?9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D( X ) ý p(úi ) x(2i ) (M ( X )) 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i ý1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#B QFB= HBD@G?9 A4IB8<@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D( X ) ý 0 2

4

 

û12

13

û 4

14

û 9

24

û16

16

û 25

3

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79

 

 

79

 

 

 

79

 

79

 

79

 

 

 

 

79

 

 

 

 

 

 

 

û 36

3

û 49

2

(2.835) 2

ý 2.37.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79

79

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%?98B64F9?PAB,

 

 

ED98A99

 

 

;A4K9A<9 <

 

8<EC9DE<S,

41

EBBF69FEF6GRM<9 D94?<;4J<< 6O5BD><, D46AO EBBF69FEF69AAB

x6 ý M ( X ) ý 2.835, d6 ý D( X ) ý 2.37.

42

& !"Ы% "

&"' '!/ "& !

#GEFP 6 ;4>BA D4ECD989?9A<S E?GK4=AB= 69?<K<AO X

6IB8<F C4D4@9FD ñ , ;A4K9A<9 >BFBDB7B A9<;69EFAB. @4F9@4F<K9E>B= EF4F<EF<>9 6 >4K9EF69 A9<;69EFAB7B

C4D4@9FD4

ñ

<ECB?P;GRF K<E?B,

CB?GK49@B9 A9>BFBDO@

B5D4;B@ (>4><@ <@9AAB – 5G89F D4EE@BFD9AB A<:9) CB

D94?<;4J<< 6O5BD><

(x1 , x2 ,...., xn ) , EBBF69FEF6GRM9=

E?GK4=AB=

69?<K<A9 X . 4?99 D4EE@4FD<64RFES 6BCDBEO,

E6S;4AAO9 E A4IB:89A<9@ K<E?4, <ECB?P;G9@B7B 6 >4K9EF69

;A4K9A<S A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 ñ .

 

"CD989?9A<9

 

 

 

#GEFP

E?GK4=AB=

69?<K<A9 X

EBBF69FEF6G9F 6O5BD>4

( X1 , X 2 ,...., X n )

< 6 ;4>BA D4ECD989?9A<S E?GK4=AB= 69?<K<AO

X 6IB8<F A9<;69EFAO= C4D4@9FD ñ . &BK9KAB= BJ9A>B=

A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 ñ A4;O649FES E?GK4=A4S 69?<K<A4, S6?SRM4SES HGA>J<9= 6O5BD><

ñˆ ý ñ( X1 , X 2 ,..., X n ).

E?< QF4 HGA>J<S 6O5D4A4, FB 6 >4K9EF69 ;A4K9A<S A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 ñ CD<A<@49FES D94?<;4J<S QFB= E?GK4=AB= 69?<K<AO, EBBF69FEF6GRM4S D94?<;4J<< 6O5BD>< (x1 , x2 ,...., xn ) , FB 9EFP CB?474RF ñ ý ñ(x1 , x2 ,...., xn ) . BCDBE B

43

FB@ >4> 6O5<D4RF HGA>J<R ñ( X1 , X 2 ,...., X n ) 5G89F

D4EE@BFD9A A<:9.

4@9K4A<9

%GM9EF6G9F 59EK<E?9AAB9 @AB:9EF6B HGA>J<= 6O5BD><

ñˆ ý ñ( X1 , X 2 ,..., X n ).

9=EF6<F9?PAB, 6;S6 ?R5GR K<E?B6GR HGA>J<R n C9D9@9AAOI ñ(x1 , x2 ,...., xn ) < CB8EF46<6 6@9EFB K<E?B6OI

C9D9@9AAOI E?GK4=AO9 69?<K<AO ( X1 , X 2 ,...., X n ) , CB?GK<@

EBBF69FEF6GRMGR E?GK4=AGR 69?<K<AG

ñ( X1 , X 2 ,..., X n ).

45974S 6C9D98, E?98G9F BF@9F<FP, KFB >4><9-FB <; QF<I

HGA>J<= S6?SRFES 5B?99 CD98CBKF<F9?PAO@< E FBK>< ;D9A<S BJ9A>< A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 ñ . 484K< «D4A:<DB64A<S»

HGA>J<=

ñˆ ý ñ( X1 , X 2 ,..., X n )

E FBK><

;D9A<S

>4K9EF64

BJ9A>< C4D4@9FD4 ñ < A4IB:89A<S 5B?99

«>4K9EF69AAOI»

BJ9AB> 5G8GF D4EE@BFD9AO A<:9.

 

 

 

4@9K4A<9

 

 

 

 

R5GR

HGA>J<R 6O5BD><

( X1 , X 2 ,...., X n )

A4;O64RF

EF4F<EF<>B=.

44

#D<@9D

#GEFP E?GK4=A4S 69?<K<A4 X <@99F ABD@4?PAB9 D4ECD989?9A<9 N (m;ó ) < A9<;69EFAO@ C4D4@9FDB@ S6?S9FES

@4F9@4F<K9E>B9 B:<84A<9

m . #GEFP E?GK4=AB= 69?<K<A9 X

EBBF69FEF6G9F

6O5BD>4

( X1 , X 2 ,...., X n )

<

CB?GK9A4

D94?<;4J<S QFB=

6O5BD><

(x1 , x2 ,...., xn ) . BCGEF<@, KFB 6

>4K9EF69 BJ9A><

C4D4@9FD4 m 6O5D4A4 HGA>J<S

6O5BD><

6<84

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

m( X n ) ý

X k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n k ý1

 

 

(CBK9@G <@9AAB QF4 HGA>J<S – A9 B5EG:849FES). &B784 6 >4K9EF69 ;A4K9A<S A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 m 59D9FES K<E?B,

D46AB9

 

 

1

 

n

 

 

m ý

 

xk .

 

 

 

 

 

 

n k ý1

 

&4> >4> ñˆ ý ñ( X1 , X 2 ,..., X n ) 9EFP E?GK4=A4S 69?<K<A4,

FB A9<;69EFAB@G C4D4@9FDG ñ

EF46<FES 6 EBBF69FEF6<9 A9

B8AB K<E?B, 4 @AB:9EF6B K<E9?, 4 <@9AAB, @AB:9EF6B

D94?<;4J<=

ñ(x1 , x2 ,...., xn )

E?GK4=AB=

69?<K<AO

ñˆ ý ñ( X1 , X 2 ,..., X n ) . ;46<E<@BEF< BF D94?<;4J<< 6O5BD><

(CB?GK9AAB=

6 D9;G?PF4F9 Q>EC9D<@9AFB6) D94?<;4J<S

ñ(x1 , x2 ,...., xn )

E?GK4=AB= 69?<K<AO ñˆ ý ñ( X1 , X 2 ,..., X n )

45

@B:9F ?<5B E<?PAB BF?<K4FPES BF <EF<AAB7B ;A4K9A<S ñ ,

?<5B A9 E<?PAB. BA9KAB, IBF9?BEP 5O, KFB5O D94?<;4J<S ñ(x1 , x2 ,...., xn ) >4> @B:AB K4M9 5O?4 5?<:9 > <EF<AAB@G

;A4K9A<R ñ

< >4> @B:AB D9:9 ;A4K<F9?PAB BF?<K4?4EP BF

<EF<AAB7B ;A4K9A<S ñ . 'FB5O QFB <@9?B @9EFB, A9B5IB8<@B,

KFB5O E?GK4=A4S

69?<K<A4

ñˆ ý ñ( X1 , X 2 ,..., X n )

CB

6B;@B:ABEF<

G8B6?9F6BDS?4

D4EE@4FD<649@O@

A<:9

GE?B6<S@.

 

 

 

 

"CD989?9A<9

 

 

 

 

"J9A>4

ñˆ( X n )

A9<;69EFAB7B

C4D4@9FD4 ñ A4;O649FES

A9E@9M9AAB=, 9E?< 99 @4F9@4F<K9E>B9 B:<84A<9 EB6C4849F EB ;A4K9A<9@ QFB7B C4D4@9FD4

M (ñˆ( X n )) ý ñ.

?S FB7B, KFB5O 8B>4;4FP A9E@9M9AABEFP (<?< E@9M9AABEFP) BJ9A>< EB6E9@ A9 B5S;4F9?PAB ;A4FP ;A4K9A<9 ñ <

M (ñˆ( X n )) . !9E@9M9AABEFP BJ9A>< ñˆ( X n ) @B:AB 8B>4;4FP <ECB?P;GS E4@ 6<8 HGA>J<< ñˆ( X n ) . $4EE@BFD<@ QFB A4

CD<@9D9.

#D<@9D

#GEFP ( X1 , X 2 ,...., X n ) - 6O5BD>4, EBBF69FEF6GRM4S E?GK4=AB= 69?<K<A9 X . &B784 BJ9A>4

46

 

 

 

n

 

 

( X n ) ý

1

X k

X

 

 

n k ý1

9EFP A9E@9M9AA4S BJ9A>4 @4F9@4F<K9E>B7B B:<84A<S E?GK4=AB= 69?<K<AO X , FB 9EFP

M ( 1 n X k ) ý M ( X ). n k ý1

E4@B@ 89?9, EB7?4EAB E6B=EF64@ @4F9@4F<K9E>B7B B:<84A<S

 

1

n

1

n

M (

X k ) ý

M ( X k )

 

 

 

n k ý1

n k ý1

89EP GKF9AB, KFB M ( X k ) ý M ( X ) .

"CD989?9A<9

"J9A>4 ñˆ( X n ) A9<;69EFAB7B

ý1 nM ( X ) ý M ( X ). n

C4D4@9FD4 ñ A4;O649FES

EBEFBSF9?PAB=, 9E?< BA4 CB 69DBSFABEF< EIB8<FES > A9<;69EFAB@G C4D4@9FDG ñ , FB 9EFP

lim P(ñˆ( X n ) ñ ü õ ) ý 1 CDи n .

%BEFBSF9?PABEFP BJ9A>< B;A4K49F, KFB CD< 8BEF4FBKAB 5B?PLB@ B5N9@9 6O5BD>< D94?<;4J<S BJ9A>< CBKF< 6E9784 5G89F E>B?P G7B8AB 5?<;>4 > C4D4@9FDG ñ (< FB?P>B <;D98>4 5G89F BF>?BASFPES A4 69?<K<AG 5B?PLGR õ ). &4> :9, >4> < 6

47

E?GK49 A9E@9M9AABEF<, 8?S CDB69D>< EBEFBSF9?PABEF< BJ9A>< ;A4A<S ;A4K9A<S A9<;69EFAB7B C4D4@9FD4 ñ A9 FD95G9FES.

"CD989?9A<9

!9E@9M9AA4S BJ9A>4 ñˆ( X n ) A4;O649FES QHH9>F<6AB=,

9E?< 99 8<EC9DE<S @<A<@4?PA4 CB ED46A9A<R E 8<EC9DE<S@< 8DG7<I A9E@9M9AAOI BJ9AB> CD< B8AB@ < FB@ :9 B5N9@9 6O5BD><.

$4A99 5O?B CB>4;4AB, KFB BJ9A>4

 

 

 

n

 

 

( X n ) ý

1

X k

X

 

 

n k ý1

S6?S9FES A9E@9M9AAB= BJ9A>B= @4F9@4F<K9E>B7B B:<84A<S. B:AB CB>4;4FP (@O QFB7B 89?4FP A9 5G89@), KFB BJ9A>4

X ( X n ) S6?S9FES EBEFBSF9?PAB= BJ9A>B= @4F9@4F<K9E>B7B

B:<84A<S, 4 8?S ABD@4?PAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO BA4 S6?S9FES < QHH9>F<6AB= BJ9A>B= @4F9@4F<K9E>B7B B:<84A<S.

B:AB CB>4;4FP, KFB 6O5BDBKA4S 8<EC9DE<S

 

 

n

D6

( X n ) ý

1

( X k

X

) 2 ,

 

 

 

n k ý1

789

48

X ý 1 n X k , n k ý1

S6?S9FES E@9M9AAB= BJ9A>B= 8<EC9DE<< E?GK4=AB= 69?<K<AO X , 4 <@9AAB, <@99F @9EFB E?98GRM99 EBBFABL9A<9

 

 

)) ý

n 1

 

M (D ( X

 

D( X ).

n

 

6

 

n

 

 

 

#BQFB@G 6 >4K9EF69 BJ9A>< 8<EC9DE<< E?GK4=AB= 69?<K<AO X <ECB?P;G9FES <ECD46?9AA4S 6O5BDBKA4S 8<EC9DE<S

 

 

) ý

n

 

 

 

S 2 ( X

 

D ( X

 

).

n

 

 

n

 

 

n 1

6

 

 

 

 

 

 

 

?S BJ9A>< S 2 ( X n ) <@99F @9EFB E?98GRM4S F9BD9@4.

&9BD9@4

ECD46?9AA4S 6O5BDBKA4S 8<EC9DE<S

 

 

) ý

n

 

 

 

S 2 ( X

 

D ( X

 

)

n

 

 

n

 

 

n 1

6

 

 

 

 

 

 

 

S6?S9FES A9E@9M9AAB= EBEFBSF9?PAB= BJ9A>B= 8<EC9DE<< E?GK4=AB= 69?<K<AO X .

!<:9 D4EE@4FD<64RFES @9FB8O A4IB:89A<S FBK9KAOI BJ9AB> (4 CB EGM9EF6G, @9FB8O A4IB:89A<S K<E?B6OI

49

HGA>J<= n C9D9@9AAOI), >BFBDO9 G8B6?9F6BDSRF G>4;4AAO@

6OL9 E6B=EF64@ (<?< IBFS 5O A9>BFBDO@ <; A<I).

#D9864D<F9?PAB ;4@9F<@ E?98GRM99. E?< <@99FES HGA>J<S 6O5BD>< ( X1 , X 2 ,..., X n ) , FB QFB= HGA>J<< @B:AB

CBEF46<FP 6 EBBF69FEF6<9 K<E?B6GR HGA>J<R (x1 , x2 ,..., xn ) K<E?B6OI C9D9@9AAOI (x1 , x2 ,...., xn ) . A4B5BDBF, 6ES>B= K<E?B6B= HGA>J<< n K<E?B6OI C9D9@9AAOI (x1 , x2 ,..., xn )

@B:AB CBEF46<FP 6 EBBF69FEF6<9 HGA>J<R 6O5BD><

( X1 , X 2 ,..., X n ) .

!4CD<@9D, CGEFP <@99FES HGA>J<S 6O5BD><

( X n ) ý X12 û X 22 û ... û X n2 .

E?< ;4@9A<FP E?GK4=AO9 69?<K<AO K<E?B6O@< C9D9@9AAO@< (x1 , x2 ,...., xn ) , FB CB?GK<@ K<E?B6GR HGA>J<R

(x1 , x2 ,..., xn ) ý x12 û x22 û ... û xn2

K<E?B6OI C9D9@9AAOI (x1 , x2 ,...., xn ) . A4B5BDBF, K<E?B6B= HGA>J<< n C9D9@9AAOI, A4CD<@9D, 6<84

(x1 , x2 ,..., xn ) ý x1 û x2 û... û xn

EBBF69FEF6G9F HGA>J<S 6O5BD>< 6<84

( X n ) ý X1 û X 2 û... û X n .

50

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]