Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Элементы математической статистики. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
11.08.2026
Размер:
586 Кб
Скачать

f (x1 , x2 ,...., xn ) ,

FB

9EFP

E?GK4=A4S

69?<K<A4

f ( X1 ,

X 2 ,...., X n ) , A4;O649FES

i - = CBDS8>B6B= EF4F<EF<>B=

(K<E?B

1 i n

8B?:AB 5OFP ;484AB 8?S BCD989?9A<S QFB=

E?GK4=AB= 69?<K<AO) < B5OKAB B5B;A4K49FES E<@6B?B@ X (i ) .

!45BD E?GK4=AOI 69?<K<A ( X (1) , X ( 2) ,..., X ( n) ) , 789 X (i ) - i -S

CBDS8>B64S EF4F<EF<>4, A4;O649FES 64D<4J<BAAO@ DS8B@ 6O5BD>< ( X1 , X 2 ,...., X n ) ( 6 6O5BD>9 <A89>EO 6 E>B5>G A9

59DGFES).

&9C9DP BCD989?<@ K<E?B6GR HGA>J<R n C9D9@9AAOI f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) E?98GRM<@ B5D4;B@. 4H<>E<DG9@ K<E?B

xo þ( ; û ) . 4:8B@G A45BDG (x1 , x2 ,...., xn ) CBEF46<@ 6 EBBF69FEF6<9 >B?<K9EF6B K<E9? 6 A45BD9 @9APL<I K<E?4 xo .

!4CD<@9D,

CGEFP xo

ý 3.5 < n ý 5 . !45BDG

K<E9?

(3, 2, 1, 4, 7)

EF46<FES

6 EBBF69FEF6<9 K<E?B 3 F4>

>4> 6

A45BD9 9EFP FD< K<E?4 @9APL<I 3.5, 4 <@9AAB K<E?4 -1, 2, 3. % CB@BMPR BCD989?9AAB= F4><@ B5D4;B@ K<E?B6B= HGA>J<< n

C9D9@9AAOI @B:AB BCD989?<FP E?GK4=AGR 69?<K<AG >4>

HGA>J<R

E?GK4=AOI 69?<K<A

ˆ(

 

( X1 , X 2 ,...., X n ) . 1FG

E?GK4=AGR

69?<K<AG B5B;A4K<@

x

o ,

X

n ) , 789

CD<@9A9AB

 

 

n

 

 

 

B5B;A4K9A<9 X n ý ( X 1 , X 2 ,...., X n ) .

E?<

QFG

E?GK4=AGR

69?<K<AG «ABD@<DB64FP» A4 n (D4;89?<FP A4 n ), FB CB?GK<@

E?GK4=AGR 69?<K<AG

21

nˆ( xo ; X n )

n .

E?< F9C9DP xo 5G89F C9D9@9AAB=, >BFBDGR B5B;A4K<@ K9D9; x , FB CB?GK<@ E?GK4=AGR HGA>J<R

ˆ

ˆ(

x

; X n )

 

Fn ( x) ý

n

 

 

 

 

n

.

 

 

 

 

1F4 E?GK4=A4S HGA>J<S < 9EFP, CB BCD989?9A<R, 6O5BDBKA4S HGA>J<S D4ECD989?9A<S, BCD989?9AA4S 6OL9. #GEFP F9C9DP

xn ý (x1 , x2 , ..., xn )

9EFP

D94?<;4J<S

6O5BD><

X n ý ( X 1 , X 2 ,...., X n )

( FB 9EFP

H<>E<DB64AAO=

A45BD n

K<E9?). &B784 CB?GK<@ HGA>J<R 4D7G@9AF4 x

 

 

 

 

 

Fn

( x) ý

n( x; xn )

 

n

,

 

 

 

 

 

BFBD4S S6?S9FES D94?<;4J<9= 6O5BDBKAB= HGA>J<9= D4ECD989?9A<S. ; BCD989?9A<S Q@C<D<K9E>B= HGA>J<< D4ECD989?9A<S E?98G9F, KFB D94?<;4J<S 6O5BDBKAB= HGA>J<< D4ECD989?9A<S S6?S9FES Q@C<D<K9E>B= HGA>J<9= D4ECD989?9A<S.

22

&9C9DP EHBD@G?<DG9@ F9BD9@G ?<69A>B, >4E4RMGRES

6O5BDBKAB= HGA>J<< D4ECD989?9A<S ˆ .

Fn ( x)

&9BD9@4

#BE?98B64F9?PABEFP E?GK4=AOI 69?<K<A

sup p

 

ˆ

( x) F ( x)

 

 

 

 

Fn

 

x þ ( ; û )

 

EIB8<FES CBKF< A469DAB9 > AG?R CD< n , 789

ˆ

Fn ( x) -

6O5BDBKA4S HGA>J<S D4ECD989?9A<S,

F ( x) -

HGA>J<S

D4ECD989?9A<S E?GK4=AB= 69?<K<AO

X , >BFBDB=

6O5BD>4

EBBF69FEF6G9F ( X1 , X 2 ,...., X n ) .

 

 

"F@9F<@, KFB @B8G?P D4;ABEF<

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

Fn ( x) F ( x)

 

 

EFP CBE?98B64F9?PABEFP E?GK4=AOI HGA>J<=. !B F4> >4> 59D9FES FBKA4S 69DIASS 7D4AP, FB 6@9EFB CBE?98B64F9?PABEF< E?GK4=AOI HGA>J<= CB?GK49@ CBE?98B64F9?PABEFP E?GK4=AOI 69?<K<A

23

ˆ

( x) F ( x)

sup p Fn

x þ ( ; û )

!4CB@A<@ BCD989?9A<9 EIB8<@BEF< CBKF< A469DAB9.

"CD989?9A<9

#BE?98B64F9?PABEFP E?GK4=AOI 69?<K<A X n EIB8<FES > E?GK4=AB= 69?<K<A9 X o CBKF< A469DAB9 CD< n , KFB

;4C<EO649FES 6 6<89

X n X o C.A. CD< n ,

9E?< CBE?98B64F9?PABEFP E?GK4=AOI 69?<K<A X n ( ) , 789 =

Q?9@9AF4DAB9 EB5OF<9, EIB8<FES > E?GK4=AB= 69?<K<A9 X o ( ) >4> CBE?98B64F9?PABEFP HGA>J<= 4D7G@9AF4 CBKF<

8?S 6E9I , 4 <@9AAB, IBFS 5O 8?S F9I , >BFBDO9 B5D4;GRF CB8@AB:9EF6B Q?9@9AF4DAOI EB5OF<= F4>B9, KFB 97B

69DBSFABEFP

 

P( ) ý 1. #B 8DG7B@G @B:AB E>4;4FP F4>:

X n X o

C.A. CD< n , 9E?< 8?S ?R5B7B õ þ 0 ,

8?S ?R5B7B

 

þ ( 789 9EFP CB8@AB:9EF6B

@AB:9EF64

Q?9@9AF4DAOI EB5OF<= F4>B9, KFB 97B

24

69DBSFABEFP P( ) ý 1), A4=89FES AB@9D N (õ; ) F4>B=, KFB 8?S 6E9I n N (õ; ) 6OCB?AS9FES A9D469AEF6B

X n ( ) X o ü õ .

"F@9F<@, KFB <; EIB8<@BEF< CBKF< A469DAB9 E?98G9F

EIB8<@BEFP CB 69DBSFABEF< CBE?98B64F9?PABEF<

 

E?GK4=AOI

69?<K<A X n

> E?GK4=AB=

 

69?<K<A9

X o .

%IB8<@BEFP CB

69DBSFABEF<

 

 

BCD989?S9FES

 

F4>: X n

X o

CD<

 

n CB

69DBSFABEF<,

 

 

9E?< 8?S

 

?R5B7B

 

 

 

õ þ 0

 

K<E?B64S

CBE?98B64F9?PABEFP 69DBSFABEF9=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(

 

X n X o

 

) ü õ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EIB8<FES > 1 CD< n , FB 9EFP

 

 

 

 

 

 

lim P(

 

X n X o

 

ü õ) ý1 CDи n .

 

 

1FB B;A4K49F, KFB 69DBSFABEFP EB5OF<S

 

X n X o

 

ü õ 5G89F

 

 

E>B?P G7B8AB 5?<;>4 > 1, >B784 n 5G89F 8BEF4FBKAB 69?<>B.

25

1 # $ ' % 3 # "&!"%&0 $ %#$ ! 3

E?< E?GK4=A4S

69?<K<A4

X ,

>BFBDB= EBBF69FEF6G9F

6O5BD>4

( X1 , X 2 ,...., X n ) , S6?S9FES A9CD9DO6AB=

< B5N9@

6O5BD><

5B?PLB=

(n 50) ,

FB

66B8<FES

CBASF<9

Q@C<D<K9E>B= C?BFABEF< HGA>J<< D4ECD989?9A<S, >BFBD4S <ECB?P;G9FES 6 >4K9EF69 CD<5?<:9A<S 8?S C?BFABEF< HGA>J<< D4ECD989?9A<S p( x) E?GK4=AB= 69?<K<AO X .

"CD989?9A<9

#GEFP <@99FES D94?<;4J<S 6O5BD>< (x1 , x2 ,...., xn ) . #B

D94?<;4J<< 6O5BD>< @B:AB CBEFDB<FP <AF9D64?PAO= EF4F<EF<K9E><= DS8 BFABE<F9?PAOI K4EFBF (E@. EFD. 8; CDB@9:GF>B6 A4 98<A<JG @9APL9 K<E?4 64D<4AF)

[ xi ; xi û1 )

 

[ x1 ; x2 )

 

&&&

 

xm 1 ; xm ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

ý

 

ni

 

p ú

 

&&&

 

p ú

pi

 

 

 

 

1

 

 

 

m 1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#GEFP

 

 

- 8?<A4 CDB@9:GF>4

[ xi ; xi û1 ) ,

i ý 1, 2,....., m 1 .

$4;89?<@ 6E9 K<E?4 A<:A9= EFDB>< A4 8?<AG CDB@9:GF>4 .

#B?GK<@ F45?<JG

26

 

[ xi ; xi û1 )

 

 

 

 

[ x1 ; x2 )

 

 

 

&&&.

 

[ xm 1 ; xm ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

&&&..

 

ú

 

 

pi ý

ni

 

 

 

 

 

pi

 

 

 

 

 

 

 

pm 1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(GA>J<S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ü p

ú

, еE?и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

ÿ

 

i

 

x þ [ x i

; x i û 1 ), i ý 1, 2,....m 1,

 

ý

 

 

 

p n ( x)

ý

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÿ0,

 

еE?и x

ÿ [ x

1

; x

m

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!4;O649FES

 

 

 

Q@C<D<K9E>B=

 

 

C?BFABEFPR

 

HGA>J<<

D4ECD989?9A<S,

 

EBBF69FEF6GRM9= D94?<;4J<<

(x1 , x2 ,...., xn )

6O5BD>< ( X1 , X 2 ,...., X n ) . D4H<> HGA>J<< pnú

( x)

CD98EF46?S9F >GEBKAB CBEFBSAAGR HGA>J<R, CD<A<@4RMGR

;A4K9A<9

p ú

 

A4 CDB@9:GF>9 [ xi ; xi û1 ) , i ý 1,2,...., m 1 . D4H<>

 

i

 

HGA>J<<

 

pnú ( x) A4;O649FES 7<EFB7D4@@B=. &<C<KA4S

7<EFB7D4@@4 CD<6989A4 A4 D<EGA>9 2.

4@9K4A<9

'4EFB 7<EFB7D4@@B= A4;O64RF 8<47D4@@G, EBEF46?9AAGR <; CDS@BG7B?PA<>B6 E BEAB64A<9 8?<AB= .

<EFB7D4@@4 F4>B7B 6<84 CD<6989A4 A4 D<EGA>9 3.

27

 

 

$<E. 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#B>4:9@, KFB HGA>J<R pnú ( x)

@B:AB <ECB?P;B64FP 6

>4K9EF69 CD<5?<:9A<S 8?S A9<;69EFAB= C?BFABEF< HGA>J<<

D4ECD989?9A<S p( x) E?GK4=AB= 69?<K<AO X .

 

 

 

 

 

 

 

 

$4EE@BFD<@

E?GK4=AGR

69?<K<AG

ˆi (

X

1 ,

X

2 ,...,

X

n )

,

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

>BFBD4S 8?S >4:8B= D94?<;4J<< 6O5BD>< (x1 , x2 ,...., xn )

D46A4

K<E?G Q?9@9AFB6 D94?<;4J<< 6O5BD><, CBC484RM<I 6

CDB@9:GFB>

[xi ; xi û1 ), i ý 1,2,..., m 1.

E?<

8?<A4

QFB7B

CDB@9:GF>4

( ý xi û1 xi , i ý 1,2,..., m 1)

8BEF4FBKAB @4?4,

FB 69DBSFABEFP

CBC484A<S

E?GK4=AB=

69?<K<AO X

6

CDB@9:GFB> [ xi ; xi û1 ) , >4> <;69EFAB, CD<@9DAB D46A4 p( xiú ) ,

 

 

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$<E. 3.

 

789

 

xiú

 

- E9D98<A4 CDB@9:GF>4 [ xi ; xi û1 ) . &B784, EB7?4EAB

;4>BAG 5B?PL<I K<E9? 6 HBD@9 9DAG??<, E?GK4=A4S 69?<K<A4

 

n

(

X

1 ,

X

2

,...,

X

n )

 

 

 

 

ˆi

 

 

 

, >BFBD4S

9EFP

BFABE<F9?PA4S K4EFBF4

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CBC484A<S E?GK4=AB= 69?<K<AO X

6 CDB@9:GFB> [ xi ; xi û1 ) ,

EIB8<FES

CB

 

69DBSFABEF< >

K<E?G, D46AB@G 69DBSFABEF<

CBC484A<S E?GK4=AB= 69?<K<AO X 6 CDB@9:GFB> [ xi ; xi û1 ) , FB

9EFP

29

 

ˆi (

X

1

,

X

2 ,...,

X

n )

p( xiú )

CDи n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB 6еDBяFABEFи.

 

 

 

%?98B64F9?PAB, CD< 8BEF4FBKAB 5B?PL<I

n (< 8BEF4FBKAB

@4?B@ )

@B:AB

CB?B:<FP, KFB D94?<;4J<S E?GK4=AB=

69?<K<AO

ˆi

(

X

1 ,

X

2

,...,

X

n )

CD<@9DAB D46A4

p( xiú ) , FB 9EFP

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

p( xú ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

-

 

 

 

 

 

 

 

n

 

X

 

X

 

 

X

 

,

89 i

 

 

 

 

 

 

 

(

1 ,

2

,...,

n )

 

D94?<;4J<S E?GK4=AB= 69?<K<AO ˆi

 

 

 

 

 

EBBF69FEF6GRM4S

D94?<;4J<<

(x1 , x2 ,...., xn )

 

6O5BD><

( X1 , X 2 ,...., X n ) .

"FER84

E?98G9F,

KFB

CBKF<

 

6E9784

6OCB?AS9FES CD<5?<:9AAB9 D469AEF6B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

p( xú ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F4>, CD< 8BEF4FBKAB 5B?PL<I

n < @4?OI HGA>J<R

pnú ( x)

@B:AB <ECB?P;B64FP 6 >4K9EF69 CD<5?<:9A<S

 

8?S

C?BFABEF< HGA>J<< D4ECD989?9A<S E?GK4=AB= 69?<K<AO

 

X .

B6BDSF

 

F4>:9,

KFB pnú ( x) S6?S9FES

BJ9A>B=

C?BFABEF<

HGA>J<< D4ECD989?9A<S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]