Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Элементы математической статистики. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
11.08.2026
Размер:
586 Кб
Скачать

#B?GK49@ CDB@9:GF><

[153;158.5), [158.5; 164), [164;169.5), [169.5; 175), [175; 180.5), [180.5; 186].

<FB79 CB?GK49@ <AF9D64?PAO9 EF4F<EF<K9E><9 DS8O 8?S

K4EFBF (NI) < BFABE<F9?PAOI K4EFBF

( piú ý

ni

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[XI,XI+1)

[153;

[158.5

[164;

 

[169.5;

 

[175;

180.5;

 

 

 

 

158.5)

; 164)

169.5)

 

175)

 

180.5)

186)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NI

7

 

3

 

6

 

 

6

 

 

5

 

3

 

p ú

ý

ni

 

7

 

3

 

6

 

 

6

 

 

5

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

n

30

 

30

 

30

 

 

30

 

 

30

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

1 # $ ' % 3 ('! & 3 $ %#$ ! 3

"CD989?9A<9

#GEFP <@99FES D94?<;4J<S 6O5BD>< (X1,X2,&,XN). !4 K<E?B6B= CDS@B= (-; +∞) BCD989?<@ HGA>J<R N(X) E?98GRM<@ B5D4;B@: >4:8B@G xϵ(-; +) EF46<FES 6

EBBF69FEF6<9 K<E?B Q?9@9AFB6 6 D94?<;4J<< 6O5BD>< @9APL<I X. &4><@ B5D4;B@, HGA>J<S N(X) CD<A<@49F ;A4K9A<S BF 0 8B N, 789 N – B5N9@ 6O5BD><. E?< QFG HGA>J<R

<ABD@<DB64FP= A4 B5N9@ 6O5BD><, FB CB?GK<@ HGA>J<R

F ú ( x) ý n( x) . n

1F4 HGA>J<S A4;O649FES Q@C<D<K9E>B= HGA>J<9= D4ECD989?9A<S, EBBF69FEF6GRM9= D94?<;4J<< 6O5BD>< (X1,X2,&,XN). &4> >4> n( x) CD<A<@49F ;A4K9A<S BF 0 8B N, FB

HGA>J<S F ú ( x) CD<A<@49F ;A4K9A<S BF 0 8B 1.

#D9:89 K9@ CD<6B8<FP CD<@9D CBEFDB9A<S Q@C<D<K9E>B= HGA>J<< D4ECD989?9A<S, E89?49@ E?98GRM99 ;4@9K4A<9.

4@9K4A<9

#GEFP CB D94?<;4J<< 6O5BD>< (X1,X2,&,XN) CBEFDB9A

EF4F<EF<K9E><= DS8 BFABE<F9?PAOI K4EFBF

Z(I)

 

 

 

Z(1)

Z(2)

............

Z(M)

ú

ý

ni

p ú

p

ú

............

p

ú

pi

 

 

1

 

2

 

 

m

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

1FG F45?<JG @B:AB D4EE@4FD<64FP >4> ;4>BA D4ECD989?9A<S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO Z, CD<A<@4RM9= ;A4K9A<S

Z(1), Z(2), ...,Z(M) E 69DBSFABEFS@< p1ú , p2ú ,..., pmú .

E4@B@ 89?9, 8?S FB7B, KFB5O F4>4S F45?<J4 CD98EF46?S?4 ;4>BA D4ECD989?9A<S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO A9B5IB8<@B < 8BEF4FBKAB, KFB5O K<E?4 6 A<:A9= EFDBK>9 F45?<JO G8B6?9F6BDS?< GE?B6<R

p1ú û p2ú û ... û pmú ý 1.

!B ?97>B 6<89FP, KFB QFB GE?B6<9 6OCB?AS9FES F4> >4>

pú û pú û ... û pú

ý

n1

û

n2

û ... û

nm

ý

 

 

 

1

2

m

 

n

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

ý1 (n1 û n2 û ... û nm ). n

#B BCD989?9A<R K<E9? ni

n1 û n2 û ... û nm ý 1.

"FER84 E?98G9F, KFB

pú û p

ú û ... û p

ú

ý

1

n ý 1

.

m

 

1

2

 

n

 

 

 

 

 

(GA>J<S D4ECD989?9A<S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO F(Z), CBEFDB9AA4S CB QFB= F45?<J9, 9EFP >GEBKAB

13

CBEFBSAA4S HGA>J<S E D4;DO64@< 6 FBK>4I Z(I). !9FDG8AB

6<89FP, KFB QF4 HGA>J<S EB6C4849F E D4A99 66989AAB= Q@C<D<K9E>B= HGA>J<9= D4ECD989?9A<S F ú ( x) . E4@B@

89?9, >4> < 8?S ?R5B= 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO, ;A4K9A<9 HGA>J<< F(ZO) 6 FBK>9 ZO D46AB EG@@9 69DBSFABEF9= , EBBF69FEF6GRM<I F9@ ;A4K9A<S@ Z(I), >BFBDO9 @9APL9 ZO, F.9.

D46AB p1ú û p2ú û ... û pkú .

!B

EG@@4

QF<I 69DBSFABEF9=

D46A4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pú û pú û ... û pú

ý

n1

û

n2

 

û ... û

nk

ý

 

 

 

1

2

k

 

n

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

ý1 (n1 û n2 û ... û nk ). n

789 n1 û n2 û ... û nk

9EFP K<E?B Q?9@9AFB6 6 D94?<;4J<<

6O5BD>< @9APL<I K<E?4 ZO. %?98B64F9?PAB

 

 

 

 

1

(n û n

û ... û n ) ý F ( z

 

)

 

 

 

o

.

 

n

1 2

k

 

 

 

 

 

 

 

"FER84 E?98G9F, KFB 8?S CBEFDB9A<S Q@C<D<K9E>B= HGA>J<< D4ECD989?9A<S , EBBF69FEF6GRM9= ;484AAB= D94?<;4J<< 6O5BD><, @B:AB CBEFGC<FP E?98GRM<@ B5D4;B@.?S ;484AAB= D94?<;4J<< 6O5BD>< CBEFDB<@ EF4F<EF<K9E><= DS8 BFABE<F9?PAOI K4EFBF. 4?99, D4EE@4FD<64S QFBF EF4F<EF<K9E><= DS8 (F45?<JG) >4> ;4>BA D4ECD989?9A<S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO, CBEFDB<@ HGA>J<R D4ECD989?9A<S QFB= E?GK4=AB= 69?<K<AO. #B?GK9AA4S

14

HGA>J<S D4ECD989?9A<S < 5G89F, EB7?4EAB E>4;4AAB@G 6OL9, Q@C<D<K9E>B= HGA>J<9= D4ECD989?9A<S, EBBF69FEF6GRM9= ;484AAB= D94?<;4J<< 6O5BD><.

$4EE@BFD<@ CD<@9D CBEFDB9A<S Q@C<D<K9E>B= HGA>J<< D4ECD989?9A<S.

#D<@9D

#B D94?<;4J<< 6O5BD><

107, 108, 110, 109, 110, 111, 109, 110, 111, 107, 108, 109, 110, 108, 107, 110, 109, 111, 111, 110, 109, 112, 113, 110, 106, 110, 109, 110, 108, 112

CBEFDB<FP Q@C<D<K9E>GR HGA>J<R D4ECD989?9A<S .

$9L9A<9

#B ;484AAB= D94?<;4J<< 6O5BD>< CBEFDB<@ EF4F<EF<K9E><= DS8 BFABE<F9?PAOI K4EFBF. 1FBF EF4F<EF<K9E><= DS8 5O? CBEFDB9A 6 CD<@9D9 A4 EFD4A<J9 6. BA <@99F 6<8

 

 

X(I)

106

107

108

109

110

111

112

113

p

ú

ý

ni

 

 

1

 

 

3

 

 

4

 

 

6

 

 

9

 

 

4

 

 

2

 

 

1

 

i

 

30

 

30

 

30

 

30

 

30

 

30

 

30

 

30

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$4EE@4FD<64S QFBF EF4F<EF<K9E><= DS8 >4> ;4>BA D4ECD989?9A<S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO, CBEFDB<@ HGA>J<R D4ECD989?9A<S QFB= 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO. 1F4 HGA>J<S < 5G89F Q@C<D<K9E>B= HGA>J<9=

15

D4ECD989?9A<S, EBBF69FEF6GRM9= ;484AAB= D94?<;4J<< 6O5BD><. #B?GK49@, CB CD46<?4@ CBEFDB9A<S HGA>J<< D4ECD989?9A<S 8<E>D9FAB= E?GK4=AB= 69?<K<AO (CD46<?4 D4EE@4FD<64RFES 6 >GDE9 F9BD<< 69DBSFABEF9=)

 

ü

 

 

 

 

 

 

 

ÿ

 

 

 

 

 

 

 

ÿ0, еE?и x 106

 

 

ÿ

1

 

 

, еE?и 106 ü x 107

 

 

 

ÿ

30

 

 

 

 

 

 

ÿ

4

 

 

 

 

 

 

ÿ

 

 

, еE?и 107 ü x 108

 

 

 

ÿ

30

 

 

 

 

 

 

ÿ

8

 

 

, еE?и 108

ü x

109

 

ÿ

 

 

 

 

 

 

ÿ

30

 

 

 

 

 

Fnú

ÿ14

 

 

, еE?и 109

 

 

( x) ý ý

 

 

 

ü x

110

30

 

ÿ

 

 

 

 

 

 

ÿ

23

 

 

, еE?и 110

ü x

111

 

ÿ

 

 

 

 

30

 

ÿ

 

 

 

 

 

 

ÿ

27

 

 

еE?и 111 ü x 112

 

ÿ

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÿ

29

 

 

 

 

 

ÿ

, еE?и 112 ü x 113

 

 

 

ÿ

30

 

 

 

 

 

 

ÿ

30

 

 

 

 

 

 

ÿ

 

 

, еE?и x þ 113

 

 

 

 

 

 

 

þ

30

 

 

 

 

 

D4H<> QFB= HGA>J<< <;B5D4:9A A4 D<EGA>9 1.

1@C<D<K9E>4S HGA>J<< D4ECD989?9A<S Fnú ( x) <@99F

E4@B9 A9CBED98EF69AAB9 BFABL9A<9 > HGA>J<< D4ECD989?9A<S

16

F ( x) E?GK4=AB= 69?<K<AO X, >BFBDB= EBBF69FEF6G9F 6O5BD>4

$<E. 1.

 

(X1,X2,&,XN) < D94?<;4J<S QFB= 6O5BD><

(X1,X2,&,XN).

@9AAB, E G69?<K9A<9@ B5N9@4 6O5BD>< N HGA>J<S Fnú ( x) 6

>4:8B= FBK>9 X 5G89F EF4AB6<FPES E>B?P G7B8AB 5?<;>B= > HGA>J<< F ( x) CBKF< 6E9784. #D< 8BEF4FBKAB 5B?PL<I N

BF>?BA9A<S Fnú ( x) BF F ( x) 5G8GF 6EFD9K4FPES D98>B. 89EP,

>4> B5OKAB 5O649F 6 @4F9@4F<K9E>B= EF4F<EF<>9, GF69D:89A<S ABESF 69DBSFABEFAO= I4D4>F9D. @9AAB, 9E?< N 5G89F 8BEF4FBKAB 5B?PL<@, FB 69DBSFABEFP FB7B, KFB Fnú ( x)

17

BF>?BA<FES BF

F ( x) A4 E>B?P G7B8AB @4?GR 69?<K<AG (8?S

?R5B7B X) EF4AB6<FES E>B?P G7B8AB @4?B=. B?99 FBKAB E6S;P

Fnú ( x) E F ( x)

6OD4:49FES F9BD9@B= ?<69A>B, >BFBD4S 5G89F

EHBD@G?<DB64A4 A<:9. !4 CD4>F<>9 QFB B;A4K49F, KFB CD<

8BEF4FBKAB

5B?PL<I

N

Q@C<D<K9E>GR

HGA>J<R

D4ECD989?9A<S Fnú ( x)

@B:AB

<ECB?P;B64FP

6@9EFB

A9<;69EFAB= HGA>J<< D4ECD989?9A<S F ( x) (CD< 8BEF4FBKAB 5B?PL<I N). #B 8DG7B@ 7B6BD<FES, KFB HGA>J<R Fnú ( x)

@B:AB <ECB?P;B64FP 6 >4K9EF69 BJ9A>< A9<;69EFAB= HGA>J<< D4ECD989?9A<S F ( x) .

'FB5O EHBD@G?<DB64FP F9BD9@G ?<69A>B, BCD989?<@, F4> A4;O649@GR 6O5BDBKAGR HGA>J<R D4ECD989?9A<S, EBBF69FEF6GRMGR 6O5BD>9 (X1,X2,&,XN). O5BDBKAGR

HGA>J<R D4ECD989?9A<S 5G89@ B5B;A4K4FP E<@6B?B@ ˆ

Fn ( x)

(EB L?SC>B=). O5BDBKA4S HGA>J<S D4ECD989?9A<S

ˆ

( x)

Fn

S6?S9FES E?GK4=AB= HGA>J<9=. !4CB@A<@ BCD989?9A<9

E?GK4=AB= HGA>J<<.

 

 

"CD989?9A<9

 

 

E?< >4:8B@G ;A4K9A<R x þ(a; b) EF46<FES

6

EBBF69FEF6<9 98<AEF69AA4S E?GK4=A4S 69?<K<A4, FB 7B6BDSF, KFB A4 @AB:9EF69 (a; b) ;484A4 E?GK4=A4S HGA>J<S.

"CD989?<@ D94?<;4J<R E?GK4=AB= HGA>J<<.

18

"CD989?9A<9

#GEFP 6 >4:8B= FBK>9 X CB?GK9AO D94?<;4J<< E?GK4=AOI

69?<K<A, EBEF46?SRM<I E?GK4=AGR HGA>J<R

ˆ

F ( x) . &B784

CB?GK<@, KFB >4:8B@G X EF46<FES 6 EBBF69FEF6<9 K<E?B –

D94?<;4J<S E?GK4=AB= 69?<K<AO, EBBF69FEF6GRM9= QFB= FBK>9 X (698P >4:8B= FBK>9 EBBF69FEF6G9F E?GK4=A4S

69?<K<A4).

&4><@ B5D4;B@, CB?GK<@ K<E?B6GR HGA>J<R

F ( x) . 1F4

HGA>J<S

A4;O649FES

D94?<;4J<9=

E?GK4=AB=

 

ˆ

( x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HGA>J<< F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#GEFP

xo -

H<>E<DB64AAB9

K<E?B;

 

xo þ( ; û ) .

"CD989?<@

E?GK4=AGR

69?<K<AG

ˆ(

x

o

,

X

n )

E?98GRM<@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

B5D4;B@.

ˆ(

x

o ,

X

n )

9EFP K<E?B

Q?9@9AFB6

6

6O5BD>9

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X n

ý ( X 1 , X 2 ,...., X n ) CD<A<@4RM<I ;A4K9A<S @9APL<9 K9@

xo

(CB8K9D>A9@, KFB D9KP <89F <@9AAB B 6O5BD>9, 4 A9 B 99

D94?<;4J<<). #D98EF46?9AAO9 A<:9 D4EEG:89A<S CD<6989AO

8?S CBSEA9A<S QFB7B BCD989?9A<S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4>

 

 

<;69EFAB,

 

E?GK4=AGR

 

 

69?<K<AG

ˆ

ý f ( X1 ,

X 2 ,...., X n ) ,

S6?SRMGRES HGA>J<9=

E?GK4=AOI

Z n

69?<K<A

X 1 , X 2 ,...., X n

@B:AB

BCD989?<FP F4>.

ˆ

F4>4S

Z

E?GK4=A4S

69?<K<A4,

 

>BFBD4S

CD<A<@49F

 

;A4K9A<9

z ý f (x1 , x2 ,...., xn ) , >B784 E?GK4=A4S 69?<K<A4 X 1

CD<A<@49F

;A4K9A<9 x1 , E?GK4=A4S

69?<K<A4

X 2

CD<A<@49F

;A4K9A<9

x2 ,E?GK4=A4S

69?<K<A4

X n

CD<A<@49F

;A4K9A<9

xn .

19

OD4:9A<9 f (x1 , x2 ,...., xn ) 9EFP K<E?B64S HGA>J<S N C9D9@9AAOI (x1 , x2 ,...., xn ) . %B7?4EAB BCD989?9A<R, K<E?B64S HGA>J<S N C9D9@9AAOI f (x1 , x2 ,...., xn ) BCD989?S9FES >4>

CD46<?B, CB >BFBDB@G >4:8B@G GCBDS8BK9AAB@G A45BDG K<E9? (x1 , x2 ,...., xn ) EF46<FES 6 EBBF69FEF6<9 BCD989?9AAB9 K<E?B.

'4EFB QFB CD46<?B ;4849FES 6 6<89 HBD@G?O, AB QFB A9 B5S;4F9?PAB. @4F9@4F<K9E>B= EF4F<EF<>9 K4EFB <ECB?P;GRF >4> D4; HGA>J<< f (x1 , x2 ,...., xn ) , ;484649@O9 A9 HBD@G?B=, 4

>4><@-FB <AO@ CD46<?B@. $4EE@BFD<@ CD<@9D F4>B7B ;484A<S HGA>J<<. 4848<@ HGA>J<R f (x1 , x2 ,...., xn ) CB E?98GRM9@G

CD46<?G: >4:8B@G A45BDG (x1 , x2 ,...., xn ) EF46<FES 6

EBBF69FEF6<9

K<E?B,

EFBSM99

A4

I-@

(1 i n -

H<>E<DB64AAB9 K<E?B)

@9EF9, CBE?9 FB7B >4> A45BD K<E9?

5G89F 6OEFDB9A 6 CBDS8>9 6B;D4EF4A<S. >4K9EF69 CD<@9D4

6B;P@9@ >BA>D9FAO=

E?GK4=

 

8?S

n ý 5 .

#GEFP

(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ý (2, 1, 4, 7, 5) . #GEFP

i ý 3 (K<E?B

i

8B?:AB

5OFP ;484AB). $4ECB?4749@ K<E?4 A45BD4 6 CBDS8>9

6B;D4EF4A<S

(1, 2, 4, 5, 7) . <8<@,

KFB A4

3-@ @9EF9 EFB<F

K<E?B 4. %?98B64F9?PAB, A45BDG K<E9? (2, 1, 4, 7, 5)

EF46<FES 6

EBBF69FEF6<9

K<E?B 4.

1FB CD46<?B

BCD989?S9F

HGA>J<R

f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) . "F@9F<@, KFB CD< <;@9A9A<< K<E?4 C9D9@9AAOI (x1 , x2 ,...., xn ) HBD@G?<DB6>4 84AAB7B CD46<?4

H4>F<K9E>< A9 @9AS9FES (6 FB@ E@OE?9, KFB 8?S ?R5B7B n

CD46<?B HBD@G?<DG9FES B8A<@< < F9@< :9 E?B64@<). %?GK4=A4S 69?<K<A4, >BFBD4S BCD989?S9FES 6O5BD>B= ( X1 , X 2 ,...., X n ) E CB@BMPR D4EE@BFD9AAB= 6OL9 HGA>J<<

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]