Электронно-цифровые элементы и устройства. Лабораторный практикум. Учебное пособие

Рис. 5. Адресация клеток матрицы для четырех переменных

Составим матрицу Вейча – Карно для примера 1 (рис. 6) и запишем минимальную дизъюнктивную нормальную форму:

y = A0 × B1× B0 Ú A1× B1 Ú A1× A0 × B0 .

Как видно, она совпала с функцией, полученной ранее.

Рис. 6. Пример минимизации функции четырех переменных

Для второго разряда у из примера 2 проведем последовательное склеивание всех конъюнкций, отличающихся состоянием только одного разряда:

21

y2 = A0 × В1 × B0 Ú A1× A0 × B1 Ú A1 × B1 × B0 Ú A1× B1× B0 Ú A1 × A0 × B0 Ú

Ú A1× A0 × B1.

Разрядность всех конъюнкций одинакова, следовательно, поглощения отсутствуют, поэтому повторяем попытку склеивания:

y2 = A0 × В1× B0 Ú A1× B1 Ú A1× B1 Ú A1× A0 × B0 Ú

ÚA1× A0 × B1 = A0 × В1× B0 Ú A1× B1 Ú A1× A0 × B0 Ú A1× A0 × B1.

Впоследнем выражении в результате операции поглощения со второй и четвертой конъюнкциями последняя конъюнкция исчезает:

y2 = A0 × В1 × B0 Ú A1 × B1× (1 Ú В0)Ú A1 × A0 × B0 = A0 × В1 × B0 Ú A1 × B1 Ú

Ú A1 × A0 × B0.

Составим матрицу Вейча– Карно без записи нулей, поскольку они не несут информации (рис. 7).

Рис. 7. Минимизация логической функции

Минимизированная логическая функция для объединений элементов записывается в виде дизъюнкции(логической суммы) конъюнкций объединенных единиц, исключая элементы, имеющие в объединении разные состояния:

y2 = A0 × В1× B0 Ú A1× B1Ú A1× A0 × B0.

22

Запись логических функций в заданном базисе

Любую функцию булевой логики можно реализовать в -ес тественном базисе, то есть с помощью комбинаций трёх базовых функций: И, ИЛИ, НЕ. Также можно доказать, что любую логическую функцию можно реализовать комбинацией функций , И НЕ, либо функций ИЛИ, НЕ

Чтобы записать функцию в базисе И-НЕ, следует исключить операцию логического сложения ИЛИ. Для этого пользуются теоремой двойственности или де Моргана:

x Ú y = x × y.

Запишем выражение у2 в базисе И-НЕ. Чтобы исключить операцию ИЛИ, применим двойное отрицание к правой части логической функции для у2, что не изменит левой части, и заменим отрицание дизъюнкций элементов конъюнкцией их отрицаний:

y2 = A0 × В1× B0 Ú A1× B1Ú A1× A0 × B0 = A0 × В1× B0 × A1× B1× A1× A0 × B0.

Составление функциональных схем по логическим или переключательным функциям

Логические выражения или переключательные функции легко реализуются на простейших дискретных логических элементах, которыми являются инверторы, схемы логического умножения, логического сложения, а также комбинированные элементы. Изображения элементов на схемах представлены ниже на рис. 8. Количество входов логических элементов может быть различным.

Рис. 8. Условное графическое изображение логических элементов на функциональных и электрических принципиальных схемах

23

Составление схемы заключается в соединении входов и выходов устройства со входами и выходами соответствующих элементов, также соединении входов и выходов элементов между собой в соответствии с логической функцией.

Для функции

y = A0 × B1× B0 Ú A1× B1 Ú A1× A0 × B0 ,

полученной согласно условия примера 1, функциональная схема имеет вид (рис. 9), схема формирования y2 для примера 2 показана на рис. 10.

Рис. 9. Комбинационная схема для примера 1

24

Рис. 10. Комбинационная схема для примера 2

Порядок выполнения работы

Для выданного преподавателем условия синтезируйте комбинационную схему:

-составьте таблицу истинности;

-запишите логические функции для выходов в совершенной дизъюнктивной нормальной форме;

-проведите минимизацию СДНФ и записать минимальную дизъюнктивную нормальную форму (МДНФ);

-если указано в задании, запишите МДНФ в соответствующем базисе;

-составьте функциональную схему.

Варианты заданий

Задание 1. Составить таблицу истинности четырехразрядного преобразователя двоичного кода в двоично-десятичный. Записать логические функции для нулевого и первого разрядов выхода устройства. Провести минимизацию функции, описывающей первый разряд выхода аналитически и с помощью матрицы

25

Вейча – Карно. Составить для этого разряда функциональную схему.

Задание 2. Составить таблицу истинности четырехразрядного преобразователя двоичного кода в двоично-десятичный. Записать логические функции для второго и третьего разрядов выхода устройства (нумерация ведется с нулевого разряда). Провести минимизацию функции, описывающей второй разряд выхода аналитически и с помощью матрицы Вейча– Карно. Записать функцию в базисе И-НЕ. Составить для этого разряда функциональную схему.

Задание 3. Составить таблицу истинности четырехразрядного преобразователя двоичного кода в двоично-десятичный. Записать логические функции для третьего и четвертого разрядов выхода устройства (нумерация ведется с нулевого разряда). Провести минимизацию функции, описывающей третий разряд выхода аналитически и с помощью матрицы Вейча– Карно. Записать функцию в базисе ИЛИ-НЕ. Составить для этого разряда функциональную схему.

Задание 4. Составить таблицу истинности четырехразрядного преобразователя прямого двоичного кода со знаком в- до полнительный (знак нумеруется как старший разряд). Записать логические функции для нулевого и первого разрядов выхода устройства (нумерация ведется с нулевого разряда). Провести минимизацию функции, описывающей нулевой разряд выхода аналитически и с помощью матрицы Вейча– Карно. Составить для этого разряда функциональную схему.

Задание 5. Составить таблицу истинности четырехразрядного преобразователя прямого двоичного кода со знаком в дополнительный (знак нумеруется как старший разряд). Записать логические функции для первого и второго разрядов выхода устройства (нумерация ведется с нулевого разряда). Провести минимизацию функции, описывающей первый разряд выхода аналитически и с помощью матрицы Вейча – Карно. Записать функцию в базисе И- НЕ. Составить для этого разряда функциональную схему.

26

Задание 6. Составить таблицу истинности четырехразрядного преобразователя прямого двоичного кода со знаком в- до полнительный (знак нумеруется как старший разряд). Записать логические функции для второго и третьего(знакового) разрядов выхода устройства (нумерация ведется с нулевого разряда). Провести минимизацию функции, описывающей второй разряд выхода аналитически и с помощью матрицы Вейча– Карно. Записать функцию в базисе ИЛИ-НЕ. Составить для этого разряда функциональную схему.

Задание 7. Составить таблицу истинности четырехразрядного преобразователя дополнительного двоичного кода в прямой код со знаком(знак нумеруется как старший разряд). Записать логические функции для нулевого и первого разрядов выхода устройства (нумерация ведется с нулевого разряда). Провести минимизацию функции, описывающей первый разряд выхода аналитически и с помощью матрицы Вейча– Карно. Составить для этого разряда функциональную схему.

Задание 8. Составить таблицу истинности четырехразрядного преобразователя дополнительного двоичного кода в прямой код со знаком(знак нумеруется как старший разряд). Записать логические функции для первого и второго разрядов выхода устройства (нумерация ведется с нулевого разряда). Провести минимизацию функции, описывающей второй разряд выхода аналитически и с помощью матрицы Вейча – Карно. Записать функцию в базисе И-НЕ. Составить для этого разряда функциональную схему.

Задание 9. Составить таблицу истинности четырехразрядного преобразователя двоичного кода в код, элементы которого в последовательности отличаются состоянием только одного раз-

ряда (0000, 0001, 0011, 0010, 0110, 0100, 0101, 0111, 1111, 1110, 1100, 1101, 1001, 1000, 1010, 1011). Записать логические функции для нулевого и первого разрядов выхода устройства(нумерация ведется с нулевого разряда). Провести минимизацию функции, описывающей первый разряд выхода аналитически и с помощью матрицы Вейча – Карно. Составить для этого разряда функциональную схему.

27

Задание 10. Составить таблицу истинности четырехразрядного преобразователя двоичного кода в код, элементы которого в последовательности отличаются состоянием только одного раз-

ряда (0000, 0001, 0011, 0010, 0110, 0100, 0101, 0111, 1111, 1110, 1100, 1101, 1001, 1000, 1010, 1011). Записать логические функции для второго и третьего разрядов выхода устройства(нумерация ведется с нулевого разряда). Провести минимизацию функции, описывающей второй разряд выхода аналитически и с помощью матрицы Вейча – Карно. Записать функцию в базисе И-НЕ. Составить для этого разряда функциональную схему.

Задание 11. Составить таблицу истинности устройства сравнения двух двухразрядных двоичных чисел, формирующих выход у=1, если А=В и у=0, если A ¹ B . Записать логическую функцию. Провести минимизацию функции аналитически и с помощью матрицы Вейча – Карно. Составить функциональную схему.

Задание 12. Составить таблицу истинности устройства сравнения двух двухразрядных двоичных чисел, формирующего выход у=1, если А>B и y=0, если A £ B . Записать логическую функцию. Провести минимизацию аналитическим методом, используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча – Карно. Составить функциональную схему.

Задание 13. Составить таблицу истинности устройства сравнения двух двухразрядных двоичных чисел, формирующего выход у=0, если А>B и y=1, если A £ B . Записать логическую функцию. Провести минимизацию аналитическим методом, используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча – Карно. Составить функциональную схему.

Задание 14. Составить таблицу истинности устройства проверки четырехразрядного кода на чётность, формирующего выход у=1, если число единичных бит чётное и y=0, если число единичных бит нечётное. Записать логическую функцию. Провести минимизацию аналитическим методом, используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча – Карно. Составить функциональную схему.

28

Задание 15. Составить таблицу истинности устройства проверки четырехразрядного кода на нечётность, формирующего выход у=0, если число единичных бит чётное иy=1, если число единичных бит нечётное. Записать логическую функцию. Провести минимизацию аналитическим методом, используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча – Карно. Составить функциональную схему.

Задание 16. Составить таблицу истинности устройства проверки четырехразрядного кода на количество единиц, формирующего выход у=0, если число единичных бит меньше трех и y=1, если число единичных бит больше или трём. Записать логическую функцию. Провести минимизацию аналитическим методом, используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча – Карно. Записать функцию в базисе И-НЕ. Составить функциональную схему.

Задание 17. Составить таблицу истинности мажоритарного элемента «два из трех» трехразрядного кода, формирующего выход у=0, если число единичных бит меньше двух и y=1, если число единичных бит больше или равно двум. Записать логическую функцию. Провести минимизацию аналитическим методом, используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча

– Карно. Составить функциональную схему.

Задание 18. Составить таблицу истинности устройства выбора большего числа из двух двухразрядных двоичных чисел, формирующего выходы у0=А0 и у1=А1 если А>B и y0=В0, у1=В1, если A £ B . Записать логические функции для разрядов выхода. Провести для старшего разряда выхода минимизацию аналитическим методом, используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча – Карно. Составить функциональную схему.

Задание 19. Составить таблицу истинности устройства выбора большего числа из двух двухразрядных двоичных чисел, формирующего выходы у0=А0 и у1=А1, если А>B и y0=В0, у1=В1, если A £ B . Записать логические функции. Провести для младшего разряда выхода минимизацию аналитическим методом,

29

используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча – Карно. Составить функциональную схему.

Задание 20. Составить таблицу истинности устройства выбора меньшего числа из двух двухразрядных двоичных чисел, формирующего выходы у0=В0 и у1=В1 если А>B и y0=А0, у1=А1, если A £ B . Записать логические функцию. Провести для младшего разряда выхода минимизацию аналитическим методом, используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча – Карно. Составить функциональную схему.

Задание 21. Составить таблицу истинности устройства для умножения двух двухразрядных двоичных чисел. Записать логические функции для нулевого и первого разрядов выхода устройства (нумерация ведется с нулевого разряда). Провести для нулевого разряда выхода минимизацию аналитическим методом, используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча – Карно. Составить для этого разряда функциональную схему.

Задание 22. Составить таблицу истинности устройства для умножения двух двухразрядных двоичных чисел. Записать логические функции для нулевого и первого разрядов выхода устройства (нумерация ведется с нулевого разряда). Провести для первого разряда выхода минимизацию аналитическим методом, используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча – Карно. Составить для этого разряда функциональную схему.

Задание 23. Составить таблицу истинности устройства для умножения двух двухразрядных двоичных чисел. Записать логические функции для первого и второго разрядов выхода устройства (нумерация ведется с нулевого разряда). Провести для второго разряда выхода минимизацию аналитическим методом, используя формулы алгебры логики, и с помощью матрицы Вейча – Карно. Записать функцию в базисе И-НЕ. Составить для этого разряда функциональную схему.

Задание 24. Составить таблицу истинности устройства для возведения в квадрат трехразрядного двоичного числа. Записать логические функции для нулевого, первого и второго разрядов

30