Физика. Электростатика. Учебное пособие

ками сферического конденсатора поместили концентрический с ними проводящий сферический слой толщиной d = kR < (R2 – R1) = ( – 1)R так, что он не касается ни одной из обкладок. Определите, как изменилась емкость сферического конденсатора, если радиус внешней поверхности этого того слоя R0 = ( – 1)R, = 4, k = 1.

Рисунок 2.7 – Рисунок к задаче 2.30

2.32 Плоский конденсатор находится во внешнем однородном электрическом поле напряженности E , перпендикулярном пластинам. Площадь обкладок конденсатора S. Определите, какой заряд окажется на каждой из пластин, если конденсатор замкнуть проводником накоротко.

51

3 Электростатическое поле в диэлектрике

3.1 Теория

Диэлектрики – вещества, в которых нет свободных зарядов, поэтому в них не существуют токи проводимости. В диэлектриках есть связанные заряды – заряды, входящие в состав молекул и атомов вещества, которые под действием электрического поля могут смещаться лишь на расстояния порядка размеров самих молекул.

Электрическое поле приводит к возникновению явления электрической поляризации – к перераспределению связанных зарядов и образованию или упорядочиванию дипольных моментов внутри диэлектрика. Электрическая поляризация диэлектрика независимо от ее механизма характеризуется вектором поляризации P , который представляет

В формуле (3.1) pi – дипольные моменты молекул, суммирование ведется по молекулам, находящимся в физически малом объеме вещества.

Поток вектора поляризации через произвольную замкнутую поверхность равен сумме связанных зарядов q

Следствием из формулы (3.2) является связь дивергенции вектора поляризации и объемной плотности связанных

52

Введем вспомогательный вектор электрического смещения D :

(3.4)

Здесь E – вектор напряженности электрического поля в диэлектрике. Теорема Гаусса для вектора электрического смещения имеет вид

В выражение (3.5) входит только сумма сторонних зарядов q, попавших внутрь произвольной замкнутой поверхности, по которой проводится интегрирование. Сторонние заряды – заряды, не включенные в состав молекул и атомов

где – объемная плотность сторонних зарядов. Введение вектора D , таким образом, позволяет не учитывать наличие связанных зарядов.

Для изотропных диэлектриков материальные уравне-

В формулах (3.7) – диэлектрическая восприимчивость, – диэлектрическая проницаемость вещества, причем:

В случае электрических полей высокой напряженности соотношения (3.7) перестают выполняться: в них появляются нелинейные по E слагаемые.

Граничные условия для нормальных компонент

векторов P , D и E имеют следующий вид (вектор нормали направлен из среды 1 в среду 2):

53

где – поверхностная плотность сторонних зарядов; – поверхностная плотность связанных зарядов на границе раздела двух диэлектриков.

Граничное условие для тангенциальных компонент

вектора E имеет вид

С учетом материальных уравнений (3.7) и в отсутствие сторонних зарядов ( = 0) на границе раздела двух диэлектриков с проницаемостями 1 и 2 получим следующие условия для векторов E и D :

Следствием условий (3.11) является преломление силовых линий на границе диэлектриков, представленное на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Преломление линий напряженности электрического поля

на границе двух изотропных диэлектриков

54

Углы падения и преломления 1 и 2

связаны соотношением

же система зарядов, находясь в безграничном диэлектрике с проницаемостью или в диэлектрике, поверхность которого совпадает с одной из эквипотенциальных поверхностей,

е

3.2 Примеры решения и оформления задач

Пример 3.1 Точечный сторонний заряд q находится в центре диэлектрического шара радиусом а с проницаемостью 1. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью 2. Найти напряженность электрического поля Е(r), поляризацию Р(r) как функцию расстояния r до центра шара, а также поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела диэлектриков.

Решение. Для решения задачи целесообразно применить теорему Гаусса (3.5) для вектора D . Поскольку поле обладает сферической симметрией, то вектор D направлен

55

вдоль радиуса шара и его величина зависит только от расстояния r до его центра системы. В качестве поверхности, через которую будем рассчитывать поток вектора D , выберем сферическую замкнутую поверхность радиусом r с центром в центре шара. На рисунке 3.2 показаны пунктиром две такие поверхности с радиусами r < a и r > a.

Рисунок 3.2 – Пример 3.1: построение поверхностей для расчета потока вектора D

Поток вектора D через такую поверхность можно легко рассчитать, если учесть, что в силу сделанных предположений о симметрии поля вектор D направлен по нормали к поверхности в каждой ее точке, поэтому DdS DdS . Кроме того, модуль D одинаков всюду на поверхности интегрирования. Тогда

SS

Независимо от радиуса поверхности интегрирования внутри нее оказывается сторонний заряд равный q, поэтому

56

Следовательно, во всем пространстве зависимость D(r) определяется выражением

Зависимость Е(r) и Р(r) будет различной в области r < a и области r > a. Поскольку в изотропных диэлектриках справедливы соотношения (3.7) и (3.8), то в области r < a

Таким образом, напряженность поля и поляризация терпят разрыв на границе раздела диэлектриков при r = a.

3.3 Домашние задания

3.1 В центре полого стеклянного шара расположен маленький пластиковый шарик с радиусом b = 1 мм, равномерно заряженный по объему с плотностью = 100 нКл/м3.

57

Внутренний радиус шара равен R1 = 5 см, наружный – R2 = 10 см. Найти зависимости величины векторов напряженности E(r) электрического поля и электрического смещения D(r) от расстояния r до центра шара, провести анализ полученных выражений и построить графики. Вычислите электрическую энергию шарового слоя. Диэлектрическая проницаемость стекла равна 6.

3.2В центре полого стеклянного шара расположен ма-

ленький парафиновый шарик диаметром d = 1,2 мм, равномерно заряженный по объему с плотностью = 40 нКл/м3.

Внутренний радиус шара равен R1 = 2,5 см, наружный – R2 = 7,5 см. Определите электрическую энергию шарового слоя. Диэлектрическая проницаемость стекла равна 6.

3.3Тонкая слюдяная пластина помещена в пространство между обкладками плоского воздушного конденсатора, обкладки которого заряжены с поверхностной плотностью s = 50 нКл/м2 так, что поверхность пластины образует угол

с обкладками. В результате пластина поляризуется.

поля в диэлектрике. Диэлектрическая проницаемость слюды равна 7,5.

3.4Тонкая парафиновая пластина с диэлектрической проницаемостью e = 3 помещена в однородное перпендикулярное ее поверхности электростатическое поле. Поверхностная плотность наведенных на ее поверхности связанных

зарядов равна 4 нКл/м2. Определите величину вектора напряженности E внешнего поля.

3.5В плоском конденсаторе, площадь обкладок которого S = 100 см2, а расстояние между ними d = 1,0 мм, парал-

лельно обкладкам размещена диэлектрическая пластинка ( = 4) толщиной h = 0,6 мм. Конденсатор зарядили до неко-

торого напряжения U, а затем отключили от источника. Опре-

58

3.6Точечный заряд q находится в центре шарового слоя из однородного диэлектрика с проницаемостью . Внутренний

инаружный радиусы слоя равны a и b. Найти электрическую энергию, заключенную в этом слое.

3.7Тонкая слюдяная пластина с диэлектрической проницаемостью 2 = 4,0 внесена в пространство между обкладками плоского заряженного конденсатора, заполнен-

ного иммерсионным маслом, так что линии однородного

электрического поля с напряженностью E1 = 10,0 В/м перпендикулярны ее поверхности. Определите плотность по-

ляризационных зарядов, индуцированных на поверхности слюды, приняв диэлектрическую проницаемость масла 1 равной 2,5.

3.8На плоский слой, заряженный равномерно по объему положительным зарядом с плотностью , падают поло-

жительно заряженные частицы с зарядом q и кинетической энергией W (рисунок 3.3). Определить толщину слоя, если из-

вестно, что максимальный угол падения, при котором частицы могут пролететь слой, равен .

Рисунок 3.3 – Рисунок к задаче 3.8

3.9 Плоский конденсатор полностью заполнен двумя слоями диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями 1 = 7 и 2 = 3. Толщина слоев d1 = 2,0 мм и d2 = 5,0 мм. На конденсатор подано напряжение U = 120 В. Граница раз-

59

дела диэлектриков параллельна обкладкам конденсатора. Конденсатор полностью заряжен, а затем отключен от батареи. Найти напряженность электрического поля в первом диэлектрике Е1 и определить, на сколько изменится напряженность электрического поля E2 во втором диэлектрике, если первый будет удален.

3.10В пространстве, наполовину заполненном глицерином ( = 56) создано однородное электрическое поле, напря-

женность которого в вакууме 8 В/м. Вектор напряженности образует угол 45 с плоской границей диэлектрика. Определи-

те направление и модуль вектора напряженности электрического поля в глицерине.

3.11Пластины воздушного конденсатора площадью S = 300 см2 отдалены друг от друга на расстояние d = 3,0 мм. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 600 В и отсоединен от источника напряжения. Определите, какую работу нужно совершить, чтобы внести в конден-

сатор параллельно его обкладкам стеклянную пластинку, толщиной d. При расчете принять = 0,6. Диэлектриче-

ская проницаемость стекла равна 6.

3.12Оценить диэлектрическую проницаемость газоо-

бразного гелия при нормальных условиях. Принять радиус атомов гелия равным 1Å.

3.13Тонкая пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e помещена в однородное перпендику-

лярное ее поверхности электрическое поле с напряженностью E . Найти поверхностную плотность наведенных на ее поверх-

ности связанных зарядов.

3.14 Тонкий длинный стержень из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e находится в однородном электрическом поле с напряженностью, направленной вдоль стержня. Найти напряженность поля внутри стержня

вточке A (рисунок 3.4).

3.15Тонкая пластина из диэлектрика с диэлектриче-

ской проницаемостью e находится в однородном электрическом поле с напряженностью E0 . Угол между вектором E0

60