Физика. Электростатика. Учебное пособие

1.3. Домашние задания

1.3.1 Электрическое поле системы точечных зарядов в вакууме

1.1Два точечных заряда q1 = 1 нКл и q2 = –9 нКл находятся на расстоянии r =50 см. Определите местоположе-

ние точки, в которой напряженность поля равна нулю. Найдите потенциал в указанной точке.

1.2В последовательных вершинах квадрата со сто-

роной а = 10 см находятся заряды q1 = –2 нКл, q2 = 4 нКл,

q3 = –6 нКл, q4 = 8 нКл. Найдите напряженность Е и потенциал электрического поля в центре квадрата. Найдите силу, действующую на заряд q0 = –3 нКл, помещенный

вцентр квадрата.

1.3Положительный точечный заряд q = 50 мкКл находится на плоскости (XY) в точке с радиус-вектором r0 2i 3j , где i ; j – орты осей, все константы заданы в метрах. Найди-

те вектор напряженности электрического поля и его модуль, а также потенциал в точке с радиус-вектором r 8i 5j .

1.4В вершинах правильного N-угольника расположены последовательно точечные электрические заряды q, q, ( + 1)q …, (N – 1)q. Определите величину напряженности

Е электростатического поля, создаваемого этими зарядами,

вцентре многоугольника при условии, что радиус вписанной

вмногоугольник окружности равен R.

1.5В вершинах правильного n-угольника расположены последовательно электрические заряды q, 2q, …, nq. Определите величину напряженности Е электростатического поля, создаваемого этими зарядами, в центре многоугольника при условии, что радиус описанной вокруг многоугольника окружности равен R.

1.6На расстоянии a друг от друга закреплены два маленьких разноименно заряженных шарика, несущих заряды

q1 и q2, соответственно. Определите поверхность нулевого потенциала данной электрической системы и ее положение от-

21

носительно первого шарика. Проанализируйте полученный результат. При каком условии эта поверхность вырождается

вплоскость?

1.7Определите, какой минимальный заряд Q нужно закрепить в нижней точке гладкой сферической полости радиусом R, чтобы в поле тяжести небольшой заряженный шарик массой m и зарядом q находился в верхней точке в положении устойчивого равновесия.

1.8Два небольших одинаково заряженных шарика, каждый массой m, подвешены к одной точке на шелковых нитях длины l. Расстояние между шариками x << l. Найти ско-

рость утечки зарядов dq с каждого шарика, если скорость их dt

сближения меняется по закону v b x

1.9 Два одинаковых шарика, массой m и зарядом q0 каждый, подвесили на нитях одинаковой длины l. В момент начала наблюдений расстояние между шариками установилось равным x << l. Из-за медленной утечки заряда по нити величина заряда каждого шарика изменяется со временем t по закону q = q0(1 – at)3/2, где a – некоторая постоянная с размерностью с–1. Вследствие потери заряда шарики сближают-

ся с некоторой скоростью dx . Определите эту скорость, счи- dt

тая размеры шариков малыми.

1.10Три частицы с одинаковыми зарядами в начальный момент удерживают в вершинах треугольника со сторонами R1, R2 и R3. Частицы одновременно отпускают, и они разлетаются так, что отрезки, соединяющие любую пару частиц, остаются параллельными сторонам исходного треугольника. Каково отношение масс этих частиц m1 : m2 : m3? Гравитационным притяжением пренебречь.

1.11Две маленьких бусинки массой m и зарядом q

каждая соединены упругой нитью с жесткостью k и надеты на тонкий стержень, согнутый под углом 90 и установлен-

ный вертикально симметрично по отношению к вертикали

22

(рисунок 1.4). В вершине угла закреплен положительный заряд Q. Бусинки могут скользить по стержню, при этом коэффициент трения скольжения для обеих бусинок одинаков и равен m. В некоторый момент времени в данной системе установилось равновесие. Чему равно удлинение нити?

Рисунок 1.4 – К задаче 1.11

1.12В одной из моделей молекулярного иона водорода Н2 полагается, что электрон движется по круговой орбите, лежащей в плоскости, перпендикулярной линии, со-

единяющей протоны. Расстояние между протонами равно r, заряд электрона – e, его масса – m. Найти радиус орбиты, по которой электрон движется с максимальной скоростью

иэту скорость.

1.13Найти силу натяжения нити, соединяющей два одинаковых шарика радиусом r и массой m, имеющих одинаковые заряды q. Один из шариков плавает на поверхности жидкости плотности r, а второй находится в равновесии внутри жидкости. Расстояние между центрами шариков равно l, диэлектрическая проницаемость жидкости и воздуха – 1.

1.14В точке A к стержню привязана непроводящая

нить длиной d c зарядом q0 > 0 на конце. Известный эталонный заряд q1 > 0 и измеряемый заряд q2 > 0 установлены на расстояниях a и b от точки A (рисунок 1.5). Все заряды мо-

гут считаться точечными. Какой величины заряды q2 можно измерить таким способом в случае, если b = 3a, d = 5a?

23

Рисунок 1.5 – К задаче 1.14

1.3.2 Электрическое поле распределенного заряда. Принцип суперпозиции полей

1.15Определить напряженность и потенциал поля

вточке, лежащей на оси тонкого равномерно заряженного кольца на расстоянии a от центра кольца. Радиус кольца R, заряд q. Рассмотреть случаи a = 0, a >> R.

1.16Найти силу и энергию взаимодействия тонкого прямого стержня длиной L, равномерно заряженного зарядом Q, и точечного заряда q, находящегося на одной прямой со стержнем, на расстоянии a от одного из его концов. Рассмотреть случай a >> L.

1.17Две длинные равномерно заряженные нити рас-

положены на расстоянии r = 0,8 м друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях 1 = 2= 50 мкКл/м. Найти напряженность результирующего электрического поля в точке,

находящейся на расстоянии a = 50 см от каждой нити.

1.18Тонкий неподвижный стержень длиной 4L со-

гнут в виде, показанном на рисунке 1.6, и заряжен с некоторой линейной плотностью . В точку А помещается заряжен-

24

ный до потенциала 0 шарик радиусом r << L, закрепленный на горизонтальной пружине жесткостью k. результате пружина растягивается на x, а шарик оказывается в положении равновесия в точке О. Определите , приняв угол = /4.

Рисунок 1.6 – К задаче 1.18

1.19 Тонкий неподвижный стержень длиной L согнут в полукольцо и заряжен с линейной плотностью= 10 мкКл/м (рисунок 1.7). В точку А помещается заряженный шарик с радиусом r << L, закрепленный на горизонтальной пружине жесткостью k. В результате пружина растягивается на x, а шарик оказывается в положении равновесия в точке О. Определите величину q и знак заряда шарика, приняв L = 50 см, k = 120 Н/м, x = 2,5 см.

1.20 Шарик массой m = 10 г, несущий электрический заряд q = 90 нКл, прикреплен к одному концу идеальной непроводящей нити (рисунок 1.8). Другой конец нити закреплен в самой высокой точке вертикально расположенного кольца радиусом R = 5 см, изготовленного из жесткой тонкой проволоки. На кольце равномерно распределен заряд с линей-

25

ной плотностью = 250 нКл/м2 того же знака, что и q. Определить длину l нити, при которой шарик в результате взаимодействия с кольцом окажется на оси его симметрии.

Рисунок 1.7 – К задаче 1.19

Рисунок 1.8 – К задаче 1.20

1.21 Плоская квадратная пластинка со стороной a равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда . Найдите силу, действующую на точечный заряд q, помещенный в точку, равноудаленную от углов пластинки. Расстояние от заряда q до центра пластины равно a/2.

26

1.22 По тонкому полукольцу радиусом R = 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью= 1 мкКл/м. Определить энергию точечного заряда q = 10 мкКл, помещенного в центр кольца.

1.23Равномерно заряженный стержень АВ создает

вточке О электрическое поле напряженности Е0, потенциал которого равен 0 (рисунок 1.9). Какими станут напряженность поля и потенциал в точке О, если в плоскости АОВ по-

местить еще один такой же и так же заряженный стержень

А В , причем АО = ВО = А О = В О и А В АВ?

Рисунок 1.9 – К задаче 1.23

1.24Находящаяся в вакууме тонкая пластинка в виде

кольца с радиусами R и 3R равномерно заряжена с постоянной поверхностной плотностью . Найти потенциал (l) и на-

пряженность электрического поля E(l) и на оси пластинки как функцию расстояния l от ее центра. Исследовать полученные зависимости, построить графики. Чему равны по-

тенциал и напряженность электростатического поля такого кольца в случае: а) l 0, б) l >> R?

1.25Сфера с радиусом R заряжена с поверхностной плотностью = 0 · cos . Найти напряженность электрического поля в центре сферы.

1.26Три прилегающие друг к другу грани кубика заряжены равномерно с поверхностной плотностью заряда +s,

аостальные грани – с плотностью заряда –s. Найдите силу, действующую на точечный заряд q, помещенный в центре кубика.

27

1.27 Находящаяся в вакууме тонкая пластинка в виде диска радиусом R равномерно заряжена с постоянной поверхностной плотностью . Найти потенциал и напряженность электрического поля E на краю диска.

1.28 Все грани прямоугольного параллелепипеда с размерами a, b, c по осям x, y, z поддерживаются при потенциале, равном 0, за исключением грани z = c, на которой задано значение потенциала j(x, y). Найти потенциал внутри параллелепипеда.

1.3.3 Электрическое поле распределенного заряда. Теорема Остроградского-Гаусса

1.29 По трем концентрическим сферам радиусами R, 2R и 3R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 1, 2 и 3 соответственно. Требуется: 1) используя теорему Остроградского–Гаусса, найти зависимости напряженности Е(r) и потенциала (r) электрического поля от расстояния r от центра сфер для четырех областей:

0 r <R; R r <2R; 2R r <3R; r 3R; принять 1 = 2 , 2 = ,3 = –3 ; 2) вычислить напряженность Е и потенциал

в точке, удаленной от центра на расстояние r = 2,5 R, если

= 10 мкКл/м2, указать направление вектора напряженности; 3) определить значения E и вблизи ключевых точек

(при r равном нулю, R, 2R и 3R); 4) построить графики зависимости Е(r) и (r).

1.30На двух концентрических сферах радиусом R

и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 1 и 2 соответственно. Требуется: 1) используя теорему Остроградского–Гаусса, найти зависимости напряженности Е(r) и потенциала (r) электрического поля от расстояния r от центра сфер для трех областей: 0 r <R; R r <2R;

r 2R, принять 1 = –4 , 2 = ; 2) вычислить напряженность Е и потенциал в точке, удаленной от центра на расстояние

r = 1,5R, и указать направление вектора напряженности, если

= 50 нКл/м2; 3) построить графики Е(r) и (r).

28

1.31 На трех бесконечных параллельных плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 1, 2 и 3 (рисунок 1.10). Требуется: 1) используя теорему Остроградского–Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей, найти зависимости напряженности Е(x) и потенциала (х) электрического поля от расстояния для четырех областей: I, II, III, IV, принять 1 = 2 , 2 = ; 3 = – ; 2) вычислить напряженность Е и потенциал в точке, расположенной слева от плоскостей, и указать направление вектора напряженности. Принять s = 0,1 мкКл/м2; 3) построить графики Е(x) и (х). Ось x направлена перпендикулярно плоскостям.

Рисунок 1.10 – К задаче 1.31

1.32На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах

радиусами R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 1 и 2. Требуется: 1) используя теорему Остроградского–Гаусса, найти зависимости напряженности Е(r) и потенциала (r) электрического поля от расстояния r до оси цилиндров для трех областей: 0 r <R;

R r <2R; r 2R, принять 1 = –2 , 2 = ; 2) вычислить напряженность Е и потенциал в точке, удаленной от оси

цилиндров на расстояние r = 1,5R, и указать направление вектора напряженности, если = 50 нКл/м2; 3) построить графики Е(r) и (r).

1.33Шар радиусом R равномерно заряжен с объемной плотностью . Найти поток вектора напряженности электри-

ческого поля через сечение шара, которое образовано плоскостью, отстоящей от центра шара на расстояние r0 << R.

29

1.34Используя теорему Остроградского–Гаусса, найти напряженность электрического поля бесконечного пло-

ского слоя толщиной 2а, равномерно заряженного с объемной плотностью .

1.35В центре сферы радиусом 2,5 м, несущей положительный заряд 29 нКл, равномерно распределенный по поверхности, находится шарик радиусом 0,7 м с отрицательным зарядом –16 нКл, равномерно распределенным по объему. Центры сферы и шарика совпадают. Требуется: 1) используя теорему Остроградского–Гаусса, найти зависимость Е(r) напряженности электрического поля от расстояния r до центра системы для трех областей: внутри шарика, в области между шариком и сферой, вне сферы; 2) построить график Е(r).

1.36Вычислить напряженность электрического поля внутри сферической полости, расположенной в равномерно

заряженном по объему шаре с радиусом R. Объемная плотность заряда шара . Центр полости находится на расстоя-

нии а от центра шара, а ее радиус r < a.

1.37Определить, с какой объемной плотностью следует распределить электрический заряд в шаре, чтобы поле

внутри него было везде направлено вдоль радиуса и имело одинаковую величину Е .

1.38Неподвижный заряженный шар радиусом R создает в вакууме поле, величина вектора напряженности которого определяется выражением

где 0 = const. Найдите объемную плотность заряда шара (r) как функцию расстояния r до его центра.

30