Физика. Электростатика. Учебное пособие

Дифференциальная форма теоремы Гаусса

divE , (1.7)

0

где – объемная плотность заряда.

Электростатическое поле является потенциальным (консервативным), поэтому rotE 0 .

Электрическое поле в каждой точке пространства, задаваемой радиус-вектором r , можно охарактеризовать также с помощью скалярной функции (r), называемой потенциалом:

где W(r) – энергия взаимодействия точечного положительного пробного заряда с электрическим полем в данной точке пространства. Потенциал так же, как и потенциальная энергия, определен с точностью до константы, найти которую можно из граничных условий или условия нормировки. На практике бывает удобно принять за ноль потенциал Земли или потенциал точки на бесконечном удалении от заряженного тела.

Напряженность и потенциал поля точечного заряда вычисляются по формулам:

Потенциал в этом случае принят равным нулю на бесконечности, т.е. при r .

Для потенциала электрического поля также выполняется принцип суперпозиции. Для системы точечных зарядов потенциал равен алгебраической сумме потенциалов, созданных каждым из зарядов qi:

11

Энергия электростатического взаимодействия системы N точечных зарядов определяется выражением

где i – потенциал, созданный всеми зарядами кроме qi в точке, где находится заряд qi.

Напряженность и потенциал связаны соотношениями:

E grad ;

В формуле (1.12) интегрирование ведется по любой линии, соединяющей точки 1 и 2.

Электрическим диполем называется система двух разноименных и равных по величине точечных зарядов q q q , если расстояние между зарядами l много меньше расстояния r до тех точек, в которых определяется поле. Плечом диполя называется вектор l , проведенный от отрицательного заряда к положительному. Электрический ди-

0

где – угол между осью диполя и с радиус-вектором r , проведенным от диполя к данной точке пространства.

12

Потенциал поля электрического диполя в произ-

Работа электростатического поля А12 по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 не зависит от траектории, определяется его начальным и конечным положением, а работа по замкнутому контуру равна нулю:

Работу электрического поля А12 по перемещению точечного заряда из точки 1 в точку 2 с учетом определения потенциала (1.9) можно представить в виде

Эта работа приводит к изменению кинетической энергии частицы:

22

Уравнение Пуассона описывает распределение потенциала по заданному распределению заряда (r) 0 в окрестности рассматриваемой точки поля:

В(1.19) – дифференциальный оператор второго порядка – оператор Лапласа, который с учетом симметрии распределения заряда и электрического поля, им порождаемого, может быть записан в удобных для расчетов координатах.

Вдекартовой системе координат оператор Лапласа определяется как

13

Диполь во внешнем однородном электрическом

Положение равновесия диполя оказывается устойчивым, если p E , при этом его энергия минимальна. Если p E , то диполь находится в состоянии неустойчивого равновесия, которому соответствует максимум энергии.

Элементарная работа внешних сил при повороте диполя на угол d равна:

14

Неоднородное электрическое поле. Сила, действую-

При решении конкретной задачи систему координат всегда можно выбрать так, чтобы ось Ox была направлена вдоль p . В этом случае

(1.28)

1.2. Примеры решения и оформления задач

Пример 1.1 В вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 10 см находятся точечные заряды q1 = +1 нКл, q2 = +1,5 нКл и q3 = –2 нКл. Определить напряженность и потенциал поля в центре треугольника и силу, которая будет действовать на заряд q0 = +4 нКл, помещенный в центр треугольника.

Решение.

Рисунок 1.1 – Векторы напряженности электрического поля каждого из зарядов в центре треугольника

15

ми q1, q2, q3 соответственно в центре треугольника (т.е. в точке пересечения высот, медиан, биссектрис), представлены на рисунке 1.1. Для определения результирующей напряженности Е Е1 Е2 Е3 следует ввести систему координат, как показано на рисунке 1.1, и найти проекции векторов Е1 ,

16

Найдем силу F, действующую на заряд q0, помещенный в центр треугольника:

F q0 E .

Поскольку q0 – положительный заряд, направление

силы F совпадает с направлением напряженности Е , величина силы равна F = 35 мкН.

Пример 1.2 Заряд q распределен равномерно по сфере радиусом R. Найдите зависимость напряженности E(r) и потенциала (r) электрического поля как функцию расстояния r от центра сферы.

Решение.

В данном случае для расчета напряженности электрического поля целесообразно применять теорему Гаусса (1.6) в вакууме.

В формуле (1.6) поток вектора напряженности ФE EdS можно рассчитывать через любую замкнутую

S

поверхность.

Электрическое поле, созданное равномерно заряженной сферической поверхностью, является центрально-сим- метричным, т.е. вектор напряженности Е направлен вдоль радиуса сферы, и величина напряженности зависит только от расстояния r до центра сферы. Тогда поток ФЕ удобно вычислять через сферическую замкнутую поверхность произвольного радиусом r с центром в центре заряженной сферы. На рисунке 1.2 показаны пунктиром две такие поверхности

срадиусами r1 < R и r2 > R.

Всилу сделанных предположений о симметрии поля

вектор E совпадает по направлению с вектором нормали в каждой точке поверхности, поэтому E dS . Кроме того, значение величины напряженности Е постоянно всюду на поверхности интегрирования. Тогда

EdS EdS E dS ES ,

S S S

17

где S – площадь поверхности интегрирования, т.е. S = 4 r2. Окончательно для потока вектора напряженности через указанную поверхность интегрирования получим следующее выражение:

EdS 4 r2E .

S

Рисунок 1.2 – Построение замкнутых поверхностей для вычисления потока вектора напряженности электрического поля сферы

Если r < R, то внутри поверхности интегрирования нет зарядов, т.к. заряд q распределен по поверхности сферы, следовательно:

4 r2E 0 .

Поэтому при r < R напряженность электрического поля E = 0.

Если r > R, то внутри поверхности интегрирования находится весь заряд сферы q, следовательно:

4 r2E q .

0

18

Тогда напряженность электрического поля определяют по формуле

Таким образом, внутри равномерно заряженной сферы электростатическое поле отсутствует, а вне сферы напряженность поля зависит от расстояния r так же, как поле точечного заряда (1.9), помещенного в центр системы. При r = R функция E(r) терпит разрыв, скачком меняясь от нуля до значения

Итак, зависимость Е(r) можно представить в виде следующей обобщенной формулы:

Используя формулу связи напряженности и потенциала (1.12), найдем сначала потенциал точек внутри сферы, при r < R:

с (1.29), при r > R получим для потенциала внутри заряженной сферы следующее выражение:

19

Потенциал внутри заряженной сферы одинаков во всех точках.

Для точек вне сферы при r > R получим:

Таким образом, вне заряженной сферы потенциал поля зависит от расстояния r так же, как потенциал (1.9) поля точечного заряда, помещенного в центр системы. Обобщая полученные выше формулы для потенциала, запишем зависимость (r) для равномерно заряженной сферы в виде

Графики зависимости напряженности E и потенциалаэлектрического поля от расстояния r до центра сферы представлены на рисунке 1.3. Отметим, что при r = R потенциал, в отличие от напряженности, не испытывает разрыва.

Рисунок 1.3 – Графики зависимости напряженности E и потенциала электрического поля от расстояния r до центра сферы

20