Физика. Электростатика. Учебное пособие

1.3.4 Электрический диполь

1.39 Тонкий неподвижный стержень длиной 2L заряжен с некоторой линейной плотностью заряда . В точку C, равноудаленную от концов стержня (рисунок 1.11), помещается электрический диполь с дипольным моментом p. Определите силу, с которой стержень действует на диполь, приняв АС = 2L.

Рисунок 1.11 – К задаче 1.39

1.40 Тонкая полубесконечная нить равномерно заряжена с линейной плотностью . В точку А, лежащую на расстоянии L от конца нити (рисунок 1.12), помещается электрический диполь с дипольным моментом p. Определите силу, с которой нить действует на диполь.

Рисунок 1.12 – К задаче 1.40

31

1.41 Определите, в каких точках на расстоянии R от электрического диполя с моментом p величина вектора напряженности E, созданного им электрического поля, будет иметь максимальное и минимальное значения.

1.42 Диполь с электрическим моментом p внесли в поле точечного заряда q. Определите силу и вращающий момент, действующие на диполь со стороны точечного заряда.

1.43 Два электрических диполя с моментами p1 и p2 находятся на расстоянии r друг от друга. Найти силу их вза-

находятся на расстоянии r друг от друга. Найти силу их вза-

находятся на расстоянии r друг от друга. Найти силу их взаимодействия, если p1 p2 , центры масс диполей лежат на одной прямой.

1.46 В однородное электрическое поле с напряженностью E помещен диполь с электрическим моментом p так, что он свободно установился в этом поле. Определите момент инерции диполя относительно оси, проходящей через его центр масс, если при повороте на малый угол a диполь начинает совершать колебания с частотой .

1.47Для электрического диполя с моментом p , помещенного в начало отсчета лабораторной системы, найдите уравнение силовых линий и изобразите их примерный вид.

1.48В вакууме расположен очень тонкий заряженный диск радиусом R. Электрический заряд распределен так, что

впервом приближении можно считать, что на единицу пло-

щади диска приходится n диполей (n = const). Считая, что все диполи обладают одинаковым дипольным моментом p ,

перпендикулярным к поверхности диска, определите потенциал (z) электрического поля в произвольной точке М

на оси диска, расположенной на расстоянии z от его центра.

32

1.3.5 Заряженная частица в электрическом поле

1.49Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобретает скорость 106 м/с. Расстояние между пластинами d = 6,5 мм. Найти разность потенциалов U между пластинами, напряженность E элек-

трического поля внутри конденсатора и поверхностную плотность заряда на пластинах.

1.50Шарик массой 0,1 кг, несущий заряд 2 · 10–6 Кл, бросают под некоторым углом к горизонту. Движение шарика происходит в однородном горизонтальном электрическом поле с напряженностью 50 кВ/м. Линии напряженности поля перпендикулярны вектору начальной скорости шарика. Определить, под каким углом к горизонту брошен шарик, если дальность его полета равна максимальной высоте подъема.

1.51В однородном электрическом поле вдоль линии поля на расстоянии l друг от друга удерживаются два малень-

ких одинаково заряженных шарика q1 = q2. Массы шариков m1 < m2, линейные размеры много меньше расстояния l . В некоторый момент времени шарики отпускают. Найдите мак-

симальное расстояние L между шариками, если при дальнейшем движении они все время движутся вдоль одной прямой.

1.52Две бесконечные вертикальные параллельные друг другу сетки равномерно заряжены так, что в области пространства между ними –L < x < L электростатического

поля нет, а справа и слева от сеток поле однородно (рисунок 1.13). В областях x < –L и x > L напряженность поля E

направлена к сеткам. Положительно заряженной частице (заряд +q, масса m), находящейся в точке посередине между сетками, сообщают некоторую начальную скорость, направленную горизонтально вправо. Определите, при каком значении начальной скорости, период колебаний частицы минимален. Чему он равен? Действием силы тяжести на частицу можно пренебречь.

33

Рисунок 1.13 – К задаче 1.52

1.53Протон влетает в электростатическое поле равномерно заряженной длинной нити, двигаясь вдоль прямой скрещенной с нитью под прямым углом. Известно, что ча-

стица вылетела из поля, отклонившись от первоначального направления на малый угол . Найдите начальную кинети-

ческую энергию частицы W, если линейная плотность заряда нити .

1.54На шероховатой горизонтальной плоскости лежат связанные нитью длиной L два одинаковых брусочка массой m и зарядом q каждый. Определите: 1) расстояние, которое пройдет каждый брусочек при пережигании нити; 2) максимальную скорость u, которую приобретут тела в процессе движения. Коэффициент трения тел о плоскость равен μ.

1.55Положительный заряд q = 10 нКл равномерно распределен по поверхности тонкого диска радиусом R = 5 см, в центре которого имеется небольшое отверстие. Определить, какую минимальную скорость нужно сообщить протону, находящемуся вдали от диска напротив отверстия, чтобы он пролетел через него. Считать, что частица движется вдоль оси симметрии диска.

1.56Во внешней оболочке системы двух закрепленных концентрических сфер радиусами R и 2R сделано малое отверстие. На расстоянии b = 3R от центра сфер напротив отверстия расположен маленький шарик массой m с отрицательным зарядом –q. Сферы заряжают так, что на внутренней оболочке оказывается равномерно распределен отрицательный заряд –q, а на внешней – положительный заряд 2q. Определите,

34

долетит ли этот шарик до меньшей сферы и если да, то какую скорость будет иметь около нее, а если нет, то на каком расстоянии от центра он остановится.

1.57В центре положительно заряженной закрепленной полусферы радиусом 50 см находится электрон. Определить, какую минимальную скорость следует сообщить электрону, чтобы он мог удалиться от полусферы на сколь угодно большое расстояние. Полусфера заряжена равномерно с поверхностной плотностью 0,5 нКл/м2.

1.58Электрону, находящемуся на поверхности равномерно заряженной закрепленной сферы радиусом R = 1 м, сообщают скорость v = 3 · 105 м/с, направленную вдоль радиуса сферы. Вычислите, на какое максимальное расстояние удалится электрон от центра сферы. Заряд сферы q = 0,1 нКл.

1.59 Электрон, находящийся достаточно далеко от равномерно заряженного закрепленного кольца радиусом 10 см, начинает двигаться к кольцу вдоль его оси. Определить, какую скорость будет иметь электрон в центре кольца. Заряд кольца 3 · 10–11 Кл.

1.3.6 Электрическое поле распределенного заряда. Уравнения Пуассона и Лапласа1

1.60 Используя уравнение Пуассона, определите потенциал очень тонкой бесконечной заряженной пластины, лежащей в плоскости (XY). Распределение поверхностной плотности заряда пластины задается выражением

(x, y) = 0sin ( x) · cos ( x).

1.61 Используя уравнение Пуассона, определить потенциал электрического поля, создаваемого бесконечным плоским слоем толщиной 2h, равномерно заряженным по объему с плотностью , в точках расположенных: а) внутри слоя; б) вне слоя.

1 Задачи повышенного уровня сложности могут быть предложены студентам ИНМ и ИФиКИ.

35

1.62 Шаровой слой с внутренним радиусом R1 и внешним R2 заряжен с объемной плотностью, которая зависит от расстояния r до центра слоя, по закону = a / r2, где a – постоянная. Найти потенциал поля слоя как функцию r.

1.63Бесконечно длинный круговой цилиндр радиу-

сом R равномерно заряжен с объемной плотностью заряда. Считая, что потенциал на поверхности цилиндра равен нулю, найти потенциал поля как функцию расстояния r до оси цилиндра. Рассмотреть случаи r < R и r > R.

1.64Определить распределение электрических зарядов, создающих электрическое поле с потенциалом, который зависит от расстояния r до центра поля по закону:

1.65Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния r до его центра как = ar2+b, где

a и b – постоянные. Найти распределение объемного заряда(r) внутри шара.

1.66Потенциал некоторого электростатического поля задается скалярной функцией = a(x2+y2)+bz2, В. Постоянные a и b в системе СИ имеют размерность В/м2. Найти модуль напряженности данного поля в точке M (2; –3; 1).

1.67Потенциал некоторого электростатического поля задается скалярной функцией = axy+by2. Постоянные a

иb в системе СИ имеют размерность В/м2. Определить направляющий косинус вектора напряженности данного поля в точке M (1; 2).

1.68Потенциал некоторого электростатического поля задается скалярной функцией = ay2ex+bx2ey, В. Постоянные a и b в системе СИ имеют размерность В/м2. Найти модуль вектора напряженности данного поля в точке М (0; –1).

1.69Некоторое электрическое поле задается вектором напряженности E 2xyi 2yzj 2xzk . Определить, является

данное поле электростатическим.

36

1.70 Некоторое электрическое поле задается вектором напряженности E x2yi y2zj xz2k . Определить, является данное поле электростатическим.

1.71 Два точечных заряда q и –nq расположены на расстоянии d друг от друга. Доказать, что одна из эквипотенциальных поверхностей такой системы есть сфера конечного радиуса. Определить радиус этой сферы и положение ее центра.

37

2 Проводники в электростатическом поле

2.1 Теория

Проводники – тела, обладающие большим количеством свободных зарядов. Свободные заряды – такие заряды, которые под действием внешнего электрического поля могут в веществе передвигаться на макроскопические расстояния. В металлах это электроны.

При внесении проводника в электрическое поле происходит перераспределение свободных зарядов таким образом, что напряженность поля E внутри проводника равна нулю, потенциал одинаков во всех точках проводника: = const. Такое перераспределение зарядов в проводнике называется

явлением электростатической индукции.

На внешней поверхности проводника возникает индуцированный заряд, а внутри проводника объемная плотность зарядов всегда равна нулю:

divE 0 0 . (2.1)

0

Напряженность внешнего поля в вакууме вблизи поверхности проводника определяется поверхностной плотностью s индуцированного заряда и направлена перпендикулярно поверхности:

(2.2)

где n – внешняя нормаль к поверхности проводника.

Эквипотенциальная поверхность – это поверхность равного потенциала. То есть это места, объединяющие точки с одинаковым потенциалом. Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку, в которой существует электрическое поле. Эти поверхности не пересекаются друг с другом, являются замкнутыми или начинают-

38

ся и заканчиваются на бесконечности. Также они перпендикулярны силовым линиям электрического поля.

Теорема единственности в электростатике. При заданных граничных условиях может быть найдено единственное решение уравнения Пуассона (1.17) или Лапласа (1.21). Запишем их вместе еще раз:

Теорема единственности лежит в основе метода электростатических изображений, который облегчает расчет характеристик электростатического поля в пространстве вне проводника. Рассмотрим проводник, вблизи которого расположена система точечных зарядов. Очевидно, что на внешней поверхности проводника индуцируются заряды, плотность s которых распределена неравномерно. В соответствии

сметодом электростатических изображений проводящее тело заменяют такой системой точечных фиктивных зарядов-изображений, которая в совокупности с заданной системой заряда создавала бы электрическое поле, одна из эквипотенциальных поверхностей которого совпадала бы

споверхностью этого проводника. Тогда по теореме единственности поле вне проводника будет в точности совпадать с полем, созданным этими фиктивными зарядами-изо- бражениями и системой исходных зарядов.

Уединенный проводник – такой проводник, расстояние которого до других тел достаточно велико, так что можно пренебречь электрическими полями зарядов, находящихся на этих телах по сравнению с электрическим полем,

создаваемым данным проводником.

Заряд q и потенциал проводника связаны прямой зависимостью

где С – электрическая емкость проводника, зависящая от его размеров и формы, а также от диэлектрической проницаемости среды, в которой он находится.

39

где q – заряд проводника; – потенциал его поверхности.

Конденсаторы – система двух или нескольких проводников, обладающая при небольших размерах большой электрической емкостью, следовательно, позволяющая накопить большой заряд при сравнительно небольшой разности потенциалов. Поле между проводниками не зависит от электрического поля внешней среды.

Электрическая емкость конденсатора

где U – напряжение на конденсаторе (разность потенциалов между обкладками); q – заряд конденсатора.

Емкость определяется формой и размерами конденсатора и свойствами диэлектрика между его обкладками.

где – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конденсатор; S – площадь пластин; d – расстояние между пластинами.

Энергия заряженного конденсатора

Параллельное соединение конденсаторов

i 1

40