Физика. Электростатика. Учебное пособие

Последовательное соединение конденсаторов

2.2 Примеры решения и оформления задач

Пример 2.1 Над горизонтальной проводящей заземленной плоскостью поместили точечный заряд q. Определить поверхностную плотность s заряда, индуцированного на ней.

Решение. По условию задачи проводящая поверхность заземлена, следовательно, ее потенциал равен потенциалу Земли пл = З = 0. Нулю равен также потенциал данной системы на бесконечности.

В поле точечного заряда на плоскости индуцируются отрицательные заряды. Силовые линии всегда начинаются на заряде и заканчиваются на заряде. Так как потенциал поверхности равен нулю, то в соответствии с методом электростатических изображений заменим проводящую поверхность с распределенными по ней индуцированными зарядами на точечный заряд –q, который получим зеркальным отражением заряда q (рисунок 2.1). Реальный заряд q и фиктивный заряд-изображение –q создают в точках пространства, совпадающих с поверхностью проводящей плоскости, поле с потенциалом, равным нулю.

Рассмотрим произвольную точку А поверхности, в которой определим плотность заряда.

Найдем составляющие напряженности поля точечного заряда:

41

Рисунок 2.1 – Построение фиктивного заряда-изображения в случае точечного заряда и проводящей плоскости

Вектор напряженности результирующего поля равен

С учетом выражения (2.2)

В правильности решения легко убедиться, найдя полный заряд на поверхности, который индуцировался в поле заряда q. Для этого разделим плоскость на систему колец. Радиус одного из колец r и толщина dr. На этом кольце находится заряд dq, а полный заряд определяется интегрированием по r в пределах от нуля до бесконечности:

dq 2 (r)rdr;

42

Пример 2.2 Вблизи заряженного металлического шара радиусом R на расстоянии r от центра шара (r > R) находится точечный заряд q0, при этом потенциал шара равен. Найти заряд шара q.

Решение. Потенциал шара в условиях данной задачи будет определяться не только зарядом самого шара, но и зарядом q0, поскольку он вызывает перераспределение заряда по поверхности шара. Общий заряд шара при этом не изменится и будет равен q. Поскольку шар проводящий, потенциал всех его точек одинаков, поэтому можно рассчитать потенциал любой точки шара. Проще всего рассчитать потенциал в центре шара:

1 2 ,

где 1 – потенциал, созданный в центре шара зарядом q;2 – потенциал, созданный в центре шара точечным зарядом q0.

Рассчитаем 1. Разобьем поверхность шара на элементарные участки, каждый из которых можно считать точечным зарядом. Заряд такого участка dq , все участки поверхности находятся на равном расстоянии от центра шара. Такой элементарный участок создает в центре шара поле с потенциалом

Потенциал, созданный всеми зарядами, можно найти, проинтегрировав полученное выражение по всей поверхности шара:

Заметим, что результат интегрирования не зависит от того, как распределен заряд по поверхности шара, поскольку в любом случае все элементарные заряды dq находятся на равном расстоянии R от центра. Потенциал 2 равен:

43

q0 .

2 4 0 r

Окончательно для потенциала в центре шара и, следовательно, для всех других точек шара получим

Выразим q:

q 4 0 R q0R . r

2.3 Домашние задания

2.3.1 Теорема о единственности. Метод электрических изображений

2.1Точечный заряд –q находится на расстоянии b от металлического проводника, занимающего все левое полупространство. Определите силу, действующую на заряд со стороны проводящего тела и максимальное электрическое давление на плоскость.

2.2По одну сторону от незаряженной металлической плоскости на расстоянии h от нее находятся два одинаковых заряда q. Определите силу, действующую на каждый из зарядов, если расстояние между ними 2h.

Рисунок 2.2 – Рисунок к задаче 2.3

44

2.3Непроводящий стержень длиной R имеет два одинаковых точечных заряда Q на своих концах и расположен перпендикулярно заземленной проводящей незаряженной плоскости большого размера (рисунок 2.2). Расстояние от плоскости до ближайшего к ней конца стержня также равно R. Определить силу F, действующую на стержень с зарядами со стороны плоскости.

2.4Двугранный угол между двумя заземленными проводящими плоскостями равен 90 . В области I находится за-

ряд q на одинаковом расстоянии l от обеих плоскостей (рисунок 2.3). Определить силу, действующую на этот заряд.

Рисунок 2.3 – Рисунок к задаче 2.4

2.5Вне проводника расположен заряд Q. Проводнику сообщают заряд q. Докажите, что заряд q может распределиться по поверхности проводника единственным способом.

2.6Над плоской поверхностью проводящего полупро-

странства параллельно ей поместили равномерно заряженный с линейной плотностью круговой виток радиусом R.

Считая расстояние между витком и плоскостью равным b,

определить потенциал в центре витка.

2.7Электрический диполь с дипольным моментом p0

находится на расстоянии b от заземленной проводящей плоскости. Считая, что дипольный момент p0 направлен перпендикулярно поверхности, найти распределение индуциро-

ванного заряда на плоскости.

2.8Металлический шара радиусом R разрезают на две равные части вдоль вертикального диаметра. Получившиеся половинки раздвигают так, что между ними возникает очень

45

небольшой зазор шириной a. Затем половинки шара заряжают, сообщив левой заряд 3q, а правой –q (q > 0), соответственно. Определить напряженность электрического поля в зазоре между проводниками.

2.9 В точке A, расположенной на расстоянии r от центра O незаряженной проводящей сферы радиусом R, находится точечный заряд q (рисунок 2.4). Сферу заземляют длинным тонким проводником. Определить, на сколько изменится (после заземления) потенциал точки B, являющейся вершиной равностороннего треугольника ABO.

Рисунок 2.4 – Рисунок к задаче 2.9

2.10На расстояние b от центра заземленного металлического шара радиусом R < b поместили отрицательный точечный заряд величиной q. Определите силу, которая действует на данный заряд со стороны шара.

2.11Заряд q находится на расстоянии L от проводящей изолированной сферы радиусом a < L c зарядом Q. Определите силу взаимодействия заряда со сферой. При каком значении заряда Q на сфере эта сила становится равной нулю?

46

2.3.2 Потенциал, емкость, энергия системы проводников

2.12Заряженный до потенциала металлический шар радиусом R окружили концентрическим с ним проводящим металлическим слоем, внутренний радиус которого 2R,

авнешний – 3R. Определить, чему станет равен потенциал шара, если внешнюю оболочку заземлить.

2.13Система состоит из двух концентрических проводящих сфер – внутренней радиусом R, внешней радиусом 2R – и положительного точечного заряда q, который находится на расстоянии 3R от центра сфер. Внешняя сфера имеет заряд –q. Внутреннюю сферу заземляют. Определите заряд, индуцируемый на внутренней поверхности внешней проводящей сферы.

2.14Металлический шар радиусом R1 = 10 см, заряд которого q1= 1,5 нКл, окружают, не касаясь его, концентрической металлической сферой радиусом R2 = 15 cм с зарядом q2= 3 нКл. После этого шар и сферу соединяют тонким проводником с большим сопротивлением и малой емкостью. Найти потенциал шара после соединения. Пренебрегая по-

терями энергии на излучение, определить, какое количество тепла Q выделится в данном процессе.

2.15Два металлических шарика с одинаковыми заря-

дами q = 10 мкКл радиусами R1 = 15 см и R2 = 20 см находятся достаточно далеко друг от друга. Шарики соединяют

тонкой проволокой. Определить, какими будут заряды шаров после соединения, каким будет их потенциал. Емкостью проволоки пренебречь.

2.16N заряженных капель ртути радиусом r и зарядом q каждая сливаются в одну каплю. Найти потенциал

образовавшейся капли.

2.17В вакууме находятся три концентрические проводящие сферы, радиусы которых R, 2R и 3R. На сфере радиусом R находится заряд q, на сфере радиусом 2R нет заряда, внешняя сфера заземлена. Определить, какое количество

47

тепла выделится после соединения сфер с радиусами R и 2R проводником с большим сопротивлением и малой емкостью.

2.18Два металлических заряженных шарика, первый

радиусом R1 = 5 cм, а второй радиусом R2 = 2 cм, находятся достаточно далеко друг от друга. Заряд первого шарика q1 = 20 нКл, потенциал второго шарика 2 = 10 кВ. Шарики соединяют проволочкой, емкостью которой можно прене-

бречь. Найти изменение энергии системы шаров в этом процессе.

2.19Внутри незаряженного металлического шара радиусом R имеется произвольно расположенная относительно центра шара сферическая полость радиусом r, в которой

расположен неподвижный точечный заряд q на расстоянии d от центра полости. Найти потенциал электрического поля

вцентре полости. Показать, что напряженность поля вне шара не зависит от местоположения полости и положения заряда q в ней.

2.20Найти взаимную емкость, приходящуюся на единицу длины, системы из двух одинаковых длинных цилиндрических нитей. Радиус каждой нити r, расстояние между осями цилиндров R, причем R >> r.

2.3.3 Электрическая емкость. Конденсаторы. Соединение конденсаторов

2.21На расстоянии b от заземленной бесконечной вертикальной металлической пластины расположен горизонтальный металлический провод радиусом a (рисунок 2.5). Определите емкость, приходящуюся на единицу длины провода между проводом и плоскостью.

2.22Определите электрическую емкость сферического конденсатора, у которого радиус внутренней обкладки R,

авнешней – 4R.

2.23Определите электрическую емкость цилиндрического конденсатора, у которого внешняя обкладка имеет радиус R, а внутренняя – 0,2R.

48

Рисунок 2.5 – Рисунок к задаче 2.21

2.24Оцените свою электрическую емкость в пикофа-

радах.

2.25Найти взаимную емкость двух металлических шаров радиусом a, если расстояние b между их центрами много больше их диаметров.

2.26В заряженный плоский конденсатор с расстоянием между обкладками d, которое значительно меньше линейных размеров его пластин, вносят металлическую пластину

толщиной h. Расстояние от левой обкладки до пластины – a.

Учитывая, что при = 0 потенциал левой обкладки равен1, а правой – 2 ( 2 < 1), определите емкость конденсатора

спластиной.

2.27 Четыре одинаковые пластины расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (рисунок 2.6). Внешние пластины замкнули проводом. Определите электрическую емкость такой системы между клеммами А и В, если простой конденсатор с обкладками из двух таких пластинами имеет емкость C.

49

Рисунок 2.6 – Рисунок к задаче 2.27

2.28 Обкладки плоского воздушного конденсатора с размерами a a располагаются на расстоянии d друг от друга. Параллельно обкладкам до середины воздушного зазора вносят квадратную металлическую пластинку тех же размеров толщиной с < d. Известно, что между обкладками поддерживается постоянная разность потенциалов . Определите силу, которую нужно приложить к пластинке, чтобы удержать ее на месте.

2.29Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого расположены на расстоянии d друг от друга, зарядили до напряжения U. Внутрь конденсатора на расстояние h от одной из пластин поместили маленький металлический шарик радиусом r. Определите заряд, который приобретет шарик, если его соединить с пластиной с нулевым потенциалом.

2.30Три одинаковых изолированных конденсатора

емкостью C имеют заряды q1, q2, q3 соответственно. Конденсаторы соединили (рисунок 2.7). Найти величины зарядов,

оставшихся на них.

2.31Радиус внутренней обкладки сферического конденсатора R1 = R, а внешней R2 = R ( > 3). Между обклад-

50