Статистическая обработка результатов измерений. Практикум. Учебное пособие

ˆy = a0 + a1x1 + a2 x2 + ...+ am xm ,

где ˆy – теоретические значения результативного признака, полу-

ченные путем подстановки соответствующих значений факторных признаков в уравнение регрессии; x1, x2, … xm – значения факторных признаков; a1, a2, … am – параметры уравнения (коэффициенты регрессии).

Параметры уравнения регрессии определяются наиболее распространенным методом – методом наименьших квадратов. Сущность данного метода заключается в нахождении параметров модели ai, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических значений) результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии, т.е.

n

S= å(yi - yˆi ),2

i=1

S= ån (yi - a0 - a1x1i - a2 x2 i -... - am xm i )2 ® min,

i=1

где S – функция параметров ai; n – число наблюдений; m – число факторов в уравнении регрессии.

Для определения параметров ai находится минимум функции S (приравниваются нулю соответствующие частные производные):

Для определения степени вероятностной(стохастической) взаимосвязи результативного признака Y и факторов X необходимо рассчитать следующие дисперсии:

1. Общую дисперсию результативного признакаY, отображающую влияние как основных, так и остаточных факторов:

61

где y – среднее значение результативного признака.

2. Факторную дисперсию результативного признакаY, отображающую влияние только основных факторов:

Для анализа общего качества уравнения линейной многофакторной регрессии используют обычно множественный коэффициент детерминации R2, называемый также квадратом коэффициента множественной корреляции R,

R2 = sфакт 2 .

s y 2

Множественный коэффициент детерминации определяет долю вариации результативного признака, обусловленную изменением факторных признаков, входящих в многофакторную регрессионную модель.

Так как в большинстве случаев уравнение регрессии приходится стоить на основе выборочных данных, то возникает вопрос об адекватности построенного уравнения генеральным данным. Для этого проводится проверка статистической значимости коэффициента детерминации R2 на основе F-критерия Фишера:

62

Примечание: если в уравнении регрессии а0 = 0, то числитель в выражении (3) будет равен n – m.

При выполнении статистической гипотезы Н0: R2 = 0 величина F имеет F-распределение с k = m и l = n – m – 1 числом степеней свободы. Гипотеза Н0 отвергается, если Fр > Fкрпр, a.

При значениях R2 > 0,7 считается, что вариация результативного признака Y обусловлена в основном влиянием включенных в регрессионную модель факторов X.

Для оценки адекватности уравнения регрессии часто также используют показатель средней ошибки аппроксимации (%):

В том случае, если часть вычисленных коэффициентов регрессии не обладает необходимой степенью значимости(т.е. значения данных коэффициентов меньше их стандартной ошибки), эти коэффициенты исключают из уравнения регрессии. Поэтому проверка адекватности построенного уравнения регрессии наряду с проверкой значимости коэффициента детерминации R2 включа-

ет в себя также и проверку значимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициентов регрессии проверяется с помощью t-критерия Стьюдента:

t = ai ,

sa i

где sаi – стандартное значение ошибки для коэффициента регрессии аi.

В случае выполнения гипотезы Н0: аi = 0 величина t имеет распределение Стьюдента с k = n – m – 1 числом степеней свобо-

ды. Гипотеза Н0 отвергается, если tр > tкр . Кроме того, зная зна-

чение tкр, можно найти границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии:

63

ai min = ai - tкр s a i ;

ai max = ai + tкр sa i .

Режим работы Регрессия служит для расчета параметров уравнения линейной регрессии и проверки его адекватности исследуемому процессу.

В диалоговом окне данного режима(рис. 15) задаются следующие параметры.

1. Входной интервал Y – вводится ссылка на ячейки, содержащие данные по результативному признаку; диапазон должен состоять из одного столбца.

Рис. 15

2.Входной интервал X – вводится ссылка на ячейки, содержащие факторные признаки; максимальное число входных диапазонов (столбцов) равно 16.

3.Метки в первой строке/ Метки в первом столбце–

флажок устанавливается в активное состояние, если первая строка (столбец) содержит заголовки.

4.Уровень надежности – флажок устанавливается в активное состояние, если в поле, расположенном напротив него, необходимо ввести уровень надежности, отличный от уровня 0,95 %, применяемого по умолчанию. Установленный уровень надежности

64

используется для проверки значимости коэффициента детерминации и коэффициентов регрессии.

5.Константа-ноль – флажок устанавливается в активное состояние, если требуется, чтобы линия регрессии прошла через начало координат (т.е. а0 = 0).

6.Выходной интервал / Новый рабочий лист / Новая рабочая книга. В положении Выходной интервал активизируется поле, в которое необходимо ввести ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Размер выходного диапазона будет определен автоматически и на экране появится сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные. В положении Новый рабочий лист открывается новый лист, в который начиная с ячейки А1 вставляются результаты анализа. Если необходимо задать имя открываемого рабочего листа, его вводят в поле, расположенное напротив соответствующего положения переключателя. В положении Новая рабочая книга открывается новая книга, на первом листе которой начиная

сячейки А1 вставляются результаты анализа.

7.Остатки – флажок устанавливается в активное состояние, если требуется включить в выходной диапазон столбец остатков.

8.Стандартизованные остатки – флажок устанавлива-

ется в активное состояние, если требуется включить в выходной диапазон столбец стандартизованных остатков.

9.График остатков – флажок устанавливается в активное состояние, если требуется вывести на рабочий лист точечные

графики зависимости остатков от факторных признаков xi.

10. График подбора – флажок устанавливается в активное состояние, если требуется вывести на рабочий лист точечные графики зависимости теоретических результативных значений ˆy

от факторных признаков xi.

11. График нормальной вероятности – флажок устанавли-

вается в активное состояние, если требуется вывести на рабочий лист точечный график зависимости наблюдаемых значенийy от

автоматически формируемых интервалов персентилей (процентиль – это квантиль, выраженный в процентах[5-7]).

65

График строится на основе генерируемой таблицы«Вывод вероятности».

Пример расчета

В табл. 29 представлены результаты экспериментальных исследований процесса получения гальванических покрытий. Необходимо выяснить каким образом влияют на внутренние напряжения получаемых покрытий (выраженные в условных единицах) условия электроосаждения.

С этой целью определим параметры уравнения линейной регрессии и проведем его анализ, используя режим работы Рег-

рессия.

Значения параметров, установленных в одноименном диалоговом окне, показаны на рис. 16, а рассчитанные в данном режиме показатели – в табл. 30-31. В табл. 30 сгенерированы результаты по регрессионной статистике. Эти результаты соответствуют следующим статистическим показателям:

Множественный R – коэффициенту корреляции R; R-квадрат – коэффициенту детерминации R2; Стандартная ошибка – остаточному стандартному откло-

n

å(yi - yˆi )2

Наблюдения – числу наблюдений n.

66

В табл. 31 сгенерированы результаты дисперсионного анализа, которые используются для проверки значимости коэффициента детерминации R2.

67

Столбцы табл. 31 имеют следующую интерпретацию:

-столбец df – число степеней свободы:

для строки Регрессия число степеней свободы определяется количеством факторных признаков m в уравнении регрессии kф=m;

для строки Остаток число степеней свободы определяется числом наблюдений n и количеством переменных в уравнении регрессии m+1: kо=n-(m+1);

для строки Итого число степеней свободы определяется суммой ky= kф + kо;

-столбец SS – сумма квадратов отклонений:

для строки Регрессия – это сумма квадратов отклонений

n

теоретических данных от среднего SSф 2 = å(yˆi - y)2 ;

i =1

для строки Остаток – это сумма квадратов отклонений

n

эмпирических данных от теоретических SSо2 = å(yi - yˆ )2 ;

i =1

для строки Итого – это сумма квадратов отклонений эмпи-

i=1

SS y 2 = SSф 2 + SSо2 ;

-столбец MS – дисперсии, рассчитанные по формуле

MS = SS ; df

для строки Регрессия – это факторная дисперсия sф 2 ;

для строки Остаток – это остаточная дисперсия sо2 ;

-столбец F – расчетное значение F-критерия Фишера Fр,

вычисляемое по формуле F = MS (Регрессия) ;

рMS (Остатки)

-столбец Значимость F – значение уровня значимости, соответствующее вычисленному значениюFр. Определяется с

помощью функции = FPACП(Fр ; df (регрессия); df (остаток)).

68

В табл. 32 сгенерированы значения коэффициентов регрессии ai и их статистические оценки.

Таблица 32

Столбцы табл. 32 имеют следующую интерпретацию:

-столбец Коэффициенты – значения коэффициентов аi;

-столбец Стандартная ошибка – стандартные ошибки коэффициентов аi;

-столбец t-статистика – расчетные значения t-критерия,

-столбец P-Значение – значения уровней значимости, соответствующие вычисленным значениям tр;

-столбцы Нижние 95 % и Верхние 95 % - соответственно нижние и верхние границы доверительных интервалов для коэф-

фициентов регрессии аi. Для нахождения границ доверительных интервалов с помощью функции=СТЬЮДРАСПОБР(a; n-m-1) рассчитывается критическое значениеt-критерия tкр, а затем по формулам:

Нижние 95 % = Коэффициент – Стандартная ошибка × tкр; Верхние 95 % = Коэффициент + Стандартная ошибка × tкр

69

вычисляются соответственно нижние и верхние границы доверительных интервалов.

В табл. 33 сгенерированы теоретические значения ˆyi результативного признака Y и значения остатков. Последние вычисляются как разность между эмпирическими y и теоретическими ˆyi значениями результативного признака Y.

Перейдем к анализу сгенерированных таблиц. Рассчитанные в табл. 32 (ячейки С28:С31) коэффициенты регрессии аi позволяют построить уравнение, выражающее зависимость внутреннего -на пряжения покрытия от концентрации сахарина в раствореX1, плотности тока X2 и температуры раствора X3:

yˆ =1,795 - 0,030x1 - 0,042x2 + 0,057x3 .

Значение множественного коэффициента детерминации R2 = 0,971 (ячейка С16 в табл. 30) показывает, что 97,1 % общей вариации результативного признака объясняется вариацией факторных признаков X1, X2 и X3, что подтверждает правильность их включения в построенную модель.

Рассчитанный уровень значимости (показатель Значимость F

табл. 31) aр = 0,0015 меньше a = 0,05, что подтверждает значимость R2.

Другой подход к проверке значимостиR2 основан на проверке попадания Fр (показатель F в табл. 31) в критическую область (Fпркр, a; +¥). Для рассматриваемого примера Fпркр, a

70