Статистическая обработка результатов измерений. Практикум. Учебное пособие

рения данного показателя в пастиле, взятой из двух упаковочных единиц, приведены в табл. 14.

Таблица 14

41

Окончание табл. 14

6.Определить средние и дисперсии двух независимых выборок.

7.Проверить гипотезу о равенстве средних(математических ожиданий) двух нормальных распределений с известными дисперсиями.

8.Проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух выборок.

Содержание отчета

1.Отчет должен быть выполнен на листах формата А4.

2.В отчете должна быть приведена последовательность проверки гипотезы о нормальном законе распределения случайных чисел, гипотезы о равенстве средних двух нормальных распределений с известными дисперсиями и гипотезы об однородности дисперсий двух выборок.

3.Результаты расчетов необходимо оформить в виде таблиц.

4.Сформулировать выводы.

42

Контрольные вопросы

1.Какие основные виды высказываемых гипотез можно выделить в ходе статистической обработки данных?

2.Возникновение каких двух видов ошибок возможно при проверке правильности выдвинутой статистической гипотезы?

3.Что называется критической областью критерия проверки статистической гипотезы?

4.Какой критерий используется с целью проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности?

5.Какие статистические функции используются для про-

верки попадания c2-критерия в критическую область?

6.Какой режим работы используется для проверки гипотезы о различии между средними(математическими ожиданиями) двух нормальных распределений с известными дисперсиями?

7.Каким образом осуществляется проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей данных?

Лабораторная работа № 4. ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Цель работы: изучение процедуры проведения однофакторного дисперсионного анализа.

Краткие теоретические сведения

На практике при сравнении нескольких генеральных совокупностей X1, X2, …, Xp, распределенных нормально и имеющих одинаковую, хотя и неизвестную дисперсию(математические ожидания также неизвестны, но могут быть различными), на заданном уровне значимости по выборочным средним возникает необходимость проверки следующей нулевой гипотезы:

H0: M(X1)=M(X2)=…=M(Xp).

Другими словами, необходимо установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние.

43

Для решения такой задачи используется дисперсионный анализ (ANOVA – Analysis of Variance), основанный на сравне-

нии дисперсий. Впервые дисперсионный анализ был предложен Р. Фишером для обработки результатов агрономических опытов по выявлению условий, при которых испытываемый сорт сельскохозяйственной культуры дает максимальный урожай.

Дисперсионный анализ применяют для того, чтобы установить, оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор F, который имеет p уровней F1, F2, …. Fp на изучаемую величину X. Например, если требуется выяснить, какой вид удобрения наиболее эффективен для получения наибольшего урожая, то фактор F – удобрение, а его уровни – виды удобрений.

Основная идея дисперсионного анализа состоит в сравнении «факторной дисперсии», порождаемой воздействием фактора, и «остаточной дисперсии», обусловленной случайными причинами. Если различие между этими дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние наX; в этом случае средние наблюдаемых значений на каждом уровне(групповые средние) различаются также значимо.

Но прежде чем проводить анализ данных, необходимо про-

верить гипотезу о равенстве генеральных дисперсийH :

0

D(X1)=D(X2)=…=D(Xp) по критерию Бартлетта, т. е. гипотезу об однородности дисперсий. Средняя арифметическая исправленных дисперсий si2, взвешенная по числам степеней свободы(числом степеней свободы дисперсий si2 является число ki=ni-1, т.е. число, на единицу меньшее объема выборки, по которой вычислена дисперсия) равна

l

å kisi 2

åki

i=1

Критерий Бартлетта – случайная величина, равная

B = V , C

44

распределенная при условии справедливости нулевой гипотезы приближенно как c2 с l-1 (l – число выборок) степенями свободы, если все ki>2, т.е. объем каждой из выборок должен быть не менее 4,

В > cкр2 (a; l-1), область принятия гипотезы: В < cкр2 (a; l-1).

Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа

Для проверки при заданном уровне значимости нулевой гипотезы о равенстве нескольких(p>2) средних нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями достаточно проверить по критерию F нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий

вие фактора F;

sост2 – остаточная дисперсия, отражающая влияние случайных причин.

При использовании F-критерия строится правосторонняя критическая область (Fкрпр.a; +¥), если Fр > Fкр, то гипотезу отвергают.

Режим работы Однофакторный дисперсионный анализ

служит для выяснения факта влияния контролируемого фактора F на результативный признак Y на основе выборочных данных.

В диалоговом окне данного режима(рис. 12) задаются следующие параметры:

Входной интервал; Группирование;

Метки в первой строке / Метки в первом столбце; Альфа;

Выходной интервал / Новый рабочий лист / Новая рабочая книга.

45

Рис. 12

Если в процессе анализа выявлено влияние фактораF на результативный признак Y, то можно измерить степень данного влияния с помощью выборочного коэффициента детерминации

2 r2 = sфакт2 ,

sобщ

где sобщ2 – общая дисперсия, отражающая влияние и фактора и случайных причин.

Выборочный коэффициент детерминации показывает, какая доля общей дисперсии объясняется зависимостью результативного признака Y от влияющего фактора F.

Пример расчета

На рабочем листеMicrosoft Excel сформированы выборочные данные о контроле показателя качества изделий, изготовленных на различных установках (табл. 15).

При уровне значимости a=0,05 требуется выяснить, зависит ли показатель качества изделия от используемого оборудования.

Сначала проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий H0: D(X1) = D(X2) = D(X3) = D(X4) по критерию Бартлетта, т. е. гипотезу об однородности дисперсий. Результаты расчетов показателей представлены в табл. 16.

Формулы, содержащиеся в ячейках и используемые для вычислений, даны в табл. 17 (содержимое ячеек D10, E10, F10 аналогично C10; содержимое ячеек D11, E11, F11 аналогично C11).

46

В массиве C10:F10 определяются объемы выборокni (например, в ячейке С10 содержится формула =СЧЕТ(С5:С8)).

В ячейке С16 рассчитано значение правосторонней критической точки cкр2 (a; l-1).

47

Так как B=1,540 не попадает в критическую область(7,81;

Для решения задачи используем режим работыОднофак-

торный дисперсионный анализ со следующими значениями параметров: Входной интервал $C$4:$F$8; Группирование по столбцам; Метки в первой строке; Альфа 0,05; Выходной интер-

вал $B$19. Результаты расчета представлены в табл. 18 и 19.

(см. табл. 19) основные показатели рассчитаны следующим образом

(табл. 20):

48

Таблица 20

Выборочный коэффициент детерминации, равный

2

r2 = sфакт = 220,19 »0,85, sобщ 2 259,44

показывает, что 85 % общей выборочной вариации показателя качества изделия связано с применяемым оборудованием.

49

Порядок выполнения работы

1. Результаты измерения плотности сбивных конфет(по ГОСТ 4570-2014 допускается не более1,10 г/см3), извлеченных из четырех различных упаковочных единиц, приведены в табл. 21.

50