Статистическая обработка результатов измерений. Практикум. Учебное пособие

двух нормальных распределений с известными дисперсиями(известными из предшествующего опыта или найденными теоретически). Подобная задача возникает, например, при сравнении качества изделий, изготовленных на разных установках.

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, по независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n и m, извлеченным из этих совокупностей, определены выборочные средние x и y .

Нулевая гипотеза, которую требуется проверить по выборочным средним при заданном уровне значимостиa, запишется следующим образом:

H0 : M (X )= M (Y ),

т. е. генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой.

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами. Например, если физические величины А и В имеют одинаковые истинные размеры, а средние арифметические x и y результатов измерений

этих величин различны, то это различие незначимое. Если нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны. Например, если среднее арифметическое x результатов измерений физической величины А значимо отличается от среднего арифметического y результатов измерений физической величиныВ, то

это означает, что истинные размеры (математические ожидания) этих величин различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

31

Если нулевая гипотеза выполняется, то критерий Z – нормированная случайная величина, т.е. ее математическое ожидание М(Z)=0 и стандартное отклонение s(Z)=1.

Для проверки гипотезы о различии между средними(математическим ожиданиями) двух нормальных распределений с известными дисперсиями используется режим Двухвыборочный z- тест для средних. В диалоговом окне данного режима(рис. 7) задаются следующие параметры.

Рис. 7

1.Интервал переменной 1 – вводится ссылка на ячейки, содержащие результаты наблюдений величины X. Диапазон данных должен состоять из одного столбца или из одной строки.

2.Интервал переменой 2 – вводится ссылка на ячейки, содержащие результаты наблюдений величины Y. Диапазон данных должен состоять из одного столбца или из одной строки.

3.Гипотетическая средняя разность– вводится число,

равное предполагаемой разности средних(математических ожиданий) изучаемых генеральных совокупностей. Значение 0 указывает на то, что проверяется гипотеза Н0: ax=ay.

4.Дисперсия переменной 1 (известная) – вводится извест-

ное значение дисперсии генеральной совокупности величины X.

5.Дисперсия переменной 2 (известная) – вводится извест-

ное значение дисперсии генеральной совокупности величины Y.

32

6.Флажок Метки – устанавливается в активное состояние, если первая строка (столбец) во входном диапазоне содержит заголовки. Если заголовки отсутствуют, флажок следует деактивизировать, в этом случае будут автоматически созданы стандартные названия для данных выходного диапазона.

7.Альфа – вводится уровень значимости a, равный вероятности возникновения ошибки первого рода.

8.Переключатель Выходной интервал / Новый рабочий лист / Новая рабочая книга. В положении Выходной интервал

активизируется поле, в которое необходимо ввести ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Размер выходного диапазона будет определен автоматически и на экране появится сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные. В положении Новый рабочий лист открывается новый лист, в который начиная с ячейки А1 вставляются результаты анализа. Если необходимо задать имя открываемого рабочего листа, его вводят в поле, расположенное напротив соответствующего положения переключателя. В положении Новая рабочая книга открывается новая книга, на первом листе которой начиная с ячейки А1 вставляются результаты анализа.

Пример расчета

Выборочные данные о диаметре валиков(мм), обработанных на автоматах 1 и 2, приведены в табл. 9, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel. По выборке объема n=14 найден средний размер диаметра валиков x =124,49 мм, обработанных на автомате №1 (ячейка D38 содержит формулу =СРЗНАЧ(D24:D37)). По выборке объемаm=9 найден средний размер диаметра валиков y =124,62 мм, обработанных на автома-

те № 2 (ячейка Е38 содержит формулу =СРЗНАЧ(Е24:Е32)).

33

Можно ли на уровне значимостиa = 0,05 объяснить различие выборочных средних случайными причинами? Или, иными

словами, при уровне значимостиa = 0,05 требуется проверить

гипотезу Н0: ax = ay.

Для решения задачи используем режим работыДвухвыборочный z-тест для средних. Устанавливаем параметры в одноименном диалоговом окне (см. рис. 6).

1.Интервал переменной 1 – $D23:$D37.

2.Интервал переменной 2 – $Е23:$Е32.

3.Гипотетическая средняя разность – 0.

4.Дисперсия переменной 1 (известная) – 3,66.

5.Дисперсия переменной 2 (известная) – 1,92.

6.Метки – устанавливаем флажок в активное состояние.

7.Альфа – 0,05.

8.Выходной интервал – $C$41.

34

Нулевая гипотеза имеет вид Н0: ax = ay, следовательно, альтернативная ей гипотеза – Н1: ax ¹ ay. В этом случае стоим двустороннюю критическую область (рис. 8), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости a.

Наибольшая мощность критерия(вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда «левая» и «правая» критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна

Рис. 8

Поскольку z – нормированная нормальная случайная величина, критические точки симметричны относительно 0.

35

В результате расчета получено: расчетное значение критерия zр = -0,19; критическая область (-¥; -1,96) È (1,96; +¥) (рис. 9).

Z -1,96 1,96

Рис. 9

Так как расчетное значение критерия не попадает в критическую область, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, следовательно, различие выборочных средних обусловлено случайными причинами.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений

Дисперсия является важной характеристикой совокупности результатов измерений и характеризует точность выполнения технологических процессов, точность средств измерения и .тп. Пусть даны генеральные совокупности X и Y, распределенные по нормальному закону, и из них извлечены независимые выборки, объемы которых соответственно равныn и m. В математической статистике доказывается, что если гипотеза H0 : s2X = s2Y выполняется, то величина

F= σ2X

σ2Y

имеет F-распределение с k = n-1 и l = m-1 числом степеней свободы. Величину F называют дисперсионным отношением Фишера (или просто статистикой Фишера) и используют в качестве критерии для проверки данной нулевой гипотезы. При этом в качест-

ве альтернативной рассматривается гипотезаН1 : s2X < s2Y, если s2X < s2Y, или гипотеза Н1 s2X > s2Y, если s2X > s2Y.

Для проверки нулевой гипотезы используется режим рабо-

ты Двухвыборочный F-тест для дисперсий. Диалоговое окно режима представлено на рис. 10. Параметры, которые здесь зада-

36

ются, аналогичны режиму работы Двухвыборочный z-тест для средних, только отсутствуют поляДисперсия переменной 1

(известная), Дисперсия переменной 2 (известная) и Гипотетическая средняя разность.

Рис. 10

Пример расчета

Результаты измерения массовой доли влаги сахарного -пе ченья, %, изготовленного из различных партий сырья, представлены в табл. 11, сформированы на листе Microsoft Excel.

37

Рассчитаем выборочные дисперсии этих совокупностей с использованием функции ДИСП, получим sX2 = 0,21 %; sY2 = 0,27 %. Проверим, можно ли на уровне значимости a = 0,05

считать статистически незначимым отличие между оценками дисперсий двух совокупностей.

Для решения задачи используем режим работыДвухвыборочный F-тест для дисперсий. Значения параметров в соответствующем диалоговом окне показаны на рис. 11, а рассчитанные данные в табл. 12.

Рис. 11

Получено расчетное значение F-критерия Fр = 0,80, а критическая область образуется левосторонним интервалом (0; 0,30).

38

Так как Fр не попадает в критическую область, гипотезу о равенстве дисперсий не отвергаем.

Порядок выполнения работы

1. В соответствии с требованиями ГОСТ Р15810-2014 массовая доля влаги заварных пряников должна находиться в переделах от 8,5 до 16,0 %. Результаты измерений данного показателя представлены в табл. 13.

Таблица 13

39

Окончание табл. 13

2.Открыть новую рабочую книгу в табличном процессоре Microsoft Excel. На первом листе рабочей книги заполнить результаты измерений.

3.Рассортировать полученную последовательность чисел

(кнопка АЯ на панели инструментов) и разбить ее на несколько

интервалов (8-9 интервалов), записать исходные данные для расчета в виде таблицы (аналогично данным в табл. 7).

4.Проверить гипотезу о нормальном законе распределения последовательности случайных чисел.

5.Массовая доля фруктового сырья в пастильных изделиях нормируется в стандарте ГОСТ6441-2014. В зефире и пастиле допускается не менее 11 % фруктового сырья. Результаты изме-

40