Статистическая обработка результатов измерений. Практикум. Учебное пособие

частот (накопленных частостей) и включения в гистограмму графика кумуляты.

7. Вывод графика – устанавливается в активное состояние для автоматического создания встроенной диаграммы на листе, содержащем выходной диапазон.

Пример построения гистограммы

2.В диалоговом окне Гистограмма зададим: входной интервал $A$3:$A$52; выходной интервал $C$3; поставим «галки» рядом с полями Интегральный процент и Вывод графика.

3.Получим следующие частоты и накопленные частости (табл. 5), а также гистограмму с кумулятой (рис. 5).

21

1.Открыть новую рабочую книгу в табличном процессоре

Microsoft Excel.

2.На первом листе рабочей книги в режимеГенерация случайных чисел сформировать последовательность случайных чисел, распределенных по нормальному закону(число переменных =1, число случайных чисел =50). Параметры распределения взять в соответствии с вариантом из табл. 6.

3.Используя режим работы Гистограмма, рассчитать частоты и накопленные частости, построить гистограмму.

22

Таблица 6

Содержание отчета

1.Отчет должен быть выполнен на листах формата А4.

2.В отчете должны быть приведены: цель работы, исходные данные для расчета(параметры нормального распределения

исгенерированная последовательность случайных чисел), таблица с полученными значениями частот и накопленных частостей, гистограмма.

3.Сформулировать вывод.

Контрольные вопросы

1.Какие виды теоретических распределений широко -ис пользуются в практике статистической обработки информации?

2.Какой режим работы служит для формирования массива случайных чисел, распределенных по заданному теоретическому распределению?

3.Какая статистическая функции используется для расчета нормального распределения?

4.Как строится кумулятивная кривая?

23

женное распределение которой известно. Множество всех возможных значений критерия разбивается на два подмножества:

1)критическая область – совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают;

2)область принятия гипотезы– совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Критическая область выбирается таким образом, чтобы вероятность совершить ошибку первого рода не превосходила -не

которого заранее определенного положительного числа a – уровня значимости (0,05; 0,01; 0,001). Вероятность совершить ошибку второго рода обозначаетсяb. Величина 1-b называется мощностью критерия, она равна вероятности отвергнуть неверную гипотезу.

Чаще всего множество возможных значений критерия принадлежит некоторому интервалу, интервалом является и критическая область. Граничные точки критической области называются критическими точками. Критические точки выбираются таким образом, чтобы при выбранном уровне значимостиa мощность критерия 1-b была наибольшей.

Возможны три вида расположения критической области (в зависимости от вида нулевой и альтернативной гипотез, вида и распределения статистического критерия j):

1) правосторонняя критическая область, состоящая из интервала (xкрпр, a; +¥), где точка xкрпр, a называется правосторонней критической точкой, отвечающей уровню значимостиa, и определяется из условия P(j > xкрпр, a)=a (рис. 6, а);

2) левосторонняя критическая область, состоящая из интервала (-¥; xкрлев, a), где точка xкрлев, a называется левосторонней

критической точкой, отвечающей уровню значимости a, и определяется из условия P(j < xкрлев, a)=a (рис. 6, б);

3) двусторонняя критическая область, состоящая из двух интервалов (-¥; xкрлев, a) и (xкрпр, a; +¥), где точки xкрлев, a и xкрпр, a называются двусторонними критическими точками и определяются из условий P(j < xкрлев, a)=a/2 и P(j > xкрпр, a)=a/2 (рис. 6, в).

25

c2

Наиболее распространенными являются критерии, Стьюдента, Фишера.

Рис. 6

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины

Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения проводится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия. Одним из используемых критериев согласия является критерий c2 Пирсона.

С целью проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с применением критерия Пирсона сравниваются эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты. Критерий Пирсона устанавливает на принятом уровне значимости согласие или несогласие гипотезы с данными - на блюдений. Пусть по выборке объемаn получено эмпирическое распределение:

В предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частотыn¢i. При уровне значимости a требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

26

Чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия, и, следовательно, он в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. Доказано, что при n®¥ случайная величина (1) стремится к закону распределения c2 с k степенями свободы.

Число степеней свободы находят по равенству k = s -1 - r ,

где s – число групп (частичных интервалов) выборки;

r – число параметров предполагаемого распределения. Если предполагаемое распределение – нормальное, то оце-

нивают два параметра (математическое ожидание и стандартное отклонение), поэтому r =2 и число степеней свободы k = s -3.

Поскольку односторонний критерий более«жестко» отвергает нулевую гипотезу, чем двусторонний, строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости a:

P[c 2 > c 2кр (a; k )].

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством c2 > c2кр(a;k), а область принятия нулевой гипотезы – неравенством c2 < c2кр(a;k).

Обозначив значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через c2набл формулируют правило проверки нулевой гипотезы следующим образом.

Правило. Для того чтобы на заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н0: генеральная совокупность распределена нормально, надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия

c 2набл = å (ni - ni¢)2

ni¢

27

и по таблице критических точек распределенияc2, по заданному уровню значимости a и числу степеней свободыk = s -3 найти критическую точку c2кр(a;k). Если c2набл < c2кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; если c2набл > c2кр – нулевую гипотезу отвергают.

Проверку попадания c2-критерия в критическую область в режиме работы Анализ данных табличного процессора Microsoft Excel проводят при помощи функций ХИ2РАСП и ХИ2ОБР.

1. Функция ХИ2РАСП (x; степени_свободы) рассчитывает c2-распределение. Аргументы: x: значение, для которого рассчи-

тывается c2-распределение; степени_свободы: число степеней свободы.

2. Функция ХИ2ОБР (вероятность; степени_свободы) рассчитывает обратное c2-распределение. Аргументы: вероятность: вероятность, связанная с c2-распределением (уровень значимости

a); степени_свободы: число степеней свободы. Функция ХИ2ОБР использует метод итераций для вычисления значения и производит вычисления, пока не получит результат с точность до ±3×10-7.

Для расчета нормального распределения используется функция НОРМРАСП (x; среднее; стандартное_откл; интегральная). Аргументами этой функции являются: x – значение, для которого вычисляется нормальное распределение; среднее – средняя арифметическая распределения; стандартное_откл – стандартное отклонение распределения; интегральная – логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент интегральная =1, то функция НОРМРАСП рассчитывает интегральную функцию распределения; если аргумент интегральная =0 – дифференциальную функцию распределения.

Пример расчета

Проверить гипотезу о нормальном распределении -гене ральной совокупности по нормальному закону на уровне значимости a=0,1 по значениям выборки наблюдений показателя качества, приведенным в табл. 7 (объем выборки n=500).

28

1.Отрываем новую книгуMicrosoft Excel и на первом листе заносим исходные данные в ячейки А1…Е9 (см. табл. 8).

2.В массиве ячеек 2:ЕЕ9 определяем значения середин интервалов (например, ячейка Е2 содержит формулу =(В2+С2)/2; ячейка Е3 – формулу =(В3+С3)/2 и т.д.). В ячейку D12 заносим формулу =СУММ(D2:D9) для расчета общего количества проведенных наблюдений.

3.В ячейке Е12 вычисляем среднее арифметическое зна-

этой целью рассчитаем массив F2:F9 значений (xi-xср)2. Например, в ячейке F2 содержится формула =СТЕПЕНЬ(E2-E12;2), в ячейке F3 – формула =СТЕПЕНЬ(E3-E12;2) и т.д. Ячейка F12 содержит формулу =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(D2:D9;F2:F9)/D12).

5.В массиве G2:G9 вычисляем значения функции плотности нормального распределения (например, ячейка G2 содержит формулу =НОРМРАСП(E2;E12;F12;0); ячейка G3 – формулу

=НОРМРАСП(E3;E12;F12;0) и т.д.).

6.В массиве H2:H9 рассчитываем теоретические частоты

нормального распределения n¢i (например, в ячейке Н2 содержит-

массив J2:J9 значений (ni - n¢i)2 / n¢I (например, в ячейке J2 со-

29

держится формула =СТЕПЕНЬ(D2-I2;2)/I2; в ячейке J3 – формула

=СТЕПЕНЬ(D3-I3;2)/I3 и т.д.). Значение критерия c2набл содержится в ячейке J12 с формулой СУММ(J2:J9). Для приведенных

исходных данных c2набл =4,33.

8. Определяем правостороннюю критическую границу, используя функцию ХИ2ОБР, занося это значение в ячейку К12. Ячейка К12 содержит формулу =ХИ2ОБР(0,1;5), где 0,1 – уровень значимости a, 5 – число степеней свободы k с учетом того, что число интервалов в выборке равно8. Получилась следующая правосторонняя критическая область(9,24;+¥). Результаты вычислений заносим в табл. 8.

Таблица 8

Так как c2набл =4,33 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.

Проверка гипотезы о равенстве средних (математических ожиданий) двух нормальных распределений с известными дисперсиями

Важное практическое применение имеет критерий проверки гипотезы о равенстве средних(математических ожиданий)

30