Статистика. Общая теория. Ответы на экзаменационные вопросы

Пример расчета среднегодового темпа прироста производства телевизоров за 2008–2011 гг.

T =1,04 −1,0 = 0,04;

T =104% −100% = 4%.

Вывод. Среднегодовое производство телевизоров росло на 4 %.

4.Выявление общей тенденции развития явления методом аналитического выравнивания

Одной из задач, решаемых с помощью рядов динамики, является выявление закономерностей изменения явления и определение общей тенденции его развития (тренда). Поскольку уровни ряда динамики варьируют, определить общую тенденцию их развития иногда возможно только после специальной их обработки.

Одним из способов обработки динамических рядов является аналитическое выравнивание. При этом способе на основе фактических данных ряда подбирается наиболее подходящая для отражения тенденции развития явления математическая формула, которая принимается за модель развития и служит для расчета выравненных значений.

В основе этого способа лежит предположение о том, что зависимость между уровнями ряда (уt) и фактором времени (ti) может быть аналитически описана соответствующим уравнением. Уравнение, в котором в качестве независимой переменной выступает фактор времени (ti), называется уравнением

тренда У(t)= f(t).

Задача выравнивания сводится к определению вида функции в каждом конкретном случае, нахождению ее параметров по эмпирическим данным и расчету теоретических уровней по найденной формуле. Расчет рациональнее производить методом наименьших квадратов. Это означает, что из множества кривых выбранного вида следует найти ту, которая обращает в минимум сумму квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих им во времени выровненных уровней, т. е. уровней, лежащих на искомой кривой.

81

Математически это условие выражается следующим образом:

∑ (уt – уt)2 min,

где уt – фактические (эмпирические) уровни ряда; уt – выровненные уровни.

Если фактические уровни временного ряда изобразить графически в виде ломаной линии, то искомая кривая, изображающая плавное изменение уровня, должна проходить к вершинам ломанной в среднем ближе, чем любая кривая данного вида. Таким образом, выравнивание заключается в замене фактических уровней такими плавно изменяющимися уровнями, которые в среднем менее всего отклонялись бы от фактического уровня, и имели бы определенное аналитическое выражение, соответствующее общему направлению и характеру тренда.

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по уравнению тренда прямой вида: уt = а0 + а1t.

Параметры уравнения, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путем решения следующей системы уравнений:

где n – число уровней; t – время (порядковый номер интервала, момента).

Для облегчения нахождения параметров систему можно упростить, для чего отсчет времени следует вести так, чтобы ∑t = 0. Подход к упрощению расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. При таком обозначении фактора времени в рядах динамики с нечетным числом уровней отсчета ведется от центра, взятого за ноль. Вверх пойдут номера –1, –2, –3 и т. д., вниз симметрично – со знаком полюс +1, +2, +3 и т. д. В рядах динамики с четным числом уровней будем иметь: вверх от центра ряда – 1, –3, –5 и т. д.; вниз соответственно +1, +3, +5 и т. д.

Этот прием позволяет не только упростить сами нормальные уравнения, но и уменьшить абсолютные значения вели-

82

чин, участвующих в расчетах. В этом случае параметры определяются следующим образом:

Совпадение итогов эмпирических (уt) и теоретических уровней (уt) 318, 0 = 318,0 свидетельствует о правильности произведенных расчетов, т. е. ∑уt = ∑ уt.

a0 = ∑nyt = 3186 53 тыс. т.;

a1 = ∑ytt = 26 0,37. ∑t2 70

83

Искомое уравнение тренда производства бумаги примет вид:

уt = 53 + 0,37t.

Подставив в уравнение значений фактора времени t′, получим выровненные (сглаженные) значения уровней ряда (уt).

Таким образом ежегодне производство бумаги возрастало на 740 тонн. Если выравненные значения нанести на график, то получится плавная линия, характеризующая тенденцию производства.

Тест № 8 для самоконтроля знаний

1.Рядами динамики в статистике называются ряды показателей, характеризующих:

1)обобщающий типичный уровень совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку;

2)структуру совокупности по какому-либо варьирующему признаку;

3)изменение величины явлений во времени.

2.Моментным рядом динамики называется:

1)упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по атрибутивному признаку;

2)упорядоченное распределение единиц совокупности по альтернативному признаку;

3)ряд показателей, расположенных в хронологическом порядке и выражающих состояние явления на определенные моменты времени.

3.Интервальным рядом динамики называется:

1)ряд расположенных в хронологическом порядке показателей, выражающих состояние явления на определенные моменты времени;

2)ряд расположенных в хронологическом порядке показателей, характеризующих размеры явлений за определенные интервалы (периоды) времени;

3)упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по атрибутивному признаку.

84

4.Абсолютный прирост – это:

1)разность двух уровней ряда динамики;

2)отношение двух уровней ряда динамики;

3)отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения.

5.Темп роста – это:

1)разность двух уровней ряда динамики;

2)отношение двух уровней ряда динамики;

3)отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения.

6.Темп прироста – это:

1)разность двух уровней ряда динамики;

2)отношение двух уровней ряда динамики;

3)разность между темпом роста и единицей, или 100 процентами.

7.Абсолютное значение 1 % прироста (снижения) – это:

1)разность двух уровней ряда динамики;

2)отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста, выраженному в %;

3)разность между темпом роста и единицей, или 100 процентами.

8.В интервальных рядах динамики средний уровень рассчитывается по:

1)средней арифметической простой;

2)средней хронологической;

3)средней геометрической.

9.Средний абсолютный прирост равен:

1)средней арифметической простой из цепных абсолютных приростов за последовательные периоды;

2)отношению конечного уровня ряда к начальному (базисному);

3)полусумме конечного и начального уровней.

10.Средний темп роста равен:

1)средней геометрической из последовательного произведения цепных темпов роста, выраженных в коэффициентах;

2)отношению конечного уровня ряда к начальному (базисному);

3)отношению последнего базисного темпа к предыдущему.

85

ТЕМА 9

ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД В СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

1.Сущность индексов и их виды.

2.Агрегатная форма индексов и правила их построения

3.Средние индексы

4.Индексный метод анализа динамики среднего уровня.

1. Сущность индексов и их виды

Индекс – это обобщающий статистический показатель, полученный в результате соотношения уровней сложных соци- ально-экономических явлений во времени или пространстве.

С помощью индексов решаются следующие задачи:

1.Характеристика изменения сложных явлений во времени.

2.Сопоставление несоизмеримых величин.

3.Выявление влияния факторов на уровень и динамику изучаемого явления.

4.Анализ влияния структуры на уровень и динамику изучаемого явления.

В индексном методе используется следующая символика: i – индивидуальный индекс;

I – общий (агрегатный индекс);

P – цена единицы изделия, товара;

q – объем (количество) произведенных или реализованных товаров, услуг;

Z – себестоимость единицы изделия;

W – производительность труда (выработка);

T – численность работников или число отработанных чел.- часов, чел.-дней.

t – затраты труда на производство единицы продукции (трудоемкость).

Показатель, изменение которого анализируется, называется индексируемым. Название индекса дают по анализируемому (индексируемому) показателю. Чтобы различать, к какому периоду относятся индексируемые величины, возле их символа ставятся подстрочные значки. Отчетный (сравниваемый) период обозначают – 1, а период, с которым производят срав-

нение (базисный) – 0. Индексы выражаются в коэффициентах или процентах. По степени охвата единиц совокупности индексы делятся на индивидуальные и общие.

86

Индивидуальные индексы получают путем сопоставления однородных (одноименных) показателей друг с другом за разные периоды времени или в пространства.

Примеры индивидуальных индексов:

Предположим, что предприятием в январе было произведено 100 тыс. единиц изделий, а в феврале их выпуск составил 110 тыс. штук. Индивидуальный индекс физического объема производства продукции составит:

iq = q1 = 110 = 1,1, или 110 %. q0 100

Т. е. в феврале объем производства увеличился по сравнению с январем на 10 %. Как видно из примера, по методике расчета индивидуальный индекс является обычным относительным показателем динамики.

2. Агрегатная форма индексов

иправила их построения

Впрактике экономического анализа чаще используют индексы, характеризующие изменение сложного явления в целом, т. е. общие индексы.

При построении общих индексов числитель и знаменатель индексного соотношения состоит из отдельных элементов, представляющих несоизмеримые величины. Поэтому общие индексы называют агрегатными. Агрегатная форма индексов является базой для построения других видов индексов. В агрегатном индексе присутствуют две величины: изменяющаяся и постоянная. Изменяющаяся величина называется индексируемой, а постоянная величина называется соизмерителем или весами индекса.

Взависимости от содержания и характера индексируемой величины различают индексы объемных (количественных) показателей и индексы качественных показателей.

87

Индексируемые величины в объемных индексах выражаются натуральными единицами измерения. Индексируемые величины качественных индексов рассчитаны на единицу совокупности (цена, себестоимость, производительность, трудоемкость).

Существуют следующие правила построения агрегатных индексов:

1.Индекс строится по вертикали.

2.Первым показателем индексного соотношения записывается индексируемая величина.

3.Если индексируемая величина – показатель качественный, то соизмеритель должен быть количественным (объемным) показателем, взятым на уровне отчетного периода.

4.Если индексируемая величина – показатель объемный (количественный), то соизмерителем (весами) к нему должен быть качественный показатель на уровне базисного периода.

5.Произведение индексируемой величины на соизмеритель должно приводить к новой экономически значимой категории.

Пример построения агрегатного индекса физического объема, где индексируется количественный показатель:

I = ∑q1p0 . q ∑q0 p0

Агрегатный индекс цен (индексируется качественный показатель):

I p = ∑ p1q1 . ∑ p0q1

Между элементами индекса существует функциональная зависимость, которая сохраняется и между индексами этих показателей.

К примеру, произведение индекса цен на индекс физического объема приводит к индексу стоимости (выручки, товарооборота):

на примере.

88

Имеются данные о реализации товара на рынке (табл. 11):

Рассчитать: 1. Индивидуальные индексы:

–цен;

–физического объема продаж.

2. Общие индексы:

–выручки от реализации овощей;

–цен;

–физического объема проданных овощей. Проверить взаимосвязь индексов и сделать выводы.

Решение

iëóê = 1 = =1,13, èëè 113%. q q0 150

Т.о. в отчетном периоде по сравнению с базисным ценыq 170

на картофель выросли на 50 % при росте объема продаж на 20 %. Цены на проданный лук увеличились в отчетном периоде по сравнению с базисным на 33 %, при росте количества проданного лука на 13 %.

89

1. Расчет общего индекса выручки:

Вывод: выручка от реализации овощей в отчетном периоде по сравнению с базисным выросла на 60 %.

2. Определение общего индекса цен:

Вывод: в отчетном периоде по сравнению с базисным цены на овощи выросли на 38,70 %.

3. Общий индекс физического объема товарооборота:

Вывод: в отчетном периоде по сравнению с базисным физический объем продаж вырос на 15,39 %.

Если между показателями существует функциональная зависимость, она сохраняется и между индексами.

Используя эту взаимосвязь, проверим правильность расчетов:

I pq = I p Iq =1,387 1153, ≈1,6.

Достоинством агрегатных индексов является то, что с их помощью можно определять не только относительные, но и абсолютные изменения явлений. Если из числителя соответствующего агрегатного индекса вычесть его знаменатель, получим величины абсолютных приростов результативных и факторных показателей.

Кпримеру, абсолютный прирост товарооборота (выручки)

вцелом определяется разностью между числителем и знаме-

нателем индекса товарооборота (выручки): pq = ∑ p1q1 −∑ p0q0.

В том числе за счет изменения уровня цен: pq(p) = ∑p1q1 −∑p0q1.

За счет изменения физического объема товарооборота: pq(q) = ∑q1 p0 − ∑q0 p0.

90