Статистика. Общая теория. Ответы на экзаменационные вопросы

2.Способы расчета средней арифметической величины

Средние величины рассчитываются по данным дискретного и интервального рядов распределения и делятся на простые и взвешенные.

Если имеются первичные данные о величине признака у каждой отдельной единицы совокупности (Xi) и числе единиц совокупности (n), то для расчета используют простую арифметическую среднюю величину вида:

Хар. = ΣnХi .

Например, имеются данные о выработке рабочими цеха деталей за смену:

Необходимо определить среднюю выработку одного рабочего за смену.

Исходное соотношение для расчета средней выработки представляет:

Данные предыдущего примера о выработке рабочими цеха деталей за смену могут быть упорядочены и представлены следующим образом:

41

При наличии упорядоченного ряда распределения, в котором варианты встречаются с разной частотой, целесообразно использовать среднюю арифметическую взвешенную вида:

Хар. = ΣХif fi .

Σ i

Тогда среднюю выработку рабочего деталей за смену можно рассчитать следующим образом:

Результаты расчетов, как видим, совпадают.

Часто исходная информация представлена интервальным рядом распределения. В таких случаях интервальный ряд преобразовывается в дискретный путем нахождения середины интервала в каждой группе по формуле простой арифметической, а затем расчет среднего показателя производится по формуле средней арифметической взвешенной.

Пример. В результате проведенной 19 %-ной выборки веса произведенных деталей была получена следующая информация:

42

Расчет среднего веса изделия:

3.Математические свойства средней арифметической величины

Средняя арифметическая обладает рядом математических свойств, которые можно использовать для упрощения ее расчета.

Основными из них являются:

1. Алгебраическая сумма отклонений отдельных значений признака от средней величины равна нулю.

Для неупорядоченного ряда распределения:

Σ(Хi − Х) =0.

Для упорядоченного ряда распределения:

Σ(Хi − Х) fi =0.

Это значит, что если взять отклонения каждого из вариантов от средней величины и взвесить по численности, а затем их сложить, то всегда получится нуль.

Приведенное свойство подтверждает значимость средней величины: она является обобщающей характеристикой совокупности и нивелирует случайные отклонения отдельных её единиц.

2.Если все значения признака (Xi) уменьшить или увеличить на одно и то же число, или в одно и то же число раз, то средняя изменится на это же число или в это же число раз.

3.Если вес (частоту) каждого варианта (f) умножить или разделить на одно и то же число, величина средней арифметической не изменится.

Из последнего свойства вытекают определенные следствия.

1.Если веса всех вариантов равны между собой, то средняя арифметическая взвешенная величина равна простой арифметической.

Следовательно, при равенстве всех весов расчеты можно упростить, вычислив среднюю величину по формуле простой арифметической.

43

2. В качестве весов средней величины вместо абсолютных показателей можно использовать их удельные веса (доли или проценты к итогу).

На основании перечисленных математических свойств средней величины можно из всех значений признака (Xi) вычесть некую постоянную величину (А), полученную разность сократить на общий делитель (k) и на этой основе рассчитать условную среднюю, которая называется моментом первого по-

Для упрощения расчетов постоянное число «А» обычно выбирают в середине ряда распределения из имеющихся вариант, а в качестве кратного делителя «k» используют величину интервала в группе.

Фактическую среднюю величину находят умножая момент первого порядка на общий множитель (k) и прибавляя произвольную постоянную величину (А).

Расчет средней величины способом условных моментов:

Х = А +k m1.

Способ вычисления средней по этой формуле принято называть способом условных моментов или способом отсчета от условного нуля.

В качестве примера для расчета средней величины способом моментов используем данные табл. со стр. 42.

Представленный интервальный ряд распределения преобразуем в дискретный путем нахождения середины интервала. Все промежуточные расчеты разместим в таблице 5.

Таблица 5

Расчет среднего веса изделия способом условных моментов

44

х = 43 +2 0,07 = 43,14 гр.

Средний вес изделия, рассчитанный с использованием математических свойств средней арифметической величины, составил 43,14 грамма, что совпадает с предыдущим результатом расчетов этого показателя по формуле средней арифметической взвешенной.

4. Средняя гармоническая

В ряде случаев исходная база для расчета средней и имеющиеся данные приводят к другой форме средней величины – средней гармонической. Она представляет собой величину, обратную средней арифметической, т. е. состоит из обратных значений признака. Средняя гармоническая может быть простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая выражается формулой:

Хгарм. = Σn1 ,

хi

где 1 – обратные значения вариантов, а n – число вариантов,

хi

из которых рассчитывается средняя величина.

Пример. Допустим, пять рабочих в течение 1 часа изготавливали одинаковые детали. При этом первый рабочий затратил на производство одной детали (xi) 0,2 часа, второй – 0,3, третий – 0,3, четвертый – 0,5 и пятый – 0,5 часа.

45

Требуется рассчитать среднее время, затраченное одним рабочим на изготовление детали. Очевидно, необходимо располагать данными об общих затратах времени всеми рабочими и о количестве произведенных за это время деталей. Общие затраты времени составили 5 чел.-часов. За это время первый рабочий выработал 1 / 0,2 = 5 деталей, второй и третий – по 1 / 0,3 = 3,3 детали, а четвертый и пятый – по 1 / 0,5 = 2 детали. Все вместе они изготовили 15,6 деталей. В среднем на одну деталь затрачивалось 5 / 15,6 = 0,32 часа. Если приведенные расчеты представить в формализованном виде, то выражение примет вид средней гармонической простой:

Если исходная информация содержит сведения о значениях признака (xi) и произведению вариант на их частоты (xi · fi), а сама частота (f) неизвестна, то в этом случае средняя рассчитывается по формуле средней гармонической взвешенной вида:

Хгарм. = ΣМ ,

ΣМ

хi

где М = xi · fi.

Пример. Имеются следующие данные о потреблении мясопродуктов отдельными категориями населения страны, по которым следует определить среднедушевое потребление мясопродуктов населением страны в целом.

Для определения среднедушевого потребления мясопродуктов необходимо общее потребление разделить на численность населения, т. е. использовать следующее исходное соотношение:

46

Численность населения в условии неизвестна, но ее можно определить делением общего потребления мясопродуктов на душевое потребление по каждой категории населения. Тогда расчет среднедушевого потребления можно представить в виде следующего соотношения:

Таким образом, имеющаяся информация привела к формуле средней гармонической взвешенной.

Среднедушевое потребление мясопродуктов составит:

т. е. среднедушевое потребление мясопродуктов в год составило 53,1 кг.

5. Обусловленность выбора средних величин

Выбор формы расчета средней величины зависит от следующих условий:

1.Если исходные данные представлены абсолютными величинами, то, как правило, используются средняя арифметическая или гармоническая средние величины.

2.Если исходные данные – относительные величины, то чаще прибегают к средней геометрической величине.

3.При выборе формы средней необходимо учитывать экономическую сущность осредняемого признака, для чего составляется исходное соотношение по нахождению средней величины.

4.Если неизвестный показатель находится в числителе исходного соотношения и представляет произведение значений признака на частоту, используют среднюю арифметическую взвешенную величину.

5.Если неизвестный показатель находится в знаменателе исходного соотношения и рассчитывается как частное от деления произведения значений признака на варианту, то используют гармоническую взвешенную величину.

47

6. Структурные средние величины

Для характеристики структуры совокупности применяются средние показатели, называемые структурными средними величинами. К ним относятся мода и медиана. Они используются в качестве дополнительных характеристик к средним величинам или вместо них.

Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности, т.е. варианта, которой в ряду распределения соответствует наибольшая частота.

Для дискретного вариационного ряда мода определяется визуально.

К примеру, имеются данные о весе изделий, по которым нужно определить модальную среднюю величину.

Модой является 43 грамма, поскольку это наиболее часто встречающийся вес в данном ряду распределения, т. е. его имеют 45 изделий из 100.

Для интервального вариационного ряда необходимо определить модальный интервал, в пределах которого находится мода, а затем приближенное значение модальной величины признака по следующей формуле:

где Xмо – нижняя граница модального интервала; kмо – величина модального интервала; fмо – частота модального интервала; fмо–1 – частота интервала, предшествующего модальному; fмо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Пример расчета модальной величины признака рассмотрим на данных о весе изготавливаемых деталей:

48

Поскольку наибольшую частоту имеет интервал «42–44» в его пределах будет заключаться мода, которую определим по приведенной формуле следующим образом:

Медианой (Ме) в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ранжированного ряда и делит его на две равные части по сумме накопленных частот.

Так, медианой ряда из пяти вариант, расположенных в возрастающем или убывающем порядке, будет третья по счету варианта. Если ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая величина из двух вариант, расположенных в середине ряда.

Например, имеются данные о возрасте работников отдела, состоящего из шести человек: 35; 32; 30; 28; 25; 24.

Медиана равна (30 + 28) : 2 = 29 лет.

Для интервального вариационного ряда распределения медиана рассчитывается по следующей формуле:

ряда; fме – частота медианного интервала; Sме–1 – сумма накопленных частот до медианного интервала.

Рассчитаем медианную среднюю по данным предыдущего примера о весе изготавливаемых деталей.

49

Медианным интервалом является «42–44», поскольку в нем содержится половина накопленных частот ряда (100 : 2 = 50 изделий). Расчет будет выглядеть следующим образом:

Тест № 5 для самоконтроля знаний

1.Для определения среднего значения признака по несгруппированным данным в случае возможности прямого их суммирования следует применить формулу средней:

1)арифметической;

2)гармонической;

3)геометрической.

2.Для определения средней скорости пробега пяти автомобилей на одном и том же участке пути по данным о скорости пробега в час каждого из пяти автомобилей следует применить формулу средней:

1)арифметической простой;

2)арифметической взвешенной;

3)гармонической простой.

3.Если все индивидуальные значения осредняемого признака уменьшить на 50 единиц, то средняя:

1)уменьшится на 50;

2)уменьшится в 50 раз;

3)изменение средней предсказать нельзя.

4.Если все индивидуальные значения осредняемого признака увеличить на 20 единиц, то средняя величина:

1)увеличится в 20 раз;

2)увеличится на 20;

3)не изменится.

50