Статистика. Общая теория. Ответы на экзаменационные вопросы

5.Если частоты всех вариантов увеличить в 10 раз, то средняя величина:

1)увеличится;

2)уменьшится;

3)не изменится.

6.Если все варианты признака увеличить в два раза, а частоты уменьшить в два раза, то средняя величина:

1)не изменится;

2)уменьшится в два раза;

3)увеличится в два раза.

7.Если частоты всех значений признака уменьшить в пять раз, а значения признака оставить без изменения, то средняя величина:

1)увеличится в пять раз;

2)уменьшится в 5 раз;

3)не изменится.

8.Модой в ряду распределения является:

1)наибольшая частота;

2)варианта, которая чаще других встречается в ряду распределения;

3)варианта, делящая ряд ранжированных значений на две равные части.

9.Медианой в ряду распределения является:

1)варианта, которая чаще других встречается;

2)наибольшая варианта;

3)варианта, делящая ряд ранжированных значений на две равные части.

10.Если все индивидуальные значения признака дискретного ряда распределения увеличить в пять раз, а частоты во столько же раз уменьшить, то мода:

1)не изменится;

2)уменьшится в 5 раз;

3)увеличится в 5 раз.

51

ТЕМА 6

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВАРИАЦИИ

1.Понятие о вариации. Методы расчета показателей вариации.

2.Математические свойства дисперсии и способы ее вычисления.

3.Дисперсия альтернативного признака.

4.Виды дисперсий и правила их сложения.

1.Понятие о вариации.

Методы расчета показателей вариации

Средняя величина, как известно, представляет обобщающую характеристику варьирующего признака. Однако, характеризуя вариационный ряд в целом, средняя величина не отражает, как располагаются около нее варианты: сосредоточены ли они вблизи средней или отклоняются от нее. Средняя величина также не характеризует степень изменяемости, вариацию признаков внутри самой совокупности.

Вариацией признака называется его изменение у отдельных единиц совокупности. Значения признака в вариационном ряду распределения называются вариантами.

Вариация порождается комплексом разнообразных условий, многообразием факторов, воздействующих на элементы совокупности. Например, вариация отметки на экзамене зависит от способностей студента, степени его подготовки, бытовых условий, самочувствия, настроения и т. д.

Измерение вариации имеет не только теоретическое, но и практическое значение, в частности, когда речь идет о характеристике качества работы предприятий. Ритмичная работа субъектов хозяйствования отличается незначительными изменениями показателей выполнения плановых или договорных обязательств, в то время как неритмичная работа приводит к неравномерному использованию оборудования, трудовых ресурсов, сырья, что сказывается на конечных результатах деятельности предприятий.

Для измерения размера вариации в статистике используется следующая система показателей:

•размах вариации – R;

•среднее линейное отклонение – L ;

•дисперсия – σ2 ;

52

•среднее квадратическое отклонение – σ ;

•коэффициент вариации – ν.

Размах вариации R представляет собой разность между наибольшим и наименьшим значениями признака и выражается в тех же именованных единицах, что и сам признак.

R = xmax −xmin .

Достоинством данного показателя является простота расчета.

Недостаток показателя размаха вариации заключается в том, что он зависит от двух крайних значений признаков, более всего подверженных влиянию случайных факторов. По этой причине его целесообразно применять в тех случаях, когда особое значение имеет максимальный или минимальный вариант. Это, например, испытание материалов на прочность.

Поскольку размер показателя формируется под воздействием крайних значений признака, он не учитывает частот в вариационном ряду.

Более точно измерить вариацию признаков позволяет

среднее линейное отклонение ( L ). Среднее линейное отклонение представляет среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней величины. Поскольку из математических свойств средней арифметической известно, что алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней равна нулю, расчет этого показателя производят без учета знаков, т. е. по абсолютной величине.

Для несгруппированных данных:

для сгруппированных данных:

Среднее линейное отклонение будет минимальным, если его рассчитать от медианной средней величины.

Среднее линейное отклонение, обладая очевидными преимуществами перед показателем размаха вариации, не учитывает направления отклонений от средней, так как исчисляется по модулю. Данного недостатка лишен следующий показатель вариации – дисперсия (σ).

53

Дисперсия определяется на основе квадратической степенной средней по следующим формулам.

Для несгруппированных данных:

σ2 = ∑(xi −x )2 ;

∑n

для сгруппированных данных:

σ2 = ∑(xi −x )2 fi .

∑ fi

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и рассчитывается следующим образом:

для несгруппированных данных:

для сгруппированных данных

Среднее квадратическое отклонение измеряет абсолютный размер вариации признака и выражается в тех же единицах измерения, что и сам признак. Величина данного показателя зависит от абсолютных значений признаков, их средней величины и от степени колеблемости признака.

Перечисленные показатели вариации могут рассчитываться не только по отношению к средней арифметической, но и к медиане ряда. В таких случаях полученный показатель называется среднее квартильное отклонение.

Если ряд распределения разделить на четыре равных части, то внутри окажется три точки деления. Значение варианты

вместе первого деления будет представлять квартиль 1 (Q1),

вместе второго деления – квартиль 2 (это и есть медиана

ряда), в месте третьего деления – квартиль 3 (Q3) .

Для интервального ряда распределения значения квартилей определяются по формулам, аналогичным формулам для расчета медианы.

54

Например, квартиль 1 определяется:

Q1 = ХQ10 + k Σfi4+f1 −SQ1 ,

Q1

где XQ10 – нижняя граница интервала, где находится первая квартиль; k – величина интервала; SQ – сумма накопленных частот до квартильного интервала; fQ11 – частота квартильного интервала.

Среднее квартильное отклонение – это половина разности между третьей и первой квартилью.

Q = Q3 2−Q1 .

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонение являются мерой абсолютной вариации признака и выражаются в тех же единицах измерения, что и сам признак. Это не позволяет сопоставлять между собой средние отклонения разноименных показателей. Для сравнительного анализа используют относительные величины, которые выражаются в процентах и определяются по отношению к средней величине или медиане ряда.

К ним относятся:

– коэффициент осцилляции – отношение размаха вариации к средней арифметической:

VR = ХR 100 ;

– линейный коэффициент вариации – отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической:

VL = ХL 100 ;

– коэффициент вариации – отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

V = Хσ 100 .

Когда относительные показатели вариации не превышают 35 %, то принято считать, что полученные средние показатели надежно характеризуют совокупность по варьирующему признаку. В противном случае варианты ряда распределения существенно отличаются от обобщающих средних характерис-

55

тик, а сама совокупность является качественно неоднородной. По данным примера о весе обследуемых изделий (см. стр. 42) рассчитаем показатели вариации. Результаты расчетов представим в табл. 6.

Коэффициент вариации:

V = Хσ 100 = 43,142,14 100 = 4,96%.

Вывод. Вариация признаков внутри исследуемой совокупности незначительная, и средняя величина надежно характеризует ее типические свойства.

56

2.Математические свойства дисперсии и способы ее вычисления

Дисперсия обладает рядом математических свойств, используя которые можно упростить ее расчеты.

1. При вычитании из всех значений признака (Xi) некоторой постоянной величины (А) дисперсия не изменится.

Если Xi – A = X ′, то в соответствии с математическими свойствами средней арифметической X − A = X′

Следовательно, дисперсию в новом ряду распределения можно рассчитать следующим образом:

=∑(Xi − X)2 fi ,

∑fi

т.е.

σ2(X −A) = σ2.

Данное равенство означает, что дисперсия может быть рассчитана не только по заданным значениям признака, но и по отклонениям от постоянной величины.

2. При делении всех значений признака на постоянное число (K) дисперсия уменьшится в K2 раз. Это свойство выражается следующей формулой:

3.Дисперсия, рассчитанная по отношению к средней арифметической, будет минимальной.

4.Дисперсия, рассчитанная относительно произвольного числа А, больше дисперсии, рассчитанной к средней арифметической, на квадрат разности между средней арифметической и числом А. Данное свойство можно представить следующей записью:

σ2(A) = σ2(x) +(X − A)2; σ2(X) = σ2(A) −(X − A)2.

57

Свойство означает, что для вычисления дисперсии признака «Х» можно найти дисперсию от произвольного числа «А», а затем уменьшить ее на квадрат разности между средней арифметической и этой произвольной величиной «А».

Используя 2-е и 3-е свойства, дисперсию можно рассчитать по формуле:

σ2 = ∑(xi − x )2 fi K2 −(X − A)2,

∑ fi

где ∑(xi − x )2 fi – момент 2-го порядка.

∑ fi

Подставив в формулу вместо средней величины ее расчет способом моментов, получаем:

σ2 = k2(m2 −m12).

Этот метод расчета дисперсии называется способом моментов.

Опираясь на третье свойство дисперсии, ее можно рассчитать как разность между средней квадратов и квадратом их средней величины по формулам:

σ2(X) = σ2(A) −(X − A)2 =

= σ2 = X 2 − X 2.

Таким образом, используя математические свойства дисперсии, ее расчет можно производить по следующим формулам:

1.σ2 = ∑(xi − x )2 fi ;

∑fi

2.σ2 = k2(m2 −m12);

3.σ2(X) = σ2(A) −(X − A)2;

4.σ2 = X 2 −(X)2.

58

3. Дисперсия альтернативного признака

Кроме показателей вариации количественных признаков статистика анализирует вариацию качественных признаков.

Признаки, которыми обладают одни единицы совокупности, а другие единицы не обладают, называются альтернативными. Другими словами, альтернативный признак – это признак, имеющий только два взаимоисключающих друг друга значения (наличие или отсутствие высшего образования, ученой степени, наличие пола: мужского или женского и т. д.).

Вариация альтернативного признака выражается двумя значениями:

–наличие признака – 1;

–отсутствие признака – 0;

–доля (удельный вес) единиц, обладающих признаком – Р;

–доля (удельный вес) единиц, не обладающих признаком – q. Для расчета среднего значения альтернативного признака

идисперсии воспользуемся таблицей 7:

Расчет среднего значения альтернативного признака и дисперсии произведем по формуле средней арифметической взвешенной:

Поскольку q + p = 1, то σ2p = p q = p(1− p).

Среднее квадратическое отклонение, соответственно составит:

σp = p q = p(1− p).

59

Например, если 40 % студентов получают образование за счет средств бюджета государства, а 60 % – платно, то дисперсия альтернативного признака составит:

σ2p = p q = 0,4 0,6 = 0,24.

Среднее квадратическое отклонение, соответственно: σp = p q = 0,24 =0,49,или 49%.

4. Виды дисперсий и правило их сложения

Выявить долю вариации, обусловленную влиянием различных факторов, можно расчленив совокупность на группы по факторному признаку, воздействие которого исследуется. Наряду с общей дисперсией, улавливающей вариацию совокупности под воздействием всех причин (формулы приведены ранее), рассчитывают межгрупповую дисперсию, отражающую влияние того фактора, по которому произведена группировка. Формула ее расчета записывается следующим образом:

щую под влиянием всех прочих факторов, кроме положенного в основу группировки, характеризует групповая дисперсия:

Для совокупности в целом остаточную вариацию измеряют средней из групповых дисперсий и называют внутригрупповой дисперсией вида:

Очевидно, что общая вариация признаков в совокупности формируется под воздействием вариации факторного признака и других причин. Это воздействие выражается следу-

60